U D 4 2 ESO PROPORCIONALIDAD Angel Prieto

U. D. 4 * 2º ESO PROPORCIONALIDAD @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 1

U. D. 4. 2 * 2º ESO PROPORCIONALIDAD DIRECTA @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 2

Proporcionalidad DIRECTA. • Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando se cumplen dos condiciones: • • PRIMERA: Al aumentar una magnitud aumenta también la otra. SEGUNDA: La razón en todo momento entre esas dos magnitudes debe ser constante, la misma. – La razón, r, entre esas dos magnitudes se llama razón de proporcionalidad. • • Magnitud M Magnitud N • • • a b c --- = r a’ b’ c’ @ Angel Prieto Benito a a’ b b’ Apuntes Matemáticas 2º ESO c c’ 3

Proporcionalidad DIRECTA. • • EJEMPLO 1 Una persona gana 8 € si trabaja 2 horas, 12 € si trabaja 3 horas, 16 € si trabaja 4 horas, etc. • • Magnitud “Ganancias” Magnitud “Horas trabajo” • • • PRIMERA: Al aumentar una magnitud aumenta también la otra. 12 > 8 3 > 2 16 >12 4 > 3 • SEGUNDA: La razón en todo momento entre esas dos magnitudes debe ser constante, la misma. 8 12 16 --- = 4 , como vemos es un valor constante 2 3 4 Las dos magnitudes dadas son directamente proporcionales. • • @ Angel Prieto Benito 8 2 Apuntes Matemáticas 2º ESO 12 3 16 4 4

Proporcionalidad DIRECTA. • EJEMPLO 2 • Nos cobran 80 € si compramos 4 libros, 120 € si compramos 6, 200 € si compramos 10, etc. • • Magnitud “Coste” Magnitud “Nº cuadernos” • • PRIMERA: Al aumentar una magnitud aumenta también la otra. 4 < 6 < 10 80 < 120 < 200 • SEGUNDA: La razón en todo momento entre esas dos magnitudes debe ser constante, la misma. 80 120 200 ----- = 20 , como vemos es un valor constante: k = 20 4 6 10 Las dos magnitudes dadas son directamente proporcionales. • • @ Angel Prieto Benito 80 4 Apuntes Matemáticas 2º ESO 120 6 200 10 5

• CONTRAEJEMPLO • Una persona gana 14 € si trabaja 2 horas, 24 € si trabaja 4 horas, 40 € si trabaja 8 horas, etc. • Magnitud “Ganancias” • Magnitud “Horas trabajo” 14 2 24 4 40 8 • PRIMERA: Al aumentar una magnitud aumenta también la otra. • SEGUNDA: La razón en todo momento entre esas dos magnitudes debe ser constante, la misma. • 14 24 40 • --- = 7 , , --- = 6 , , --- = 5 , como vemos NO es un valor constante • 2 4 8 • Las dos magnitudes dadas NO son directamente proporcionales. • En muchos trabajos cuanto más horas se trabaje, menor es el salario correspondiente a cada hora trabajada. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 6

• CONTRAEJEMPLO 2 • Sacamos un 8 en un examen si estudiamos 4 horas diarias, un 6 si estudiamos 3 horas diarias y un 3 si estudiamos 1 hora diaria. • • Magnitud “Nota” Magnitud “Horas estudio” • • PRIMERA: Al aumentar una magnitud aumenta también la otra. 1<3<4 3<6<8 • SEGUNDA: La razón en todo momento entre esas dos magnitudes debe ser constante, la misma. 3 6 8 --- = 3, ----- = 2 , como vemos NO es un valor constante: k <> 2 1 3 4 • • • 3 1 6 3 8 4 Las dos magnitudes dadas NO son directamente proporcionales. Suele pasar que cuantas más horas se estudie mayor nota se obtiene en un examen, pero no de forma directamente proporcional. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 7

REGLA DE TRES DIRECTA • Si dos magnitudes son directamente proporcionales, podemos aplicar para la resolución del ejercicio la llamada Regla de tres simple directa. • Una persona gana 8 € si trabaja 2 h. ¿Cuánto ganará si trabaja 15 h? . • • 2 h 15 h • • Se multiplican en cruz y se igualan: 2. x = 15. 8 2. x = 120 • Muy importante: NO se puede aplicar una regla de tres simple directa si las magnitudes que intervienen no son directamente proporcionales. • La razón de proporcionalidad sería, en este caso: r=4 , lo que vale la hora trabajada. 8€ x€ @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO x = 120 / 2 = 60 € 8

REGLA DE TRES DIRECTA • Ejemplo 2 • Si cuatro cuadernos han costado 8 €, ¿cuánto nos costarán 7 cuadernos? . • 4 c • 7 c 8€ x€ • Se multiplican en cruz y se igualan: • 4. x = 7. 8 4. x = 56 • • x = 56 / 4 = 14 € La razón de proporcionalidad sería, en este caso: 8 14 --- = ---- = r , de donde r = 2 , que es lo que vale cada cuaderno. 4 7 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 9

REGLA DE TRES DIRECTA • ¿Ejemplo 3? • Si tres pintores tardan 4 días en pintar una casa, ¿cuántos días tardarán en pintar la misma casa seis pintores? . • • 3 p 6 p • Se multiplican en cruz y se igualan: • 3. x = 6. 4 • Vemos que algo está mal. El doble de pintores no pueden tardar el doble de tiempo, sino la mitad del tiempo. • No se puede aplicar la regla de tres simple directa, porque las magnitudes (nº de pintores y tiempo en días) no son directamente proporcionales. @ Angel Prieto Benito 4 d xd 3. x = 24 / 3 = 8 días Apuntes Matemáticas 2º ESO 10