U D 8 3 ESO E AC MTRICA

U. D. 8 * 3º ESO E. AC. MÉTRICA PLANA @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 1

U. D. 8. 9 * 3º ESO E. AC. CUADRILÁTEROS Y EXÁGONO @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 2

CUADRILÁTEROS • Los CUADRILÁTEROS son los polígonos de cuatro lados. • • • • Se clasifican en: TRAPEZOIDE No tiene ningún lado paralelo. Ejemplo: La cometa. TRAPECIO Tiene dos lados paralelos llamados bases. Trapecio: Tiene lados y ángulos distintos. Trapecio isósceles : Tiene dos lados iguales. Trapecio rectángulo : Tiene dos ángulos rectos. PARALELOGRAMOS Tienen los lados paralelos dos a dos. Cuadrado: Tiene los lados iguales y los ángulos rectos. Rectángulo: Tiene los ángulos rectos. Rombo : Tiene los lados iguales. Romboide : Tiene los lados y ángulos opuestos iguales. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 3

PARALELOGRAMOS • • Un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene los lados opuestos paralelos dos a dos. Los paralelogramos tienen los lados opuestos iguales. Los paralelogramos tienen los ángulos opuestos iguales. Las diagonales se cortan en su punto medio. Las diagonales de un cuadrado son iguales y perpendiculares. Las diagonales de un rectángulo son iguales. Las diagonales de un rombo son perpendiculares. Cuadrado Rectángulo Romboide @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 4

CUADRADO • Ejemplo_1 • La diagonal de un cuadrado mide 3 cm más que el lado. Hallar su perímetro y su área. • • P = 4. l Necesitamos el lado. A = l 2 Necesitamos el lado. • • • Por Pitágoras: d = l. √ 2 l + 3 = l. √ 2 – l 3 = l. (√ 2 – 1) l = 3 / 0, 4142 = 7, 24 • • P = 4. l = 4. 7, 24 = 28, 96 cm A = l 2 = 7, 24 = 52, 42 cm 2. @ Angel Prieto Benito • Ejemplo_2 • Hallar el área de un cuadrado en función de su diagonal. • • d = l. √ 2 l = d / √ 2 A = l 2 • • A = l 2 = (d / √ 2 )2 = = d 2 / √ 22 = d 2 / 2 Apuntes de Matemáticas 3º ESO 5

RECTÁNGULO b • Ejemplo_3 • En un rectángulo un lado es 5 cm mayor que el otro y la diagonal mide 10 cm. Hallar la base y la altura del rectángulo. • • • Pongamos h = b+5 Por Pitágoras: d = √( b 2 + (b+5)2 ) 102 = b 2 + 10. b + 25 2. b 2 + 10. b + 25 – 100 = 0 2. b 2 + 10. b – 75 = 0 Resolviendo la ecuación: -10 + √(100+600) b = ----------- = 4, 11 cm 4 h = b + 5 = 9, 11 cm @ Angel Prieto Benito d h h d’ b P = 2. b+2. h Apuntes de Matemáticas 3º ESO A = b. h 6

RECTÁNGULO • Ejemplo_4 • En un rectángulo el perímetro mide 9 cm y el área vale 4, 5 cm 2. Hallar la diagonal. • • • P = 2. b + 2. h 9 = 2. b + 2. h (1) A = b. h (2) De la primera ecuación: h = (9 – 2. b)/2 = 4, 5 – b Sustituyendo en la segunda: 4, 5 = b. (4, 5 – b) 4, 5 = 4, 5. b – b 2 - 4, 5. b + 4, 5 0 Resolviendo la ecuación: 4, 5 +/- √(20, 25 - 18) b = --------------- = = (4, 5 +/- 1, 5) / 2 = 3 y 1, 5 cm 2 Y la altura será: h=4, 5 – b h = 1, 5 y 3 cm respectivamente. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 7

ROMBOIDE • Ejemplo_5 • En un romboide la altura mide 2 cm menos que la base, y sabemos además que el área vale 12 cm 2. Hallar la altura, la base y el lado oblicuo. • Resolución: b • • A = b. h • Sustituyendo el valor de h de la (1) en la (2): • • • h = b – 2 (1) 8 = b. h (2) l h l b 8 = b. (b – 2 ) 8 = b 2 – 2. b – 8 = 0 2 +/- 6 Resolviendo la ecuación: b = ------ = 4 y - 2 b = 4 cm 2 Luego h = b – 2 = 4 – 2 = 2 cm y l = indeterminado @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 8

