U D 3 3 ESO E AC PROPORCIONALIDAD

U. D. 3 * 3º ESO E. AC. PROPORCIONALIDAD @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 1

U. D. 3. 5 * 3º ESO E. AC. PORCENTAJES: CALCULO DIRECTO @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 2

PORCENTAJES • • La proporcionalidad se expresa con un cociente, una fracción a --- = k , siendo k la razón de proporcionalidad o simplemente razón. a’ • • • PORCENTAJE o TANTO POR CIENTO • • • EJEMPLO En Matemáticas han aprobado 2 de cada cinco alumnos. 2 40 --- = ------ = 40 % , que es el porcentaje de aprobados. 5 100 Un porcentaje es una proporcionalidad cuyo denominador es 100. Su símbolo es %. Para comparar dos razones se utilizan los porcentajes. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 3

• OTRO EJEMPLO • • En Matemáticas han aprobado 3 de cada 5 alumnos, en Latín 4 de cada 8, y en Economía 9 de cada 12. ¿Dónde han aprobado más, porcentualmente? . • • • 3 60 --- = ------ = 60 % , que son los aprobados en Matemáticas. 5 100 • • • 4 50 --- = ---- = 50 % , que son los aprobados en Latín. 8 100 • • • 9 75 --- = ----- = 75 % , que son los aprobados en Economía. 12 100 • El mayor porcentaje de aprobados es en Economía. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 3º ESO E. AC. 4

• TANTO POR UNO • • En una razón se llama tanto por uno a la expresión decimal que resulta de efectuar la división. a --- = r , siendo r la razón de proporcionalidad o tanto por uno. a’ • • • EJEMPLO_1 En Matemáticas han aprobado 2 de cada cinco alumnos. 2 --- = 0, 4 , que es el tanto por uno. 5 • • • EJEMPLO_2 En Física han aprobado 3 de cada ocho alumnos. 3 --- = 0, 375 , que es el tanto por uno. 8 @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 5

• TANTO POR MIL • Cuando el tanto por ciento, %, resulta una cantidad muy pequeña, resulta más adecuado expresarlo en tanto por mil. • • El tanto por mil es una proporcionalidad cuyo denominador es 1000. Su símbolo es o/oo • • • EJEMPLO En África el virus Ébola mata a 3 de cada 10000 personas. 3 0, 3 ----- = 0, 30 o/oo , que es el porcentaje de muertes. 10000 1000 • • EJEMPLO_2 El número de inmigrantes en Barcelona es de 400 por cada millón de personas. 400 4 0, 4 ------ = ---- = 0, 4 o/oo , que es el tanto por mil. 1000000 1000 • • • @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 6

PORCENTAJES ENCADENADOS • • • TANTO POR UNO ENCADENADOS • • Ejemplo 1 Al comprar un objeto nos hacen un 20% de descuento, pero al pagarlo nos aplican un 16% de IVA • • Si nos hacen un 20% de descuento: 100 – 20 = 80 Se paga el 80% del precio. Si nos imponen un 16% de IVA: 100 + 16 = 116 Se paga el 116 % del precio. • En total: El 116% del 80% será 1, 16. 0, 8 = 0, 928 , que es el 92, 8 % del precio. La aplicación sucesiva de porcentajes, o tantos por uno, de una cantidad se llama tantos por uno encadenados y es equivalente al PRODUCTO de estos. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 7

• EJEMPLO 2 • • El precio de un ordenador marca 1000 €. Nos hacen un 20 % de descuento. Pero al pedir la factura nos aplican un 16% de IVA. ¿Cuánto pagamos por el ordenador? . • • Descuento: 100 – 20 = 80 80 80% de 1000 = -----. 1000 = 800 € hay que pagar. 100 Aumento: 100 + 16 = 116 116 % de 800 = -------. 800 = 928 € pagamos finalmente 100 • Utilizando porcentajes encadenados, tenemos: • • 116 % de (80 % de 1000) = 1, 16. 0, 8. 1000 = 0, 928. 1000 = 928 € Al final pagamos el 92, 8 % de su valor, menos de lo señalado. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 8

• EJEMPLO 3 • Un piso me costó hace pocos años 100. 000 €. Su valor ha aumentado un 25%. Pero al venderlo, los gastos me suponen un 20% de su valor. ¿Qué dinero voy a obtener finalmente si le vendo? . • • Aumento de valor: 100 + 25 = 125 125 % de 100. 000 = ------. 100. 000 = 125. 000 € vale ahora. 100 Gastos de venta: 100 - 20 = 80 80 80 % de 125. 000 = -------. 125. 000 = 100. 000 € obtendría 100 • • Utilizando porcentajes encadenados, tenemos: 80 % de (125 % de 100. 000) = 0, 8. 1, 25. 100. 000 = 1 x 100. 000 = = 100. 000 € Importante: A pesar de que la subida (25%) es mayor en porcentaje que los gastos (20%), los porcentajes se aplican a cantidades diferentes (100. 000 € y 125. 000 €), por lo cual el balance final es nulo. @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 9

• EJEMPLO 4 • Un coche valía en Enero 12. 000 €. En Junio subió un 5%. En Agosto subió un 3%. Y en diciembre bajó un 7 %. ¿Por cuánto lo compré a final de año? . • • • Porcentaje encadenado: (100 + 5 %). (100 + 3 %). (100 – 7 %) = = (105 %). (103 %). (93%) • • En tantos por uno, para poder operar: = 1, 05. 1, 03. 0, 93 = 1, 005795 • • Precio final: P = 1, 005795. 12000 = 12069, 54 € @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 10

• EJEMPLO 5 • Una lavadora costaba en Enero 300 €. En Marzo había bajado su precio un 10 %, en Julio había subido un 15% y en Septiembre bajó un 12%. ¿Cuánto me costó, si la compré en Octubre? . • • • Porcentaje encadenado: (100 – 10 %). (100 + 15 %). (100 – 12 %) = = (90 %). (115 %). (88 %) • • En tantos por uno, para poder operar: 0, 90. 1, 15. 0, 88 = 0, 9108 • • Precio final: Pf = 0, 9108. Po Pf = 0, 9108. 300 = 273, 24 € @ Angel Prieto Benito Apuntes de Matemáticas 3º ESO 11