U D 12 1 BCT GEOMETRA ANALTICA PLANA
U. D. 12 * 1º BCT GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 1
U. D. 12. 6 * 1º BCT ÁNGULOS ENTRE RECTAS Y SIMETRÍAS @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 2
ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS • • • 1. - PARTIENDO DE LOS VECTORES DIRECTORES Sea la recta r: Ax+By+C = 0 y la recta s: A’x+B’y+C’=0 Sus vectores directores serán: u(-B, A) y u’(-B’, A’) respectivamente. Mediante el producto escalar, u. u’ =|u|. |u’|. cos α, obtenemos el ángulo: cos α = u. u’ / |u|. |u’| α u s u’ β r @ Angel Prieto Benito • • • (-B, A). (-B’, A’) cos α = -------------------------------√(A 2+B 2). √(A’ 2+B’ 2) | A. A’+B. B’| α = arcos ----------------√(A 2+B 2). √(A’ 2+B’ 2) La solución será doble, pues por una parte nos dará α y también el suplementario β Apuntes 1º Bachillerato CT 3
• • Ejemplo 1 Hallar el ángulo que forman las rectas r: 3 x+4 y+8 = 0 y la recta s: x+y=0 • • • Sus vectores directores serán: u(-4, 3) y u’(-1, 1) respectivamente. Por el producto escalar: | (-4). (-1)+3. 1| 7 α = arcos ---------------- = arcos 0, 9899 √((-4)2+32). √((-1)2+12) 5. √ 2 α = 8, 13º Y el suplementario: β = 171, 87º • • Ejemplo 2 Hallar el ángulo que forman las rectas r: x – y = 0 y la recta s: x + y = 0 • • • Sus vectores directores serán: u(1, 1) y u’(-1, 1) respectivamente. Por el producto escalar: | 1. (-1)+1. 1| 0 α = arcos ---------------- = arcos 0 √(12+12). √((-1)2+12) √ 2 α = 90º Y el suplementario: β = 90º @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 4
ÁNGULO ENTRE DOS RECTAS • • • 2. - PARTIENDO DE LAS PENDIENTES Sea la recta r: Ax+By+C = 0 y la recta s: A’x+B’y+C’=0 Ambas forman un ángulo α y β con el eje de las X Las pendiente m y m’ serán: m = tg α , m’= tg β El ángulo que forman las dos rectas es la diferencia γ = β – α • γ s β α r α @ Angel Prieto Benito β • • • Por la fórmula de Nepper o de las tangentes, tenemos: tg α – tg β tg γ = | ----------- | 1 + tg α. tg β m – m’ tg γ = | ------- | 1 + m. m’ • Para un ángulo 0 ≤ γ ≤ 90º Apuntes 1º Bachillerato CT 5
• • ANEXO. RECTAS PERPENDICULARES Por la fórmula de Nepper o de las tangentes, tenemos: m – m’ tg γ = | ------- | 1 + m. m’ El ángulo que forman las dos rectas es de 90º, γ = 90 tg 90º = oo = (m – m’ ) / 0 De donde: 1 + m. m’ = 0 m’ = – 1 / m β s γ α r β α @ Angel Prieto Benito • • Ejemplo Hallar la recta perpendicular a r: 4 x – 2 y + 7 = 0 y que pasa por el punto A(5, -5) • • • En la recta r: m=-B/A = 2/4 = 0, 5 En la perpendicular: m’=-1/0, 5 = - 2 Por la ecuación punto-pendiente: • • y – (– 5)= – 2. (x – 5) y = – 2 x + 5 Apuntes 1º Bachillerato CT 6
• • • Problema Hallar los ángulos que forman los lados del triángulo cuyos vértices son: A(0, 0), B(5, -2) y C(3, 2) • • • • Los vectores directores de los lados serán: AB(5, -2), BC(-2, 4) y CA(-3, -2) Ángulo del vértice A: | (5). (-3)+(-2)| 11 A = arcos ------------------- = arcos 0, 5665 √(52+(-2)2). √((-3)2+(-2)2) √ 29. √ 13 A = 55, 49º Ángulo del vértice B: | (5). (-2)+(-2). 4| 18 B = arcos ------------------- = arcos 0, 7474 √(52+(-2)2). √((-2)2+42) √ 29. √ 20 B = 41, 63º El ángulo C valdrá: C=180º – A – B = 180º – 55, 49º – 41, 63º = 82, 87º Que se puede comprobar aplicando lo mismo que para A y B. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 7
