U D 9 2 ESO FIGURAS SEMEJANTES Angel

U. D. 9 * 2º ESO π FIGURAS SEMEJANTES @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 1

U. D. 9. 2 * 2º ESO π TEOREMA DE THALES @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 2

Teorema de Thales @ Angel Prieto Benito • Teorema de Thales • Si dos rectas secantes se cortan por dos o más rectas paralelas, los segmentos correspondientes que determinan sobre las rectas secantes son proporcionales. • De igual manera los triángulos que se originan son semejantes, pues sus lados son proporcionales y sus ángulos iguales. • Los triángulos ROJO, AZUL y CRIS son semejantes. Apuntes de Matemáticas 2º ESO 3

Teorema de Thales A A’ B C @ Angel Prieto Benito B’ C’ • Por el Teorema de Tales: • • • AB BC AC ---- = ----- = r A’B’ B’C’ A’C’ • Los segmentos que determinan las tres rectas paralelas sobre las rectas secantes son proporcionales. • En el ejemplo de la figura: • • • 2, 5 5 ----- = ----2 2 4 • 1, 25 = 1, 25 Apuntes de Matemáticas 2º ESO 4

C = C’ = C” Triángulos posición dede Tales Triángulos enenposición Thales • • • En Tales se originan los siguientes triángulos: ABC , A’B’C’ y A”B”C” Los ángulos correspondientes son iguales: A=A’=A” ; B=B’=B” ; C=C’=C” Y como los lados son proporcionales, podemos concluir que dos o más triángulos en posición de Tales son semejantes. Dos o más triángulos están en posición de Tales cuando tienen un ángulo común (C) y los lados opuestos (AB, A’B’, A”B”) son paralelos. @ Angel Prieto Benito A” B” B’ A’ A Apuntes de Matemáticas 2º ESO B 5

Problema_1 • Para medir la altura de un edificio hemos empleado el método de la sombra por el Teorema de Tales, utilizando una varilla de 1 m de longitud. Hallar la altura del edificio si sabemos que las sombras de la varilla y del edificio son de 0, 5 m y de 8, 4 m respectivamente. h Como los rayos del sol se consideran paralelos, los dos triángulos rectángulos formados están en posición de Tales y son semejantes: 1 --- = ------ 1 m s @ Angel Prieto Benito 0, 5 S h 0, 5. h = 8, 4 h = 16, 8 m 8, 4 Apuntes de Matemáticas 2º ESO 6

Problema_2 • Hallar la distancia entre las cúspides de dos edificios para poder construir una pasarela entre ambos. 24 m 60 m @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO 7

• Resolución: • • Lo primero es idealizar el problema: Los triángulos ABC y A’B’C son semejantes por estar en posición de Tales. Conocemos: CA’=60 m, A’ = 24 m, AB = 24 m Deducimos, por si lo necesitamos CA=CA’ – AA’ = 60 – 24 = 36 m B’ • • • Por el Teorema de Tales: • • • Volviendo al T. de Tales: 36 43, 25 ------ = -------24 BB’ Operando: BB’ = 28, 83 m C=C’ CA CB ------ = -----AA’ BB’ B Por Pitágoras: CB = √ (CA 2 + AB 2) = = √ (362 + 242) = 43, 25 m @ Angel Prieto Benito 24 m 60 m Apuntes de Matemáticas 2º ESO A A’ 8

Teorema de Tales A B” C” B’ B C’ C @ Angel Prieto Benito • • • Si dos rectas secantes (en rojo en la figura) son cortadas por rectas paralelas entre sí (en azul en la figura), los segmentos que determinan en las rectas secantes son proporcionales. Podemos poner: AB’ AC’ B’C’ ----- = ------ = k AB AC BC Y también: AB” AC” B”C” ----- = ------ = k’ AB AC BC Los triángulos ABC, AB’C’ y AB”C” son semejantes. Apuntes de Matemáticas 2º ESO 9

