U D 9 2 ESO FIGURAS SEMEJANTES Angel

U. D. 9 * 2º ESO π FIGURAS SEMEJANTES @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 1

U. D. 9. 1 * 2º ESO π SIMETRÍAS EN EL PLANO @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 2

FIGURAS SEMEJANTES • • Dos figuras son semejantes si presentan la misma forma pero distinto tamaño. Ejemplos: Un árbol en la realidad y una fotografía impresa del mismo árbol. O un edificio y la maqueta de dicho edificio. Al reducir o ampliar una figura obtenemos otra figura semejante. Las dimensiones (largo, ancho y alto) de las figuras semejantes son proporcionales. • La constante que permite pasar de las dimensiones de una figura a las dimensiones de la figura semejante se llama razón de semejanza (r) o escala (E). • • Para ampliar, la razón de semejanza es mayor que la unidad. Ejemplo: Al dibujar un virus o una bacteria visto por microscopio. Para reducir la razón de semejanza es menor que la unidad. Ejemplo: Al dibujar el plano callejero de mi ciudad. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 3

Ejemplos de figuras semejantes • • Un plano callejero es semejante a la ciudad que representa. longitud en el dibujo 1 cm r=E=---------------- = 1: 10000 medida real 100 m La fotografía de un ácaro es semejante al visto por el microscopio. longitud en el dibujo 10 cm r=E=---------------- = 10000: 1 medida real 10 μm @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 4

Triángulos semejantes C C’ A’ A • B’ B • • Dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y los lados correspondientes proporcionales. En ángulos: A=A’ , B=B’ y C=C’ En lados: A’B’=k. AB , B’C’=k. BC y C’A’=k. CA • En los triángulos rectángulos semejantes dibujados, podemos poner: • • • Hipotenusa verde Cateto mayor verde Cateto menor verde ------------------------ = r Hipotenusa roja Cateto mayor rojo Cateto menor rojo @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 5

POLÍGONOS SEMEJANTES • • • Cualquier polígono se puede trocear, dividir, en triángulos. Aplicando Thales podemos construir triángulos semejantes a los que tenemos. Si la razón de semejanza utilizada es la misma en todos los triángulos, el resultado es un polígono semejante al original. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 6

Rectángulos SEMEJANTES • • • Dividimos el rectángulo en dos triángulos, gracias a la diagonal. Llevamos sobre la prolongación de un lado la medida del lado correspondiente que deseamos construir. Y construimos el rectángulo semejante mediante paralelas a los lados. B’ C’ C B B’’ C’’ A @ Angel Prieto Benito D’’ D Apuntes Matemáticas 2º ESO D’ 7

Trapezoides SEMEJANTES • • • Dividimos el trapezoide en dos triángulos, gracias a la diagonal. Llevamos sobre la prolongación de un lado la medida del lado correspondiente que deseamos construir. Y construimos el trapezoide semejante mediante paralelas a los lados. B’ B C C’ A D D’ @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 8

Pentágonos SEMEJANTES C’ C D’ B’ B D A @ Angel Prieto Benito E E’ Apuntes Matemáticas 2º ESO 9

FIGURAS SEMEJANTES • • Dos figuras son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y los lados correspondientes son proporcionales. Los lados y ángulos se llaman homólogos de la semejanza. C A’ 2 cm √ 2 cm 2√ 2 cm √ 5 cm D 4 cm 1 cm A D’ C’ B 2 cm B’ • La razón de proporcionalidad, en el ejemplo, es: • • • A’B’ B’C’ C’D’ D’A’ 4 2√ 5 2√ 2 2 r = ------- ; r = ------- = 2 AB BC CD DA 2 √ 5 √ 2 1 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 2√ 5 cm 10

Razón de semejanza • • La constante de las parejas de lados homólogos en dos figuras semejantes se denomina razón de semejanza. Si dos figuras son semejantes, con razón de semejanza r, la razón de sus perímetros es también r. • La razón de semejanza del ejemplo anterior es: • • • A’B’ B’C’ C’D’ D’A’ 4 2√ 5 2√ 2 2 r = ------- ; r = ------- = 2 AB BC CD DA 2 √ 5 √ 2 1 • Veamos la razón de los perímetros: • • • A’B’+B’C’+C’D’+D’A’ 4+2√ 5+2√ 2+2 2. (2+√ 5+√ 2+1) r = ------------------------ = 2 AB+BC+CD+DA 2+√ 5+√ 2+1 (2+√ 5+√ 2+1) @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 11