SIMETRÍA CENTRAL • • • Dado un punto M, los puntos A y A’ son simétricos en la simetría central de centro M cuando M es el punto medio del segmento de extremos A y A’. x 2 + x 1 y 2 + y 1 xo = ----- ; yo = -----2 2 d (A, M) =d (A’, M) √ [ (x 2 – xo) 2 + (y 2 – yo) 2 ] = √ [ (x 1 – xo) 2 + (y 1 – yo) 2 ] y M(xo, yo) A (x 1, y 1) @ Angel Prieto Benito A’ (x 2, y 2) x • • Ejemplo Hallar el simétrico del punto A(2, -3) respecto al punto M(0, 5) 2 + x 2 – 3 + y 2 0 = ----- ; 5 = ------2 2 2 + x 2 = 0 x 2 = - 2 - 3 + y 2 = 10 y 2 = 13 Punto simétrico: A’ (- 2, 13) Apuntes 1º Bachillerato CT 8
SIMETRÍA AXIAL • Dado una recta fija, r, llamada eje de la simetría, los puntos A y A’ son simétricos en la simetría axial de eje r, cuando el segmento AA’ es perpendicular a r y además el punto de corte de dicho segmento con el eje es su punto medio. • • y r A’ (x 2, y 2) M(xo, yo) A (x 1, y 1) @ Angel Prieto Benito x • • • Ejemplo 1 Hallar el simétrico del punto A(0, 3) respecto a la recta r: x + y – 9 = 0 La pendiente de r vale m= -1 La pendiente de AA’ es m’=-1/m = 1 La recta AA’ es: s: y – 3 = x El punto de corte, M, será: r: y = – x – 9 s: y = x + 3 x+3 = – x – 9 x = – 6 y = – 3 Por ser punto medio, tenemos: - 6 =(0+x 2)/2 ; - 3 = (3 + y 2) / 2 x 2= - 12, , y 2= - 9 A’(- 12, - 9) Apuntes 1º Bachillerato CT 9
SIMETRÍA AXIAL • Ejemplo 2 • Hallar el valor de p en la simetría axial de eje r: 3 x + y + p = 0, para que los puntos A(2, 4) y A’(- 1, 3) sean simétricos. • • La pendiente de AA’ es m’=(4 – 3)/(2 – (– 1))=1/3 El punto medio es: xo =(2 – 1)/2 = 0, 5 ; yo = (4+3)/2 = 3, 5 M(0’ 5, 3’ 5) • • • Hallamos la pendiente del eje r: m= - A/B = -3/1 = - 3 Vemos que el segmento AA’ es perpendicular al eje r, pues 1/3. (-3)=-1 • • Finalmente M debe pertenecer al eje r: 3 x + y + p = 0 3. 0’ 5 + 3’ 5 + p = 0 1’ 5 + 3’ 5 + p = 0 p = – 5 De todas las infinitas rectas. Será eje de simetría axial: r: 3 x + y – 5 = 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 10
SIMETRÍA AXIAL • Ejemplo 3 • Hallar el valor de p en la simetría axial de eje r: 5 x – 10 y +p = 0, para que los puntos A(5, 3) y A’(- 2, p) sean simétricos. • • • La pendiente de r vale m= -A/B = 5/10 = 0, 5 La pendiente de AA’ es m’=-1/m = -1/ 0, 5 = - 2 La recta AA’ es: s: y – 3 = - 2(x – 5) , tomando el punto A y el valor de m’. El punto A’(-2, p) debe pertenecer a la recta AA’ s: p – 3 = - 2 (- 2 – 5) p = 14 + 3 = 17 Si p = 17 el segmento AA’ es perpendicular al eje r. Pero no sabemos si A’(-2, 17) es el simétrico de A(5, 3). Hallamos el punto medio: xo =(-2+5)/2 = 3/2 = 1, 5 ; yo = (17+3)/2 = 20/2 = 10 M(1’ 5, 10) Finalmente M debe pertenecer al eje r: 5 x – 10 y + 17 = 0 5. 1’ 5 – 10. 10 + 17 = 0 7’ 5 – 100 + 17 = 0 – 75, 5 = 0 FALSO NO HAY ningún valor de p que haga A y A’ puntos simétricos respecto a r @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 11
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