U D 15 2 ESO PROBABILIDAD Angel Prieto

U. D. 15 * 2º ESO PROBABILIDAD @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 1

U. D. 15. 4 * 2º ESO DIAGRAMAS @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 2

Recuento de sucesos Ya hemos visto que necesitamos saber el número de sucesos elementales que se pueden producir en un experimento aleatorio. Si tenemos en una urna diez bolas, no es lo mismo tener una blanca y nueve negras que tener una negra y nueve blancas, cuando por ejemplo ganamos un premio si extraemos al azar una bola blanca. Necesitamos conocer bien el espacio muestral para calcular las probabilidades de los diferentes sucesos elementales que pueden acontecer. Si lanzamos un dado dos o más veces ¿cuál será el espacio muestral? . ¿Y si se extraen dos o más bolas de una urna, donde hay diferentes bolas de variados colores? En estos casos los diagramas de árbol, las tablas de contingencia o los diagramas de Ven nos ayudan a determinar los sucesos elementales. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 3

Diagrama de árbol • El uso del diagrama de árbol en Probabilidad es muy útil y facilita mucho la solución final de un problema. • Para componer un diagrama de árbol seguiremos las siguientes normas: 1. Se abrirán tantas ramificaciones como resultados totales tenga el experimento (Detección de sucesos posibles). 2. En cada ramificación se indicará la probabilidad del suceso correspondiente. 3. Una vez formado el árbol, para calcular la probabilidad del suceso indicado por cada rama se multiplican todas las probabilidades que aparecen a lo largo de dicha rama. 4. Si un suceso comprende varias ramas, su probabilidad se obtiene sumando las probabilidades de todas ellas. • Es muy útil verificar que la suma de probabilidades de todas las ramas es uno. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 4

Diagrama de Árbol • • Si lanzamos dos monedas al aire y nos piden los sucesos elementales que pueden acontecer, la mayoría de la gente diría que son tres: Dos caras Dos cruces Una cara y una cruz Y por tanto los tres tendrían la misma posibilidad (probabilidad) de salir. Sin embargo, si realizamos un diagrama de árbol, vemos que son cuatro los sucesos elementales posibles. Y por tanto, el que salga una cara y una cruz, tendría el doble de posibilidades, doble probabilidad, de salir que las otras dos opciones posibles. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 5

Diagrama de Árbol • • • Otro experimento en que el diagrama de árbol nos ayuda mucho a contar los sucesos elementales es el de extraer dos bolas al azar de una urna opaca en la que hay cuatro bolas numeradas; de modo que la primera bola extraída no ser reincorpore a la urna. El espacio muestral sería: E={12, 13, 14, 21, 23, 24, 31, 32, 34, 41, 42, 43] Serían pues 12 sucesos posibles. Cada uno de los 12 sucesos elementales tendría la misma posibilidad de salir (y como calcularemos después, la misma probabilidad). ¿Y si la primera bola extraída se devuelve a la urna antes de la segunda extracción? @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 6

Diagrama del Árbol • Otro experimento en que el diagrama de árbol nos ayuda mucho a contar los sucesos elementales es el de extraer dos bolas al azar de una urna opaca en la que hay una bola Roja, una Blanca y una Negra. • • • En el caso que la primera bola extraída no ser reincorpore a la urna. El espacio muestral sería: E={RB, RN, BR, BN, NR, NB] Serían pues 6 sucesos posibles. Cada uno de los 6 sucesos elementales tendría la misma posibilidad de salir. • • • En el caso que la primera bola extraída se reincorpore a la urna. El espacio muestral sería: E={RB, RN, RR, BN, BB, NR, NB, NN] Serían pues 9 sucesos posibles. Cada uno de los 9 sucesos elementales tendría la misma posibilidad de salir. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 7

Diagrama del Árbol @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 8

Tablas de contingencia • • • Otro método de poder distinguir claramente en un experimento aleatorio los sucesos elementales son las Tablas de contingencia. Por ejemplo: En nuestra clase, 1ºA ESO, preguntados los alumnos sobre su afición preferida, rellenamos la siguiente tabla con sus respuestas: Alumnos Alumnas Total MÚSICA 6 9 15 DEPORTE 3 2 5 CINE 1 3 4 Total 10 14 24 Elegido un alumno al azar, vemos que hay seis posibles sucesos elementales, luego el espacio muestral es: E={alumnomusica, alumnamúsica, alumnodeporte, alumnadeporte, alumnocine, alumnacine} @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 9