ROMBO l l • Ejemplo 6 • En un rombo la diagonal mayor es 4 cm mayor que la diagonal menor, y el lado del rombo mide 10 cm. Hallar el área del rombo. • • d D l @ Angel Prieto Benito l • • • En el triángulo rectángulo resaltado, por Pitágoras: l = √ [ (D/2)2 + (d/2)2 ] 10 = √ [ ((d+4)/2)2 + (d/2)2 ] 100 = (d 2 + 8 d + 16) / 4 + d 2 / 4 400 = d 2 + 8 d + 16 + d 2 2. d 2 + 8 d – 384 = 0 Ecuación de 2º grado. Resolviendo la ecuación: d = 12 Luego D = 12+4 = 16 y A = D. d / 2 = 96 cm 2 Apuntes de Matemáticas 3º ESO 9

TRAPECIOS b • Un TRAPECIO es el cuadrilátero ( 4 lados ) que tiene dos lados ( bases) paralelos. l • La base mayor se designa por “B” y la base menor por “b”. • PERÍMETRO: P = B + b + l ’ b h h B B h • Si unimos dos trapecios como en la figura, se forma un romboide, de área: • A = (B+b). h B @ Angel Prieto Benito l’ b Apuntes de Matemáticas 3º ESO • Luego el área del trapecio será la mitad del romboide. 10

TRAPECIO b=5 • EJEMPLO_8 • En un trapecio las bases miden 7 y 5 cm y el área vale 48 cm 2. l’ l h h • Hallar la altura, los lados oblicuos y dibujarlo. B=7 • Sabemos que: • Luego A = [(B+b) / 2]. h 48 = [(7+5)/2]. h 48 =(12/2). h 48 = 6. h h = 8 cm • Pero, sin más datos, el trapecio es indeterminado (infinitas soluciones). @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 11

TRAPECIO b=5 • EJEMPLO_9 • En un trapecio isósceles las bases miden 11 y 5 cm y el área vale 48 cm 2. • Hallar la altura, los lados oblicuos y dibujarlo. • Sabemos que: • Luego l l h A = [(B+b) / 2]. h h B=7 48 = [(11+5)/2]. h 48 =(16/2). h 48 = 8. h h = 6 cm • Además a ambos lados se forma un triángulo rectángulo: • Cateto mayor = altura , cateto menor = (B – b) / 2 , hipotenusa = lado l • Luego l = √ (h 2 + [(B – b)/2]2) = √ (62 + [(11 – 5)/2]2) = √ (36 + 9) = √ 45 cm @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 12

TRAPECIO • EJEMPLO_10 b=5 • En un trapecio rectángulo el perímetro mide 30 cm, las bases miden 11 y 5 cm y la altura es 2 cm menor que el lado oblicuo. . l l h h • Hallar el área y dibujarlo. • Sabemos que: • Luego A = [(B+b) / 2]. h A = [(11+5)/2]. h A = 8. h B = 11 • Además P = B + b + h + l 30 = 16 + h + l • Como h = l – 2 30 = 16 + (l – 2 ) + l 30 = 16 + 2. l – 2 • Luego 2. l = 16 l = 8 cm • El área será @ Angel Prieto Benito y por tanto h = 6 cm A = 8. h = 8. 6 = 48 cm 2 Apuntes de Matemáticas 3º ESO 13

TRAPEZOIDE Ejercicio • Hallar el área del cuadrilátero de lados: • a = 7 cm, b = 10 cm, c = 12 cm y d = 7 cm • Sabiendo que el ángulo que forman los lados a y d es de 110º. c • Resolución: • Dividimos el trapezoide en 4 triángulos. P d a @ Angel Prieto Benito b • Trazamos las 4 alturas, una por cada triángulo. • Medimos las alturas. • Calculamos el área de cada triángulo y sumamos las cuatro áreas halladas. Apuntes de Matemáticas 3º ESO 14

EXÁGONO • Ejercicio_1 • En un exágono el perímetro vale 54 cm. Hallar el área. • • PERÍMETRO: P = 6. l 54 = 6. l l = 54 / 6 = 9 cm • • ÁREA: A = P. apo / 2 Apo = l. √ 3 /2 = 4, 5. √ 3 • A = 54. 4, 5. √ 3 / 2 = 121, 5. √ 3 cm 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO l l apo l 15