U D 12 1 BCT GEOMETRA ANALTICA PLANA

U. D. 12 * 1º BCT GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 1

U. D. 12. 2 * 1º BCT ECUACIÓN CONTINUA, GENERAL Y SEGMENTADA @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 2

ECUACIÓN CONTINUA • • • La ecuación paramétrica de una recta hemos visto que es: x = xo + t. a y = yo + t. b • • • Si en ambas expresiones despejamos el parámetro t , resulta: x – xo = t. a (x – xo ) / a = t y – yo = t. b (y – yo ) / b = t Como el valor del parámetro t debe ser el mismo para cada punto de la recta, podemos igualarlo: • • • t=t • • x - xo y - y o ----- = ----a b , siempre que a<>0 y b<>0 Que es la ecuación continua de la recta. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 3

• Ejemplo_1 • • Una recta r viene dada por su ecuación vectorial: (x, y) = (0, 2) + t. (- 3, 5) Hallar su ecuación continua. • • Tenemos: (x, y) = (0, 2) + t. (- 3, 5) Desglosando las coordenadas del vector: x = 0 – 3. t , , y = 2 + 5. t Despejando el parámetro t en ambas expresiones, resulta: x– 0 y– 2 t = ---- , t = ----3 5 Igualando el valor de t, queda: x / (– 3) = (y – 2) / 5 • Ejemplo_2 • • Una recta r viene dada de la forma r(A, u), donde A(3, 4) y u=(6, 8). Hallar su ecuación continua. • • • Su ecuación vectorial será: (x, y) = (3, 4) + t. (6, 8) Desglosando las coordenadas del vector: x=3 + 6. t , , y=4 + 8. t Despejando el parámetro t en ambas expresiones, resulta: t= (x – 3) / 6 y t=(y – 4) / 8 Igualando el valor de t, tenemos: (x – 3) / 6 = (y – 4) / 8 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 4

ECUACIÓN GENERAL • ECUACIÓN GENERAL O IMPLÍCITA DE LA RECTA • • Partimos de la ecuación continua de la recta: x - xo y - y o ---- = -------a b Como en toda proporción, podemos multiplicar en cruz, quedando: b. (x – xo) = a. (y - yo) b. x – b. xo = a. y – a. yo b. x – a. y – b. xo + a. yo = 0 • Renombrando coeficientes queda: • • Que es la ecuación general o ecuación implícita de la recta. Donde A=b, B= - a y C= – b. xo + a. yo • Como un vector director era v=(a, b), ahora será v=(-B, A) @ Angel Prieto Benito r: A. x + B. y + C = 0 Apuntes 1º Bachillerato CT 5

• Ejemplo 1 • • • Hallar la ecuación general de una recta si su ecuación continua es: x-3 y+2 ---- = -------2 -5 Operando en la proporción: - 5. (x – 3) = 2. (y + 2) - 5. x + 15 = 2. y + 4 - 5. x – 2. y + 15 – 4 = 0 5. x + 2. y – 11 = 0 • Ejemplo 2 • Hallar la ecuación general de una recta si pasa por el punto A(- 2, - 4) y un vector director es v=(3, 2) • • Tomando la ecuación continua y sustituyendo: x - xo y – y o x – (- 2) y – (- 4) ---- = ---- ; ------ = -----a b 3 2 • • Operando en la proporción: 2. (x +2) = 3. (y + 4) 2. x + 4 = 3. y + 12 2. x – 3. y + 4 – 12 = 0 2. x – 3. y – 8 = 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT 6

ECUACIÓN SEGMENTADA • ECUACIÓN SEGMENTADA DE UNA RECTA • Sea P(p, 0) el corte de una recta con el eje de abscisas y Q(0, q) el corte de la misma recta con el eje de ordenadas. • • La ecuación continua de la recta será: x–p y– 0 r ------- = -----0–p q– 0 • • • Operando: q. x – p. q = – p. y q. x + p. y = p. q Dividiendo todo entre el producto p. q y q Q(0, q) r P(p, 0) 0 p @ Angel Prieto Benito • x y • r --- + --- = 1 x • p q Apuntes 1º Bachillerato CT 7

y 5 Q(0, 5) r P(4, 0) 0 4 @ Angel Prieto Benito • Ejemplo 1 • Sea la recta de ecuación 5. x + 4. y – 20 = 0 Halla la forma segmentada de su ecuación y represéntala. • • • Tengo: 5. x + 4. y – 20 = 0 Opero: 5. x + 4. y = 20 Divido todo entre 20: • • 5. x 4. y 20 r ------- + ---- = -----20 20 20 Queda: • • • x y r ----- + ----- = 1 4 5 x • Donde 4 y 5 son los segmentos que determina al cortar a los ejes de abscisas y ordenadas. Apuntes 1º Bachillerato CT 8

y Q(0, 5) 5 r P(- 3, 0) -3 @ Angel Prieto Benito 0 • Ejemplo 2 • Sea la recta de ecuación 5. x – 3. y + 15 = 0 Halla la forma segmentada de su ecuación y represéntala. • • • Tengo: 5. x – 3. y + 15 = 0 Opero: 5. x – 3. y = – 15 Divido todo entre – 15: • • 5. x – 3. y – 15 r ------- + ---- = -----– 15 Queda: • • • x y r ----- + ----- = 1 -3 5 x • Donde – 3 y 5 son los segmentos que determina al cortar a los ejes. Apuntes 1º Bachillerato CT 9

• Ejemplo 3 • • • Sea la recta de ecuación: 2. x + 3. y + 18 = 0 Halla la forma segmentada de su ecuación y represéntala. • • • Tengo: 2. x + 3. y + 18 = 0 Opero: 2. x + 3. y = – 18 Divido todo entre – 18: • • 2. x 3. y – 18 r ------- + ---- = -----– 18 Queda: x y r ----- + ----- = 1 -9 -6 • Donde – 9 y – 6 son los segmentos que determina al cortar a los ejes. y P(- 9, 0) -9 0 r -6 Q(0, -6) @ Angel Prieto Benito x Apuntes 1º Bachillerato CT 10