U D 5 2 ESO EXPRESIN ALGEBRAICA Angel

U. D. 5 * 2º ESO EXPRESIÓN ALGEBRAICA @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO 1

U. D. 5. 5 * 2º ESO PRODUCTOS NOTABLES @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 2º ESO 2

IDENTIDADES • FÓRMULA • Es una expresión algebraica mediante la cual se obtienen valores de la misma para diferentes valores de la variable o variables. • P = 4. x Para x = 3 P = 4. 3 P = 12 • S = x 2 – 4 Para x = 5 S = 52 – 4 S = 25 – 4 = 21 • ECUACIÓN • Es una igualdad algebraica que sólo se cumple para uno o varios valores concretos de la incógnita o incógnitas que intervienen: • 2 x = 4 Sólo para x = 2 • x 2 = 4 Sólo para x = 2 y para x = - 2 • IDENTIDAD • Es toda igualdad que siempre se cumple, sea cual sea el valor de la incógnita o incógnitas: • x=x • (x – 2). (x + 2) = x 2 – 4 • (x + 3)2 = x 2 + 6. x + 9 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 1º ESO 3

PRODUCTOS NOTABLES • • • Hay identidades que son muy importantes en matemáticas. Se llaman productos notables por su forma. Los más frecuentes son tres: ( x + y )2 = x 2 + 2. x. y + y 2 ( x – y )2 = x 2 – 2. x. y + y 2 ( x + y ). ( x – y ) = x 2 – y 2 • • Veamos algunos ejemplos de verificación: ( 3 + 2 )2 = 32 + 2. 3. 2 + 22 52 = 9 + 12 + 4 25 = 25 ( 4 + 5 )2 = 42 + 2. 4. 5 + 52 92 = 16 + 40 + 25 81 = 81 ( 7 + 1 )2 = 72 + 2. 7. 1 + 12 82 = 49 + 14 + 1 64 = 64 • • Con otro producto notable: ( 3 – 2 )2 = 32 – 2. 3. 2 + 22 12 = 9 – 12 + 4 1 = 13 – 12 1 = 1 ( 5 – 3 )2 = 52 – 2. 5. 3 + 32 22 = 25 – 30 + 9 4 = 34 – 30 4 = 4 ( 2 – 7 )2 = 22 – 2. 2. 7 + 72 (– 5)2 = 4 – 28 + 49 25 = 53 – 28 25=25 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 1º ESO 4

PRODUCTOS NOTABLES • • Con el tercer producto notable: ( 3 + 2 ). ( 3 – 2 ) = 32 – 22 5. 1 = 9 – 4 5 = 5 ( 5 + 3 ). ( 5 – 3 ) = 52 – 32 8. 2 = 25 – 9 16 = 16 ( 5 + 8 ). ( 5 – 8 ) = 52 – 82 13. (– 3) = 25 – 64 – 39 = – 39 • • • Vemos que, cualquiera que sea el valor de x y de y, siempre se cumplen. Resumiendo las tres identidades notables: El cuadrado de la suma de dos números es igual a la suma de los cuadrados de dichos números más el doble de su producto. ( x + y )2 = x 2 + 2. x. y + y 2 El cuadrado de la diferencia de dos números es igual a la suma de los cuadrados de dichos números menos el doble de su producto. ( x – y )2 = x 2 – 2. x. y + y 2 El producto de la suma por la diferencia de dos números es igual a la diferencia de cuadrados de dichos números. ( x + y ). ( x – y ) = x 2 – y 2 • • • @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 1º ESO 5

Demostración • • ( x + y )2 = = (x + y) = = x 2 + x. y + y. x + y 2 = = x 2 +2. x. y + y 2 • • ( x – y )2 = = (x – y) = = x 2 – x. y – y. x + y 2 = = x 2 – 2. x. y + y 2 • ( x + y ). ( x – y ) = • = x 2 + x. y – y. x – y 2 = • = x 2 – y 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 6

• EJERCICIOS PARA CALCULAR ( I ) • ( x + 5 )2 = • ( 2 x - y )2 = • ( 3 + y ). ( 3 – y ) = • ( x + 4 )3 = • ( 5 - 2 y )3 = • ( 3 x + √ 5 )2 = • ( x/2 – 2/x )2 = • ( √ 3 + y ). ( y – √ 3 ) = @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 7

• EJERCICIOS PARA CALCULAR ( y II ) • ( - x + 5 )3 = • ( - 2 a - b )2 = • ( - 3 + a/2 ). ( - 3 – a/2 ) = • ( 1/x – 5)3 = • ( 5 – x + y )2 = • ( 3 + x – √ 5 )2 = • ( – a/4 – 2/a )2 = • ( √ 3 + √ 5 ). (√ 5 – √ 3 ) = @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 8

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS • Factorizar un polinomio es expresarlo como producto de dos o más factores, donde cada factor es un monomio o un polinomio. • CASOS A CONSIDERAR • • 1º CASO. Que a P(x) le falte el término independiente. P(x) = a. x 3 + b. x 2 + c. x Extraemos factor común a x y lo tendremos factorizado: P(x) = x. (a. x 2 + b. x + c ) • Ejemplos • • 1. - P(x) = 3. x 2 + 4. x Extraemos factor común a x P(x) = x. (3. x + 4 ) • • 2. - P(x) = 2. x 2 - 3. x Extraemos factor común a x P(x) = x. (2. x - 3 ) @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 9

• 3. • P(x) = 3. x 3 + 4. x P(x) = x. (3. x 2 + 4 ) • 4. • P(x) = 2. x 4 - 3. x 2 Extraemos factor común a x 2 P(x) = x 2. (2. x 2 - 3 ) Extraemos factor común a x • 2º CASO. - Que P(x) sea el desarrollo de un producto notable. • Se identifica el producto y se expresa como producto de factores o potencia. • Ejemplos • x 2 + 4. x + 4 = ( x + 2 )2 = ( x + 2 ) • x 2 - 6. x + 9 = ( x - 3 )2 = ( x - 3 ) • x 2 – 16 = (x + 4 ). ( x – 4 ) @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 10

• Más ejemplos • x 2 + 10. x + 25 = ( x + 5 )2 = ( x + 5 ) • 9. x 2 - 72. x + 144 = ( 3. x - 12 )2 = ( 3. x - 12 ) • 64 – 4. x 2 = (8 – 2. x ). (8 + 2. x) • 3º CASO. Que P(x) al ser dividido entre (x – a) resulte una división exacta (resto = 0). En ese caso como P(x) = d(x). c(x) + r(x) y r(x) = 0 Resulta que P(x) = (x - a). c(x) , que es el producto de dos polinomios. ESTE CASO SE ESTUDIA A PARTIR DE 3º ESO • • • @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 11

• EJERCICIOS PARA CALCULAR ( III ) • x 2 - 8. x + 16 = • 25 + 10. a + a 2 = • 9 - 4. x 2 = • x 4 – 14. x 2 + 49 = • 25 – a 2. b 2 = • 32. x + x 2 + 16 = • 25 + y 2 + 10. x = • 9 – 6. x + x 2 = @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 12

• EJERCICIOS PARA CALCULAR ( y IV ) • x 2 - 16. x + 64 = • 25 – 10. z + z 2 = • 4. x 2 – 9 = • x 4 + 49 – 14. x 2 = • 5 – a 2 = • – 32. x + x 2 + 16 = • – 25 – y 2 + 10. x = • – 3 – 2. √ 3. x – x 2 = @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 13