U D 12 1 BCT GEOMETRA ANALTICA PLANA
U. D. 12 * 1º BCT GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 1
U. D. 12. 4 * 1º BCT POSICIONES RELATIVAS @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 2
POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS • Sea r: A. x + B. y + C = 0 r: y = m. x + n • Sea s: A’. x + B’. y + C’ = 0 s: y = m’. x + n’ • • Dos rectas serán PARALELAS si tienen la misma inclinación o pendiente: • m = m’ A / A’ = B / B’ <> C / C’ • Dos rectas serán COINCIDENTES si tienen la misma pendiente y la misma ordenada en el origen: • m = m’ y n = n’ A / A’ = B / B’ = C / C’ • Dos rectas serán SECANTES si NO tienen la misma pendiente. • m <> m’ A / A’ <> B / B’ @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 3
• CASO PARTICULAR DE RECTAS SECANTES • Dos rectas serán PERPENDICULARES si cumplen la condición: • m = - 1 / m’ A. A’ = - B. B’ r s r @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT s 4
• Ejemplo 1 • • Hallar la ecuación de la recta s, que pasa por el punto A’(3, 4) y que es paralela a la recta r cuya ecuación continua es: x-4 y+5 r: ---- = -------3 2 • • De la ecuación dada obtenemos su vector director: v=(3, 2) Si dos rectas son paralelas, el vector director es el mismo. Luego hay que hallar la ecuación de la recta que pasa por A’(3, 4) y v=(3, 2) y - 4 = 2/3. ( x – 3 ) 3. y - 12 = 2. x – 6 s: 2. x – 3. y + 6 = 0 • Ejemplo 2 • Hallar la ecuación de la recta s, que pasa por A’(-2, 5) y que es paralela a la recta r: y = 3. x - 4 • • En la ecuación general dada: m = 3 La pendiente m’ de la recta s es la misma al ser paralelas: m’ = m = 3 Por la ecuación punto-pendiente: y - 5 = 3. ( x + 2 ) y - 5 = 3. x + 6 s: 3. x – y + 11 = 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 5
• Ejemplo 3 • • Hallar la ecuación de la recta s, que pasa por el punto A’(- 3, 2) y es paralela a la recta r cuya ecuación general es: r: 5. x – 4. y + 5 = 0 • • • Despejamos y en la ecuación dada: y = (5. x + 5) / 4 = (5/4). x + (5/4) De donde m = 5/4 Al ser paralelas: m’ = m = 5/4 Por la ecuación punto-pendiente: y - 2 = (5/4). ( x + 3 ) 4. y - 8 = 5. x + 15 s: 5. x – 4. y + 23 = 0 • Ejemplo 4 • Hallar la ecuación de la recta s, que pasa por A’(1, 1) y que es perpendicular a la recta r: y = 3. x - 4 • • En la ecuación general dada: m = 3 La pendiente m’ de la recta s es: m’ = - 1 / m = - 1 / 3 Por la ecuación punto-pendiente: y - 1 = (- 1/3). ( x - 1) 3. y - 3 = - x + 1 s: x + 3. y – 4 = 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 6
• Ejemplo 5 • • Hallar la ecuación de la recta s, que pasa por el punto O(0, 0) y es perpendicular a la recta r cuya ecuación general es: r: 5. x – 4. y + 5 = 0 • • • Despejamos y en la ecuación dada: y = (5. x + 5) / 4 = (5/4). x + (5/4) De donde m = 5/4 Al ser perpendiculares: m’ = - 1 / m = - 1 / (5/4) = - 4 / 5 Por la ecuación punto-pendiente: y - 0 = (- 4 / 5). ( x - 0 ) 5. y = - 4. x s: 4. x + 5. y = 0 • Ejemplo 6 • Hallar la ecuación de la recta s, que pasa por A’( - 2, 7) y que es perpendicular a la recta r: (x, y) = (3, - 4 ) + t. (- 7, 2) • • En la ecuación vectorial dada: v=(- 7, 2 ) m = b/a = 2/(-7) = - 7 / 2 La pendiente m’ de la recta s es: m’ = - 1 / m = - 1 / (- 7 / 2) = 2 / 7 Por la ecuación punto-pendiente: y - 7 = (3/7). ( x + 2) 7. y - 49 = 3. x + 6 s: 3. x – 7. y + 55 = 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 7
HAZ DE RECTAS SECANTES • Se llama haz de rectas secantes con vértice P(a, b) al conjunto de todas las rectas del plano que pasan por el punto P. P(a, b) • y – b = m (x – a) • Para cada valor de m tendremos una recta del haz. • Si en lugar del vértice nos dan dos rectas cualesquiera del haz, entonces podemos resolver el sistema que forman para hallar el vértice, o también poner: Sea las rectas r: A. x + B. y + C = 0 y s: A’. x + B’. y + C’ = 0 El haz de rectas será: • • • A. x + B. y + C + λ (A’. x + B’. y + C’) = 0 donde para cada valor λ tendremos una recta distinta del haz de rectas, incluidas las rectas r y s. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 8
HAZ DE RECTAS SECANTES • EJEMPLO 1 • • • Hallar el haz de rectas de vértice el punto P(-1, 3). y – 3 = m (x + 1) m. x – y + (m+3)=0 • EJEMPLO 2 • • • Hallar el haz de rectas que forman r: 4 x – y = 0 y s: 3 x – 7 y +1 = 0 4. x – y + λ (3. x – 7 y + 1) = 0 (4+3. λ). x – (1+7. λ). y + λ = 0 • • • Hallar el haz de rectas secantes que forman r: x – 3 y = 0 y s: x = 2 x – 3 y + λ. (x – 2) = 0 (1+λ). x – 3. y – 2. λ = 0 P(a, b) EJEMPLO 3 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 9
HAZ DE RECTAS PARALELAS • • • Se llama haz de rectas paralelas a todas las rectas afines a una dada. Sea la recta r: Ax + By + C = 0 El haz de rectas paralelas a r será: • Ax + By + k = 0 • Para cada valor de k tendremos una recta del haz. • • • EJEMPLO 1 Hallar el haz de rectas paralelas a r: 2 x – y = 5. 2. x – y + k = 0 • • EJEMPLO 2 Hallar el haz de rectas paralelas a r: 3. x = 5. y 3. x – 5. y + k = 0 EJEMPLO 3 Hallar el haz de rectas paralelas, donde una recta es r: x = 0 x+k=0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 10
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