U D 15 2 ESO PROBABILIDAD Angel Prieto

U. D. 15 * 2º ESO PROBABILIDAD @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 1

U. D. 15. 1 * 2º ESO EXPERIMENTOS ALEATORIOS @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 2

EXPERIMENTO DETERMINISTA • Un experimento determinista es aquel experimento que una vez estudiado por primera vez, podemos predecirlo, es decir, saber lo que sucederá antes de volver a realizar el experimento. • • • Ejemplos – El hielo se funde cuando la temperatura sube de 0ºC. – Una piedra, al soltarla, siempre caerá hacia abajo por la gravedad. – Al unir cloro con sodio se produce la sal común. – Si un coche circula a 200 km/h, y tarda en hacer un trayecto 3 horas, habrá recorrido 600 km. – Si al número 5 lo elevamos al cubo siempre dará 125. Para expresar los resultados de experimentos deterministas se suele emplear la frase: “Es seguro que…”, pues el resultado está determinado de antemano. • • • @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 3

EXPERIMENTOS ALEATORIOS • • Un experimento es aleatorio cuando el resultado del mismo no se puede saber de antemano, pues depende del azar. En éstos experimentos, por mucho que se repita y en las mismas condiciones, no se puede predecir el resultado. Ejemplos – Al lanzar una moneda (no trucada) al aire no podemos saber si el resultado va a ser cara o cruz. – Al lanzar un dado (no trucado) al aire no podemos saber cuál va ha ser el resultado de entre los seis posibles. – Al extraer una carta de una baraja español (sin mirar, sin hacer trampas) no podemos cuál va ha ser el resultado de entre los cuarenta posibles. – Al comprar un billete de lotería, no podemos saber antes del sorteo si va a resultar premiado. – Al tender la ropa en el patio una persona no puede saber de antemano si se va a mojar con la lluvia. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 4

Ejercicio simple • • Clasifica los siguientes experimentos en determinísticos o aleatorios. Si el experimento es aleatorio, escribe un posible resultado. 1. Lanzar un dado de quiniela hípica. 2. El resultado de dividir 12 entre 4. 3. En una caída libre de 20 metros, conocer la velocidad final contra el suelo. 4. Lanzar dos monedas al aire 5. Sacar una carta de una baraja española 6. Saber el día de la semana en que naciste. 7. Sacar una bola roja de una caja donde hay 3 rojas y 5 azules 8. Al lanzar un dado, obtener una puntuación mayor que 4 9. El resultado de elevar un número al cuadrado 10. Saber si va a llover en tu ciudad mañana. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 5

POSIBILIDAD Y PROBABILIDAD • • • • Un experimento aleatorio va a producir u ocasionar sucesos aleatorios. Al lanzar un dado (no trucado) al aire, antes de que se produzca el resultado o suceso aleatorio, podemos pensar: “Es imposible que el resultado sea un 7”. “Es poco posible que el resultado sea un 6”. “Es posible que el resultado sea un 4”. “Es muy posible que el resultado sea un número par”. “Es seguro que el resultado sea un número entre 1 y 6”. Pues bien, como veremos en esta Unidad Didáctica, lo que hace la probabilidad es medir la posibilidad de que un suceso aleatorio ocurra. Así, si un suceso es imposible, el valor de la probabilidad es cero, 0. Igualmente, si un suceso es seguro, el valor de la probabilidad es uno, 1. Si es poco posible o casi imposible, la probabilidad de que el suceso ocurra será muy pequeña, de 0, 1 ó 0, 2. Si es posible, la probabilidad de que el suceso ocurra será de 0, 4 ó 0, 6. Si es muy posible o casi seguro, la probabilidad de que el suceso ocurra tendrá unos valores muy altos, de 0, 8 ó 0, 95. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 6

Un poco de historia • • La historia de la probabilidad comienza cuando Cardano (jugador donde los haya) escribió sobre 1520 El Libro de los Juegos de Azar. Casi un siglo después Pierre Fermat y Blaise Pascal tratan de resolver algunos problemas relacionados con los juegos de azar, comenzando a elaborarse una teoría aceptable sobre los juegos. En la actualidad, ruletas, máquinas tragaperras, loterías, quinielas, . . . , nos indican que dicha fascinación del hombre por el juego, continúa. El cálculo de probabilidades trata de medir, cada vez con mayor grado de certeza, hasta que punto puede suceder un fenómeno aleatorio. Las expresiones “seguro, casi seguro, posible, bastante posible, casi imposible o imposible”, al referirnos a que se pueda realizar un suceso toman un carácter numérico, matemático, gracias a lo cual podemos “predecir” el resultado. Una compañía de seguros puede predecir el número de accidentes que tendrá el próximo año y así ajustar el precio de cada seguro. Una fabrica puede predecir el número de coches que va a vender el próximo año, y así evitar un stock innecesario y ajustar el precio final. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 7

TIPOS DE SUCESOS • • • Suceso ELEMENTAL Es aquel formado por un único punto muestral, es decir por un único resultado del experimento. Ejemplo Al lanzar un dado: Sucesos elementales: {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, y {6} • • • Suceso COMPUESTO Es el que está formado por dos o más sucesos elementales. Ejemplo Al lanzar un dado dos veces: Sucesos compuestos: {1, 1}, {1, 2}, {1, 3}, …. , {6, 5}, y {6, 6} • • • Suceso SEGURO Es el que está formado por todos los resultados posibles. Ejemplo Al lanzar un dado: Sea A={1, 2, 3, 4, 5, 6} @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 8

