U D 11 4 ESO E AP FUNCIONES

U. D. 11 * 4º ESO E. AP. FUNCIONES ELEMENTALES @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 1

U. D. 11. 7 * 4º ESO E. AP. OTRAS FUNCIONES EXPONENCIALES @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 2

FUNCIÓN EXPONENCIAL • • Se llama FUNCIÓN EXPONENCIAL a la expresión: y = ex f (x) = ex • • Es decir una potencia donde la base es el número “e” y el exponente la variable “x”. El número “e” es el número irracional de valor e = 2, 718281 • Funciones exponenciales son también: • • • f(x) = ax , donde a debe ser un número positivo. g(x) = ef(x) , donde el exponente es otra función. h(x) = af(x) , donde a > 0 y el exponente es otra función. • En general funciones exponenciales son todas aquellas potencias donde la variable independiente, x, forme parte del exponente. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 3

La función y = 8 y 4 Gráfica -4 -3 -2 2 -1 @ Angel Prieto Benito 0 1 2 x a, (0<x<1) • • • Sea y = (1 / 2)x Donde la base, a, vale ½. Muy importante: Siempre a > 0 • • Tabla de valores • • 3 • x x Matemáticas 4º ESO E. AP. -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 y 16 8 4 2 1 1/2 1/4 1/8 4

Características de y = ax, (0<x<1) • • Sea la función: f(x) = ax La diferencia más importante de las funciones con ( 0 < a < 1 ) y a > 1 , es el CRECIMIENTO. • • Si 0 < a < 1 La función es DECRECIENTE. y f(x) = 2 x • • • Si a = 1 La función es CONSTANTE f(x) = 1 No es f. exponencial. • • Si a > 1 La función es CRECIENTE. @ Angel Prieto Benito f(x) = (1/2)x -4 -3 -2 Matemáticas 4º ESO E. AP. -1 0 1 2 3 x 5

Correspondencia • • • Sea la función: f(x) = ax La función f(x) = a-x es idéntica a f(x) = (1/a)x Veamos que es así: 1 1 x f(x) = a-x = --------- = ( 1/a) x ax ax Ejemplos f(x) = 2 - x = (1/2) x = 0, 5 x f(x) = 3 - x = (1/3) x f(x) = e - x = (1/e) x f(x) = 4 - x = (1/4) x = 0, 25 x f(x) = 0, 1 - x = (1/0, 1) x = 10 x @ Angel Prieto Benito y f(x) = 0, 5 x f(x) = 2 -x -4 -3 -2 Matemáticas 4º ESO E. AP. -1 0 1 2 3 x 6

TRASLACIÓN DE EXPONENCIALES • TRASLACIÓN HORIZONTAL • Sea una función de la forma y = 2 x • Si deseamos o necesitamos trasladar su gráfica horizontalmente “a” unidades, la función se convertirá en: • y = 2(x – a) • • • Si a > 0 La gráfica se desplaza a unidades a la DERECHA. El punto de corte con el eje de ordenadas será Pc(0 , f(0)) La asíntota horizontal sigue siendo el eje de abscisas. • • Si a < 0 La gráfica se desplaza a unidades a la IZQUIERDA. El punto de corte con el eje de ordenadas será Pc(0, f(0)) La asíntota horizontal sigue siendo el eje de abscisas. No confundir el que “a” sea un número negativo con el signo “ – “ de (x – a). @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 7

Ejemplo de traslación horizontal • Sea f(x) = 2(x +3) • Al ser el exponente (x + 3), el valor del desplazamiento es negativo. a=– 3 La función f(x) = 2 x se ha desplazado 3 unidades a la izquierda El punto de corte es: Pc(0, f(0)) Pc(0 , 23) = (0 , 8) Vemos que la asíntota vertical sigue siendo el eje de abscisas. • • • @ Angel Prieto Benito y Pc(0, 8) f(x) = -4 f(x) = 2 x 2(x – 3) -3 -2 Matemáticas 4º ESO E. AP. -1 0 1 2 3 x 8

TRASLACIÓN DE EXPONENCIALES • TRASLACIÓN VERTICAL • Sea una función de la forma y = 2 x • Si deseamos o necesitamos trasladar su gráfica verticalmente “b” unidades, la función se convertirá en: • y = 2 x + b • • • Si b > 0 La gráfica se desplaza b unidades hacia ARRIBA. El punto de corte con el eje de ordenadas será Pc(0 , (1+b)) La asíntota horizontal será ahora y = b. • • Si b < 0 La gráfica se desplaza b unidades hacia ABAJO. El punto de corte con el eje de ordenadas será Pc(0, (1 – b)) La asíntota horizontal será ahora y = – b. No confundir el que “a” sea un número negativo con el signo “ – “ de (x – a). @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 9

Ejemplo de traslación vertical • Sea f(x) = 3 + 2 x • Al ser el exponente x no hay desplazamiento horizontal de la función elemental f(x) = 2 x • A la función elemental se la ha sumado 3 unidades. Ello equivale a desplazar la gráfica 3 unidades hacia arriba. El punto de corte es: Pc(0, f(0)) Pc(0 , 3+20) = (0 , 3+1) = (0, 4) • • • y f(x) = 3 + 2 x Pc(0, 4) y=3 f(x) = 2 x Vemos que la asíntota vertical es ahora y = 3 -4 @ Angel Prieto Benito -3 -2 Matemáticas 4º ESO E. AP. -1 0 1 2 3 x 10

TRASLACIÓN DE EXPONENCIALES • TRASLACIÓN OBLICUA • Sea una función de la forma y = 2 x • Si deseamos o necesitamos trasladar su gráfica horizontalmente “a” unidades y verticalmente “b” unidades, la función se convertirá en: • y = 2(x – a) + b • Si a > 0 y/o b > 0 La gráfica se desplaza a unidades hacia la DERECHA y/o b unidades hacia ARRIBA. Si a < 0 y/o b < 0 La gráfica se desplaza a unidades hacia la IZQUIERDA y/o b unidades hacia ABAJO. El punto de corte con el eje de ordenadas será Pc(0, f(0)) La asíntota horizontal será ahora y = b. No confundir el que “a” sea un número negativo con el signo “ – “ de (x – a). • • • @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AP. 11

Ejemplo de traslación oblicua • Sea f(x) = – 3 + 2(x – 2) • Al ser el exponente (x – 2), el valor del desplazamiento es positivo: a = 2 unidades hacia la derecha. • A la función elemental se la ha quitado 3 unidades. Ello equivale a desplazar la gráfica 3 unidades hacia abajo. El punto de corte es: Pc(0, f(0)) Pc(0 , – 3 +2 – 2 ) = (0 , – 3 + 1/4) Pc(0, – 2`75) • • • f(x) = 2 x y f(x) = – 3+ 2(x – 2) -4 -3 -2 0 1 2 3 Pc(0, – 2’ 75 ) Vemos que la asíntota vertical es ahora y = – 3 @ Angel Prieto Benito -1 Matemáticas 4º ESO E. AP. y=– 3 12 x