U D 10 2 ESO CUERPOS GEOMTRICOS Angel

U. D. 10 * 2º ESO π CUERPOS GEOMÉTRICOS @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 1

U. D. 10. 6 * 2º ESO π CONOS @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 2

CONOS • Un cono es el cuerpo de revolución generado por un triángulo rectángulo al girar en torno a uno cualquiera de sus catetos. g h • El cateto que apoya en el eje de giro se convierte en la altura del cilindro. • El otro cateto hace de radio del círculo que se genera al girar. • La hipotenusa del triángulo rectángulo se convierte en la GENERATRIZ, que es el radio del sector circular que forma la superficie lateral del cono. • El punto donde confluyen las infinitas generatrices del cono se llama Vértice. g r @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 3

Generatriz del cono • La superficie lateral del cono es un SECTOR CIRCULAR cuyo radio es la llamada GENERATRIZ , g. Por Pitágoras: g = √( h 2 + r 2 ) , siendo h la altura del cono y r el radio de la base. • • g g r h r @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 4

Desarrollo del cono @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 5

Área lateral del cono • • • • El área lateral de un cono es el área del sector circular que se genera. A= π·g 2·n / 360 Donde g es el radio de dicho sector circular y n el ángulo que gira. La longitud del arco de giro será: L= 2·π·g·n / 360 Dicha longitud del arco del sector, L, será igual a La longitud de la circunferencia de la base: L= 2·π·r Luego tenemos que: g 2·π·g·n / 360 = 2·π·r Se deduce que: r = g·n / 360 h Despejando n: n = 360. r /g r En la fórmula del área: A= π·g 2·n / 360, sustituimos el valor de n A= π·g 2·(360·r /g) / 360 A= π·g·r @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 6

Área lateral del cono • Ejemplo 1 • • Un cono presenta un radio de la base de 3 cm y una altura de 4 cm. Hallar el área lateral del cono. • El área lateral es: • Al = π. r. g g • Por Pitágoras: • g =√ r 2 + h 2 = √ 32 + 42 = √ 25 = 5 cm h r @ Angel Prieto Benito • Luego: • Al = π. 3. 5 = 15. π cm 2 Apuntes Matemáticas 2º ESO 7

• Ejemplo 2 • Un cono presenta un diámetro de la base de 10 cm y una generatriz de 13 cm. Hallar la altura y el área lateral. • • Radio de la base: • r=d /2 = 10/2=5 cm • Por Pitágoras: • h =√ (g 2 - r 2 ) = √ (132 - 52) = • = √ (169 – 25) = √ 144 = 12 cm g h r @ Angel Prieto Benito • Área: • A = π·r·g • A = π. 5. 13 = 65. π cm 2 Apuntes Matemáticas 2º ESO 8

TRONCO DE CONO • • Tronco de cono es el espacio del cono existente entre la base y un plano paralelo que lo corta. Ambas bases son siempre círculos y la generatriz será hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos son la altura y la diferencia de los radios de las bases. Por el Teorema de Pitágoras: r r g = √ [h 2 + (R-r)2] g g h h R R-r TRONCO DE PIRÁMIDE con una de sus caras laterales resaltadas @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO 9