U D 8 4 ESO E AP MEDIDA

U. D. 8 * 4º ESO E. AP. MEDIDA DE LONGITUDES @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 1

U. D. 8. 4 * 4º ESO E. AP. TRIGONOMETRÍA EN EL ESPACIO @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 2

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS • • Todo polígono se puede descomponer en triángulos. Si además estos triángulos son rectángulos podemos aplicar el Teorema de Pitágoras para hallar distancias: a 2 = b 2 + c 2. Y además, gracias a la Trigonometría, no será necesario conocer dos lados para hallar el tercero si conocemos algún ángulo interior agudo. Sabemos que: sen C = c / a c = a. sen C cos C = b / a b = a. cos C tag C = c / b c = b. tan C @ Angel Prieto Benito B Hipotenusa B c a A=90º A • • C b C Igualmente tenemos: sen B = b / a b = a. sen B cos B = c / a c = a. cos B tag B = b / c b = c. tag B Matemáticas 4º ESO E. AP. 3

ÁREA DEL TRIÁNGULO • • • Si conocemos los tres lados, lo usual es emplear la fórmula: A = √ [ p. (p – a). (p – b). (p – c) ] Siendo p el semiperímetro: p = (a+b+c)/2 Pero en muchos casos no tenemos los valores de los tres lados. En otros casos tenemos el valor de dos lados, pero el triángulo no es rectángulo y no podemos aplicar Pitágoras. A A b c h C B B H a C Veamos un triángulo cualquiera, no rectángulo, ABC. Se puede trazar la altura, h, desde el vértice opuesto a la base. Esta altura, h, siempre nos dividirá el triángulo en dos triángulos rectángulos. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 4

ÁREA DEL TRIÁNGULO • • • • El área de un triángulo es A = a. h / 2 A Trazada la altura h, tenemos: En el triángulo AHB podemos poner: h = c. sen B A El área será: c A = a·(c·sen B) / 2 h A = a·c·sen B / 2 En el triángulo ACH podemos poner: B h = b. sen C El área será: B H a A = a·(b·sen C) / 2 A = a·b·sen C / 2 Si hubiéramos trazado otra altura distinta, h’, obtendríamos: A= b. c. sen A / 2 Que son las tres fórmulas utilizadas para hallar el área de un triángulo cuando conocemos dos lados y el ángulo que forman. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. b C C 5

Ejercicios • • Hallar el área de los triángulos cuyos datos conocidos son: 1. - a=5, b=3, C=43’ 78º El área será: A= ½ a. b. sen C A= ½ 5. 3. sen 43’ 78º = 5, 19 cm 2 • • • 2. - a=10, B=45º, c=11, 15 El área será: A= ½ a. c. sen B A= ½ 10. 11, 15. sen 45º = 39, 42 cm 2 • • • 3. - a=5, b=3, C=100º El área será: A= ½ a. b. sen C A= ½ 5. 3. sen 100º = 7, 386 cm 2 • • • 4. - A=38, 21º, b=3, c=7 El área será: A= ½ b. c. sen A A= ½ 3. 7. sen 38’ 21º = 6, 4947 cm 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 6

Problema 1 • Hallar el área total y el volumen de la figura conociendo los datos señalados. • Resolución • Desplegado queda: 23, 96º 18, 43º a =18 cm @ Angel Prieto Benito 23, 96º 18, 43º 18 cm c b • • • Por Trigonometría: Tag 18, 43º = b /a = b / 18 Luego b = 18. 0, 33323 = 6 cm También: Tag 23, 96º = c /a = c / 18 Luego c = 18. 0, 44439 = 8 cm At = 2. a. b+2. a. c+2. b. c = = 2. 18. 6 + 2. 18. 8 + 2. 6. 8 = 600 cm 2 V = a. b. c = 18. 6. 8 = 864 cm 3 Matemáticas 4º ESO E. AP. 7

Problema 2 h 52º 230 m • • • En la pirámide de Keops, de base cuadrada, el lado de la base mide 230 m y el ángulo que forma una cara con la base es de 52º. Calcula: • a) La altura de la pirámide. • b) La altura de una cara. • c) La longitud de una arista. • d) El ángulo que forma la arista con la base del triángulo. • e) El ángulo superior de cada cara. • f) El volumen de la pirámide. CALCULADORA Si conocemos que sen α = 0, 5 Para hallar α: Teclear 0, 5, tecla Inversa y tecla Sen @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 8

Resolución • Resolución h a Ap 52º 230 m @ Angel Prieto Benito • a) La altura de la pirámide. • Por el triángulo rectángulo formado: • Tag 52º = h / (230 / 2) • De donde h = 115 · 1, 28 = 147, 19 m • b) La altura de una cara. • Hipotenusa del triángulo rectángulo formado o apotema de la pirámide: • Cos 52º = (230 / 2) / Ap • De donde Ap = 115 / · 0, 616661= 186, 79 m • c) La longitud de una arista. • Por el teorema de Pitágoras: • a 2 = Ap 2 + (230/2)2 = 186, 792 + 1152 • a 2 = 48115, 86 a = 219, 35 m Matemáticas 4º ESO E. AP. 9

…Resolución • …Resolución h a xº D 230 m • d) El ángulo que forma la arista con la base de la pirámide. • Diagonal de la base • d = l. √ 2 al ser un cuadrado • d = 230. 1, 4142 = 325, 27 m • Distancia centro a pie de arista. • D = d/2 = 325, 27 / 2 = 162, 63 m • Tag X = h / D • X = arc tag 147, 19 / 162, 63 = 42, 15º • e) El ángulo superior de cada cara. • As = 90º – 52º = 38º • f) El volumen de la pirámide. • V = Sb. h / 3 = 2302 · 147, 19 / 3 = 2595450, 33 m 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 10