U D 9 3 ESO E AP GEOMETRA

U. D. 9 * 3º ESO E. AP. GEOMETRÍA PLANA @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 1

U. D. 9. 8 * 3º ESO E. AP. TEOREMA DE THALES @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 2

FIGURAS SEMEJANTES • Dos figuras son semejantes si presentan la misma forma pero distinto tamaño. • Ejemplos: Un árbol en la realidad y una fotografía impresa del mismo árbol. O un edificio y la maqueta de dicho edificio. • Al reducir o ampliar una figura obtenemos otra figura semejante. • Las dimensiones de las figuras semejantes son proporcionales. • La constante que permite pasar de las dimensiones de una figura a las dimensiones de la figura semejante se llama razón de semejanza. • Para ampliar, la razón de semejanza es mayor que la unidad. • Ejemplo: Al dibujar un virus o una bacteria visto por microscopio. • Para reducir la razón de semejanza es menor que la unidad. • Ejemplo: Al dibujar el plano callejero de mi ciudad. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 3

Teorema de Tales A B” C” B’ B @ Angel Prieto Benito • C’ C • • • Si dos rectas secantes (en rojo en la figura) son cortadas por rectas paralelas entre sí (en azul en la figura), los segmentos que determinan en las rectas secantes son proporcionales. Podemos poner: AB’ AC’ B’C’ ----- = ------ = r AB AC BC Y también: AB” AC” B”C” ----- = ------ = r’ AB AC BC Los triángulos ABC, AB’C’ y AB”C” son semejantes. Apuntes de Matemáticas 3º ESO 4

A • Ejemplo: • • Sea el triángulo ABC tal que, AB=10, BC=6, CA = 8 Trazamos una recta paralela al lado BC. Los triángulos ABC y AB’C’ son semejantes. Se cumple que: AB’ AC’ B’C’ ----- = ------ = r AB AC BC • • • 5 4 3 --- = ---- = 0, 5 10 8 6 • La razón de semejanza es r=0, 5 • B’ B @ Angel Prieto Benito C’ C Apuntes de Matemáticas 3º ESO 5

Triángulos en posición de Tales A c’’ b’’ B” c’ • • C” a’’ c b’ b B’ C’ • • Dos o más triángulos están en posición de Tales si comparten un ángulo y los lados opuestos a dicho ángulo son paralelos. En la figura comparten el ángulo A y los lados a, a’’ son paralelos. Si dos o más triángulos están en posición de Tales, entonces son semejantes y se cumple: a b c ----- = ------ = r a’ b’ c’ a’ B C a @ Angel Prieto Benito • Siendo a, b y c los lados de un triángulo; y a’, b’ y c’ los lados homólogos del otro triángulo. Apuntes de Matemáticas 3º ESO 6

Problema • Para medir la altura de un edificio hemos empleado el método de la sombra por el Teorema de Tales, utilizando una varilla de 1 m de longitud. Hallar la altura del edificio si sabemos que las sombras de la varilla y del edificio son de 0, 5 m y de 8, 4 m respectivamente. Como los rayos del sol se consideran paralelos, los dos triángulos rectángulos formados son semejantes: H 1 0, 5 --- = ------ H 0, 5. h = 8, 4 h = 16, 8 m 8, 4 1 m s @ Angel Prieto Benito S Apuntes de Matemáticas 3º ESO 7

Problema_2 • Para medir la altura de un edificio hemos empleado el método de la sombra por el Teorema de Tales, utilizando una varilla de 1 m de longitud. Hallar la altura del edificio si sabemos que las sombras de la varilla y del edificio suman 10 m y la sombra del edifico, en ese instante, es la cuarta parte de su altura. Como los rayos del sol se consideran paralelos, los dos triángulos rectángulos formados son semejantes: H 1 10 - S S 4. S S 1 = 40 – 4. S = 39 S = 9, 75 m 1 m @ Angel Prieto Benito 1 --- = -------H s s Luego H = 4. S = 4. 9, 75 = 39 m S Apuntes de Matemáticas 3º ESO 8

Problema_3 • Hallar la distancia entre las cúspides de dos edificios para poder construir una pasarela entre ambos. 24 m 60 m @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO 9

• Resolución: • • Lo primero es idealizar el problema: Los triángulos ABC y A’B’C son semejantes por estar en posición de Tales. Conocemos: CA’=60 m, A’ = 24 m, AB = 24 m Deducimos, por si lo necesitamos CA=CA’ – AA’ = 60 – 24 = 36 m B’ • • • Por el Teorema de Tales: • • • Volviendo al T. de Tales: 36 43, 25 ------ = -------24 BB’ Operando: BB’ = 28, 83 m C=C’ CA CB ------ = -----AA’ BB’ B Por Pitágoras: CB = √ (CA 2 + AB 2) = = √ (362 + 242) = 43, 25 m @ Angel Prieto Benito 24 m 60 m Apuntes de Matemáticas 2º ESO A A’ 10

Problema_4 • • • 2 cm a 3 cm 4 cm x @ Angel Prieto Benito 9 cm y En la siguiente figura, hallar la medida de los segmentos x, y y z. Se sabe que las dos líneas rojas son paralelas al lado a , de valor desconocido. • Las líneas paralelas a la base a forman triángulos en posición de Tales. Al ser triángulos semejantes se cumplirá: • • • r=x/4=9/3=y/2 Luego r = 3 Y por tanto: x = 4. r = 4. 3 =12 cm y = 2. r = 2. 3 = 6 cm Apuntes de Matemáticas 3º ESO 11

Problema_5 • En la siguiente figura, hallar la medida de los segmentos x, y y z. • Se sabe que las dos líneas rojas son paralelas al lado a , de valor desconocido. • Las líneas paralelas a la base a forman triángulos en posición de Tales. • Al ser triángulos semejantes se cumplirá: • r = y / 4 = 9 / x = z / 2 = (9+y+z)/(4+x+2) • Pero no podemos obtener r. 2 cm • Veamos de otra manera: • r = 27 / (4+2+x) = (y+z) / (4+2) a x • r = 27 / (4+2+x) = (27 – 9) / (4+2) • O sea: 27 /(6+x) = 18 / 6 4 cm • 27 /(6+x) = 3 ; 27 = 18+3. x ; 3. x = 9 ; x = 3 • Como r = 9 / x r = 9 / 3 = 3 y 9 cm z • Y ya podemos hallar y y z: • y = 4. r = 4. 3 = 12 ; z = 2. r = 2. 3 = 6 27 cm @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 12

Aplicación de Thales • Dividir un segmento AB en 7 partes iguales. • • • 1. - Se traza una recta desde A con una inclinación cualquiera respecto al segmento AB. B A @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 13

• Dividir un segmento AB en 7 partes iguales. • 2. - Sobre dicha recta se llevan siete veces consecutivas una distancia d cualquiera. d d d d B A @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 14

• Dividir un segmento AB en 7 partes iguales. • 3. - Se une el extremo resultante de la recta con el punto B del segmento a dividir. Se trazan paralelas a la línea trazada anteriormente que pasen por las d divisiones de la recta. d d d B A @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 15

• Dividir un segmento AB en 7 partes iguales. • 4. - Los cortes de las paralelas así trazadas con el segmento AB nos determinarán las 7 partes en queda dividido el segmento AB. d d d d B A @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 16