• • • Suceso IMPOSIBLE Es aquel que nunca se verifica. Se representa por ø. Ejemplo Al lanzar un dado: Sea el suceso A={7} • • • Sucesos IGUALES Son los que están formados por los mismos puntos muestrales. Ejemplo Al lanzar dos dados iguales, cuando el resultado es el mismo. No puede hablarse de sucesos iguales cuando los resultados sean iguales pero un dado sea exagonal y otro tetraédrico, E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y E’ = {1, 2, 3, 4} • • • Suceso CONTRARIO Es el que se verifica cuando no se realiza el suceso A. Se expresa de este modo: Ā Ejemplo Al lanzar un dado que el resultado NO sea un número primo. Sea A={1, 2, 3, 5} y por tanto Ā = {4, 6} @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 9

• Sucesos COMPATIBLES • Dos sucesos, A y B, se los llama sucesos compatibles cuando se pueden dar a la vez. • • • Ejemplo_1 Sea A el suceso “Que al lanzar un dado el resultado sea un 6” y sea B el suceso “Que al lanzar un dado el resultado sea un número par”. Ejemplo_2 Sea A el suceso “Al extraer una carta sea una copa” y sea B el suceso “Al extraer una carta sea un rey”. • Sucesos INCOMPATIBLES • Dos sucesos, A y B, se los llama sucesos incompatibles cuando no se pueden dar a la vez. • • • Ejemplo_1 Sea A el suceso “Que al lanzar un dado el resultado sea un 5” y sea B el suceso “Que al lanzar un dado el resultado sea un número par” @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 10

• • • • Sucesos EQUIPROBABLES Dos sucesos, A y B, se los llama sucesos equiprobables cuando tienen la misma posibilidad de resultar. Ejemplo_1 Al lanzar una moneda el suceso “Cara” y el suceso “Cruz” son equiprobables. Ejemplo_2 Al lanzar un dado el suceso “ 1” es equiprobable al “ 2”, al “ 3”, al “ 4”, al “ 5” y al “ 6”. Ejemplo_3 Al extraer una carta de una baraja al azar, los 40 sucesos que pueden acontecer son equiprobables. Sucesos NO EQUIPROBABLES Dos sucesos, A y B, se los llama sucesos no equiprobables cuando no tienen la misma posibilidad de resultar. Ejemplo_1 Al lanzar un dado al aire con tres unos, dos equis y un dos, los sucesos “Salir 1”, “Salir X” y “Salir 2” no son equiprobables. Ejemplo_2 Si en una reunión hay doble números de mujeres que de hombres, el resultado de elegir una persona al azar y que “Sea mujer” no es equiprobable al de que “Sea hombre”. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 11

ESPACIO MUESTRAL • • • • Un experimento es aleatorio cuando el resultado del mismo no se puede saber de antemano, pues depende del azar. El conjunto formado por todos los resultados posibles, sucesos, de un experimento aleatorio se llama ESPACIO MUESTRAL y se designa por E. Ejemplos Lanzamiento de una moneda al aire. Espacio muestral Sucesos posibles E={C, X} C, X Lanzamiento de un dado al aire. Espacio muestral Sucesos posibles E={1, 2, 3 , 4, 5 , 6} 1, 2, 3, 4, 5, 6 Extraer una carta de una baraja. Espacio muestral Sucesos posibles E={1 O, 2 O, 3 O, …, CB, RB}. 1 O, 2 O, 3 O, …, CB, RB @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 12

ESPACIO MUESTRAL • • • Más ejemplos Extraemos una bola al azar de una urna opaca que contiene 1 bola Blanca, dos Negras y tres Rojas, de igual forma, tamaño y peso. Espacio muestral E={B, N 1, N 2, R 1, R 2, R 3} Sucesos posibles B, N 1, N 2, R 1, R 2, R 3 Extraemos dos bolas al azar, una a continuación de otra y sin devolver la primera bola a la urna una vez extraída, de una urna opaca que contiene una bola Blanca, una Negra y una Roja, de igual forma, tamaño y peso. Espacio muestral E={BN, BR, NB, RB} Sucesos posibles BN, BR, NB, RB @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 13

ESPACIO MUESTRAL • • • Un último ejemplo Extraemos dos bolas al azar, una a continuación de otra, y sin devolver la primera bola a la urna una vez extraída, de una urna opaca que contiene una bola Blanca, dos Negras y tres Rojas, de igual forma, tamaño y peso. Espacio muestral E={BN, BR, NB, RB, NN, NR, RN, RR} Sucesos posibles BN, BR, NB, RB, NN, NR, RN, RR Como se puede ver en los tres últimos ejemplos, a veces es difícil dar con todos los posibles sucesos que pueden acontecer en un experimento aleatorio, pues cuando el experimento es algo complejo podemos omitir algún suceso del espacio muestral. Para contar mejor, y no omitir ni repetir sucesos, tenemos los diagramas. Son los Diagramas de Árbol, los Diagramas de Venn y las Tablas de Contingencia @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 14