Tablas de contingencia • • • Alumnos Alumnas Total MÚSICA 6 9 15 DEPORTE 3 2 5 CINE 1 3 4 Total 10 14 24 La probabilidad de que la persona elegida al azar sea un alumno es menor que de que sea alumna, al haber mayor número de alumnas. La probabilidad de que le guste la música es triple que el deporte, con independencia de su sexo. La probabilidad de que sea un alumno y le guste el cine es la más pequeña, pues sólo sucede en un alumno de 24. La probabilidad de que sea una alumna y le guste la música es la mayor posible, pues sucede en 9 alumnos de 24. La probabilidad de que sea un alumno y le guste el deporte será la misma que el que sea alumna y le guste el cine, pues en ambos casos sucede 3 veces. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 10

Experimentos y Tablas • Experimento • • Se lanza al aire dos dados tetraédricos NO TRUCADOS. ¿Cuál es la probabilidad de obtener como suma …? . • • 1 2 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 @ Angel Prieto Benito • Otro experimento aleatorio donde las Tablas de contingencia son muy fundamentales es en el lanzamiento de dos dados. El espacio muestral tendría 16 sucesos posibles: E={11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44} • Como se ve es muy posible que salga un 5, es posible que salga un 4 o un 6, poco posible que salga un 3 o un 7 y casi imposible que salga un 2 o un 8. • Si los dados son octoédricos, pentaédricos o icosaédricos, la Tabla de contingencia es casi obligada de utilizarla. Apuntes Matemáticas 2º ESO 11

Tablas de contingencia • Otro experimento, ahora con dados normales (exaédricos). Dado 1 Dado 2 • • 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Como se aprecia una vez construida la posibilidad (probabilidad) de que la suma de los dados resulte un 7 es la mayor de todas las posibles. El espacio muestral tendría 36 sucesos posibles, demasiados, lo que obligaría a usar la Tabla de contingencia para no omitir ningún suceso. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 12

Diagrama de Venn • • Por último, otro diagrama muy utilizado en el cálculo de probabilidades es el de Venn. Se utiliza cuando puede haber, o sea previsible que haya, una unión o intersección de sucesos. Ejemplo Tenemos una urna con dieciséis bolas numeradas del 1 al 16. Extraemos una bola al azar. El espacio muestral sería: E={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16} ¿Qué probabilidad hay de que la bola extraída sea múltiplo de 3? . ¿Y que sea múltiplo de 5? . ¿Y que sea múltiplo de 15 (de 3 y de 5)? . • • • @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO En A anotaríamos las bolas múltiplos de 3. En B anotaríamos las bolas múltiplos de 5. Y, si las hubiera, en la intersección quedarían las bolas múltiplo de 15. 13

Diagrama de Venn • • … Ejemplo En A anotaríamos las bolas múltiplos de 3. En B anotaríamos las bolas múltiplos de 5. Y, si las hubiera, en la intersección quedarían las bolas múltiplo de 15. 3 12 6 15 9 • • • 5 10 La bola nº 15 sólo se contabiliza una vez, no dos, pues es la intersección, lo que tienen en común los sucesos ser múltiplo de 3 y ser múltiplo de 5. En el supuesto de ser múltiplo de 3 o de ser múltiplo de 5, había que sumar todas las bolas, pero la nº 15 una sola vez. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 14

Diagrama de Venn • • … Ejemplo Unión e Intersección de sucesos El suceso “sacar un múltiplo de 3" A={3, 6, 9, 12, 15} El suceso “sacar un múltiplo de 5" B={5, 10, 15} El suceso unión, AUB, se verifica cuando ocurre A o B AUB={3, 5, 6, 9, 10, 12, 15} El suceso intersección, A∩B, se verifica cuando ocurre A y B A∩B={15} 3 12 6 9 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 15 5 10 15