• Ejemplo_1: A B’ B @ Angel Prieto Benito C’ C • Sea el triángulo ABC tal que, • AB=10, BC=6, CA = 8 • Trazamos una recta paralela al lado BC. • Los triángulos ABC y AB’C’ son semejantes. • Se cumple que: • AB’ AC’ B’C’ • ----- = ------ = k • AB AC BC • 5 4 3 • --- = ---- = 0, 5 • 10 8 6 • La razón de Apuntes de Matemáticas 2º ESO semejanza es k=0, 5 10

• Ejemplo_2: • Sean dos triángulos isósceles semejantes, cuyas bases miden 12 y 9 cm. La altura del menor es de 3 cm. • Hallar la altura del mayor y la razón de semejanza. A B’ C’ • • H’ B H @ Angel Prieto Benito C Se cumple que: BC AH ----- = k B’C’ AH’ • 12 h • --- = ---- = 4/3 , que es la razón. • 9 3 • h =3. 4/3 = 12/3 = 4 m Apuntes de Matemáticas 2º ESO 11

Problema_1 • Para medir la altura de un edificio hemos empleado el método de la sombra por el Teorema de Tales, utilizando una varilla de 1 m de longitud. Hallar la altura del edificio si sabemos que las sombras de la varilla y del edificio son de 0, 5 m y de 8, 4 m respectivamente. Como los rayos del sol se consideran paralelos, los dos triángulos rectángulos formados son semejantes: H 1 0, 5 --- = ------ H 0, 5. h = 8, 4 h = 16, 8 m 8, 4 1 m @ Angel Prieto Benito s S Apuntes de Matemáticas 2º ESO 12

Problema_2 • Un arbusto de 1, 35 m de longitud proyecta una sombra de 0, 85 m. Al mismo tiempo la sombra de la iglesia del pueblo mide 25 m. Hallar la altura de la iglesia. Como los rayos del sol se consideran paralelos, los dos triángulos rectángulos formados son semejantes: h H=? 1, 35 0, 85 --- = ------ = -------H h=1, 35 m s S H 25, 42 1, 35. 25, 42 = 0, 85. H 34, 317 = 0, 85. H Luego H = 34, 317/0, 85 = 40, 3729 m s=0, 85 S=25, 42 m @ Angel Prieto Benito H=40373 mm con notable precisión. Apuntes de Matemáticas 2º ESO 13

Aplicación de Thales • Dividir un segmento AB en 7 partes iguales. • 1. - Se traza una recta desde A con una inclinación cualquiera respecto al segmento AB. @ Angel Prieto Benito A Apuntes de Matemáticas 2º ESO 14 B

Aplicación • Dividir un segmento AB en 7 partes iguales. • 2. - Sobre dicha recta se llevan siete veces consecutivas una distancia d cualquiera. d d d d @ Angel Prieto Benito A Apuntes de Matemáticas 2º ESO 15 B

Aplicación • Dividir un segmento AB en 7 partes iguales. • 3. - Se une el extremo resultante de la recta con el punto B del segmento a dividir. Se trazan paralelas a la línea trazada anteriormente que pasen por las divisiones de la recta. d d d d @ Angel Prieto Benito A Apuntes de Matemáticas 2º ESO 16 B

Aplicación • Dividir un segmento AB en 7 partes iguales. • 4. - Los cortes de las paralelas así trazadas con el segmento AB nos determinarán las 7 partes en queda dividido el segmento AB. d d d d @ Angel Prieto Benito A Apuntes de Matemáticas 2º ESO 17 B

Ejercicios propuestos • 1. - Dividir un segmento de 10 cm en tres partes iguales, de modo que cada una sea el doble que la anterior. • 2. - Dividir un segmento de 12 cm en tres partes iguales, de modo que cada una sea el triple que la anterior. • 3. - Dividir un segmento de 15 cm en cuatro partes iguales, de modo que cada una sea los 3/2 de la anterior. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO 18