U D 8 3 ESO E AC MTRICA

U. D. 8 * 3º ESO E. AC. MÉTRICA PLANA @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 1

U. D. 8. 4 * 3º ESO E. AC. FÓRMULA DE HERÓN @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 2

FÓRMULA DE HERÓN • • La fórmula de Herón halla el área de un triángulo del cual se conocen todos sus lados. El área se calcula a partir del semiperímetro del triángulo s y de la longitud de los lados (a, b y c). @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 3

FÓRMULA DE HERÓN • Ejemplo • Sea un triángulo de lados conocidos, siendo estos a=4 cm, b=5 cm y c=3 cm. Calcularemos su área por la fórmula de Herón. Primero calcularemos el semiperímetro (s). • • • Ahora aplicamos la fórmula de Herón: • Y se obtiene que el área del triángulo es de 6 cm 2. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 4

Triángulo inscrito en una circunferencia • A partir de la fórmula de Herón tenemos otro procedimiento para hallar el área de un triángulo cualquiera. Sea un triángulo inscrito en una circunferencia de radio R. Entonces: • @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 5

Triángulo inscrito en una circunferencia • • • Ejemplo Tenemos un triángulo de lados a, b, y c, inscrito en una circunferencia de radio R. Hallar su área. Datos: a= 3 cm, b= 5 cm, c= 4 cm; R= 2, 5 • Área: A = a. b. c / 4. R • A = 3. 5. 4 / 4. 2, 5 = 6 cm 2 • • • Nota: Al ser un triángulo rectángulo, podemos hallar su área de otra manera. Verificando la fórmula de Herón: A = cateto / 2 = a. c / 2 = 3. 4/2 = 12/2 = 6 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 6

Triángulo inscrito en una circunferencia • Otro ejemplo • • Tenemos un triángulo de lados a, b, y c, inscrito en una circunferencia de radio R. Hallar uno de sus lados conocida el área. Datos: a= 5 cm, c= 7, 5 cm; R= 4 cm; A= 18 cm 2 • Área: A = a. b. c / 4. R • 18 = 5. b. 7, 5 / 4. 4 • • • Despejando b: 18. 16 / 5. 7, 5 = b b = 288 / 37, 5 = 7, 68 cm @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 7

Triángulo circunscrito en una circunferencia • También, a partir de la fórmula de Herón disponemos de un procedimiento más para calcular el área de un triángulo, pero ahora a partir de la circunferencia de radio r inscrita en el triángulo. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 8

Triángulo circunscrito en una circunferencia • • • Ejemplo Tenemos un triángulo de lados a, b, y c, inscrito en una circunferencia de radio r. Hallar su área. Datos: a= 4 cm, b= 5 cm, c= 3 cm; r= 1 cm • • Área: A = s. r Semiperímetro: s = (a+b+c )/2 =(4+5+3)/2 = 12/2 = 6 cm A = 6. 1 = 6 cm 2 • • Nota: Al ser un triángulo rectángulo, podemos hallar su área de otra manera. Verificando la fórmula de Herón: A = cateto / 2 = a. c / 2 = 3. 4/2 = 12/2 = 6 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 9

Triángulo circunscrito en una circunferencia • • • Otro ejemplo Tenemos un triángulo de lados a, b, y c, inscrito en una circunferencia de radio r. Hallar el radio de la circunferencia inscrita conocida el área del triángulo. Datos: a= 3, 37, b= 4 cm, c= 2, 53 cm; A= 4, 40 cm 2 • • Área: A = s. r Semiperímetro: s = (a+b+c )/2 =(3, 37+4+2, 53)/2 = 9, 9/2 s = 4, 95 cm • • 4, 40 = 4, 95. r Despejando r: 4, 40 / 4, 95 = r r = 0, 89 cm @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 10