U D 9 2 ESO FIGURAS SEMEJANTES Angel

U. D. 9 * 2º ESO π FIGURAS SEMEJANTES @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 1

U. D. 9. 3 * 2º ESO π CRITERIOS DE SEMEJANZA @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 2

TRIÁNGULOS SEMEJANTES • Dos triángulos serán semejantes si presentan igualdad de formas pero distintas medidas en los lados. • En otras palabras, si sus lados son proporcionales y sus ángulos correspondientes iguales. a’ a b b’ • La razón de proporcionalidad de sus lados o razón de semejanza es: • a’ b’ c’ • r = ---- • a b c c c’

TRIÁNGULOS SEMEJANTES • CRITERIO • Dos triángulos serán semejantes si tienen sus lados proporcionales. C • C’ • • • a b a’ A c B • C b’ • A A’ c’ B’ Tenemos que se cumple, de entrada: a b c ---- = ---a’ b’ c’ Sobre el lado A’B’ del triángulo A’B’C’ se lleva el segmento AB y se traza una paralela al segmento C’A’. Al estar ambos triángulos en posición de Tales, sus ángulos son iguales y por lo tanto son semejantes.

TRIÁNGULOS SEMEJANTES • • No siempre vamos a saber si dos triángulos tienen los tres lados proporcionales y los tres ángulos correspondientes iguales. Por ello se tienen tres criterios para su identificación. CRITERIOS: 1. - a=2, 5 b=2 a=5 b=4 Tienen los lados proporcionales. • EJEMPLO • La razón de proporcionalidad, en el ejemplo, es: • 5 4 3 • r = ------ = 2 • 2, 5 2 1, 5 c=3

• • CRITERIO 2. - Dos triángulos serán semejantes si tienen dos ángulos correspondientes iguales. • Consecuencia: Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, el tercer ángulo también será igual C C’ b’ b’ c’ A’ A B a’ • Sobre el lado CA se lleva el lado C’A’ y se traza una paralela al lado AB. • Como los ángulos son iguales, ambos triángulos han quedado en posición de Tales, B’ por lo cual son semejantes.

• EJEMPLO • Tienen dos ángulos iguales. • Si dos triángulos tienen dos ángulos iguales, el tercer ángulo también será igual, pues siempre: • A+B+C = 180º • C=180º - A – B A=70º B=80º

• • CRITERIO 3. - Dos triángulos serán semejantes si tienen un ángulo correspondiente igual y los lados que lo forman son proporcionales. • • • De entrada sabemos que A=A’ y que se cumple C C’ a b A B a’ b’ c b c A’ c’ b c --- = ---b’ c’ • Sobre el lado A’B’ se lleva el segmento AB ( lado c) y se traza un segmento paralelo a B’C’. • El triángulo inscrito es igual al ABC. • Al quedar ambos en posición de Tales, son B’ semejantes.

• • EJEMPLO Tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido vale igual. • • • b=2 • • • b=4 A=90º c=1, 5 A=90º c=3 • • • La razón de proporcionalidad, en el ejemplo, es: 4 3 r = ---- = 2 2 1, 5 Las hipotenusas valdrán: a=√(42+32) = 5 a´=√(22+1´ 52) = 2, 5 Comprobamos que son proporcionales: 5 r= -----= 2 2, 5

TRIÁNGULOS EN POSICIÓN DE THALES • • Dos triángulos están en posición de Thales si tienen un ángulo común y los lados opuestos a dicho ángulo son paralelos. Los triángulos en posición de Thales son semejantes. b’=3 a=30 a’=5 b’=4 a’=40 l’=6 a=2, 5 c=9 b’=32 b=1 b=2 c=1, 5 c’=3 l=2 b=24 l=2 c’=12