Tujuan Pembelajaran Saat kuselesaikan bab ini kuingin dapat

Tujuan Pembelajaran Saat kuselesaikan bab ini, kuingin dapat melakukan hal-hal berikut. • Menyelesaikan model dinamik linear orde satu dan dua secara analitis • Menyatakan model dinamik kedalam fungsi alih (transfer function) • Memperkirakan fitur penting dari perilaku dinamik dari model tanpa menyelesaikannya 2

Kerangka Kuliah • Transformasi Laplace • Penyelesaikan model dinamik linear • Struktur model fungsi alih • Fitur kualitatif secara langsung dari model • Respon frekuensi • Workshop 3

Kenapa Kita Perlu Pemodelan Dinamik Lagi Aku bisa memodelkan ini; apa lagi yang aku perlukan? T A Aku suka pada • elemen model secara individual • mengkombinasi sesuai kebutuhan • menentukan fitur dinamik kunci tanpa menyelesaikan T A 4

Kenapa Kita Perlu Pemodelan Dinamik Lagi Aku suka pada • elemen model secara individual • Ada “FUNGSI ALIH” di situ T A Kini, aku bisa menggabungkan elemen untuk memodelkan beberapa struktur proses 5

Kenapa Kita Perlu Pemodelan Dinamik Lagi Kini, aku bisa menggabungkan elemen untuk memodelkan beberapa struktur proses Bahkan yang lebih menakjubkan, aku bisa menggabungkan untuk menurunkan sebuah model yang disederhanakan! 6

Bagaimana Melihat Perilaku Dinamik Proses? PROSES (Dinamik) Pemodelan Persamaan Differensial Teorema TL Linearisasi Fungsi Transformasi LAPLACE F(s) Solusi NUMERIK Input: Sinyal uji (step, ramp, dll) FUNGSI WAKTU f(t) MATLAB Ekspansi dan TLB Eul e RK r , dl l FUNGSI ALIH RESPON DINAMIK 7

FUNGSI ALIH 8

Fungsi Alih (Transfer Function) Respon transien: (1) Tentukan sinyal input u(t), d(t) (2) Tulis ODE proses dengan inputnya (3) Definisikan kondisi awalnya (4) Gunakan Transformasi Laplace (TL) (5) Selesaikan untuk Y(s) (6) Gunakan TL balik (inverse) untuk mendapatkan y(t) Kerugian: Prosedur lengkap harus diulang kembali dengan adanya perubahan: l l kondisi awal jenis sinyal input u(t) Dapatkah kita menggambarkan dinamika proses yang bebas dari kondisi awal dan input? 9

Fungsi Alih l Apa itu fungsi alih? Pernyataan aljabar untuk hubungan dinamik antara input dan ouput model proses U(s) l G(s) Y(s) Menggunakan fungsi alih untuk menghitung respon proses terhadap input (MV dan gangguan) 10

Fungsi Alih l Keuntungan l l l Penggambaran fungsi alih mempermudah analisis pengaruh input yang berbeda-beda (hanya dengan mengganti U(s)) Fungsi alih dapat menggambarkan tingkatan proses. Sekali respon proses terhadap perubahan input diketahui, maka respon proses lainnya yang digambarkan dengan jenis fungsi alih yang sama dapat diketahui pula. Proses linear (atau dilinearkan) yang khas l l l Sistem orde pertama Sistem terintegrasi (integrating process) Sistem orde kedua 11

LANGKAH PERTAMA: Transformasi Laplace Aku dalam kesedihan perlu banyak contoh! Kita perlu TL dari turunan untuk menyelesaikan model dinamik. konstan Turunan pertama: Umum: konstan 12

Transformasi Laplace Persamaan Differensial 13

Persamaan Differensial menjadi Fungsi Alih FUNGSI ALIH 14

Transformasi Laplace l l l Berlaku hanya pada Persamaan Differensial (PD) linear: merubah PD menjadi persamaan aljabar Dapat menggunakan teknik grafik untuk meramal kinerja sistem tanpa menyelesaikan PD tersebut (secara numerik) Kebanyakan proses adalah PD nonlinear linearisasi Transformasi Laplace (TL) 15

LANGKAH PERTAMA: Transformasi Laplace Perubahan step (Step Change) pada t=0: Tetap sama untuk t=0 sampai t= 16

Desfinisi TL dengan: l l l F(s) f(t) £ s t : TL dari f(t) : fungsi waktu (ingat: proses bersifat dinamik) : simbol operasi integral Laplace : variabel TL : waktu 17

Bidang S l Bilangan kompleks: s = a ± bi s 1 = a + bi s 2 = a - bi imajiner s 1 M real s 2 18

TL dari Sinyal-sinyal Uji 1. Unit STEP (tangga satuan) 1 0 t t=0 19

TL dari Sinyal-sinyal Uji 2. Pulsa (sebesar H dan berdurasi T) H 0 t t=0 t=T 20

TL dari Sinyal-sinyal Uji Impulsa Dirac Delta function ( (t)) l Ada 2 pendekatan: 3. l Pendekatan Smith, dll. dengan: HT = 1 (luas) H = 1/T 0 t=0 t Aturan L’Hopital: 21

TL dari Sinyal-sinyal Uji l Pendekatan Luyben 22

TL dari Sinyal-sinyal Uji 4. Gelombang Sinus (amplitudo satuan dan frekuensi ) 1 t 0 t=T 23

Tabel Transformasi Laplace 24

25

LANGKAH PERTAMA: Transformasi Laplace Kita sering melihat bagian ini! Itu adalah respon step untuk sistem dinamik orde satu. 26

LANGKAH PERTAMA: Transformasi Laplace Mari kita pelajari respon dinamik baru dan TL-nya Mari kita pertimbangkan aliran mampat (plug flow) melewati pipa. Aliran mampat tidak punya backmixing Apa respon dinamik dari sifat fluida yang keluar (yakni, konsentrasi) terhadap step change pada sifat fluida yang masuk? 27

LANGKAH PERTAMA: Transformasi Laplace Mari kita pelajari respon dinamik baru dan TL-nya Apa harga waktu tunda (dead time) untuk plug flow? Xout = dead time Xin time 28

LANGKAH PERTAMA: Transformasi Laplace Mari kita pelajari respon dinamik baru dan TL-nya • Apa ini dead time? Y, outlet from dead time 1 0. 5 • Berapa harganya? 0 -0. 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 time X, inlet to dead time 1 0. 5 0 -0. 5 0 1 2 3 4 5 time 29

LANGKAH PERTAMA: Transformasi Laplace Mari kita pelajari respon dinamik baru dan TL-nya Model dinamik untuk dead time adalah Pabrik kita punya pipa. Kita akan menggunakn bagian ini! Transformasi Laplace untuk variabel setelah dead time adalah 30

Menyelesaikan Model Menggunakan Transformasi Laplace Textbook Example 3. 1: CSTR (atau mixing tank) mengalamai step pada komposisi umpan dengan semua variabel lainnya tetap. Tentukan respon dinamiknya. Aku harap kita mendapatkan jawaban yang sama seperti dengan faktor integrasinya! F CA 0 CA (Kita akan menyelesaikan ini di kelas. ) V 31

Menyelesaikan Model Menggunakan Transformasi Laplace Dua CSTR isotermal mula-mula pada keadaan tunak dan mengalami perubahan step ke komposisi umpan tangki pertama. Rumuskan model CA 2. F Jauh lebih mudah dari pada faktor integrasi! CA 0 CA 1 V 1 CA 2 (Kita akan menyelesaikan ini di kelas. ) V 2 32

Menyelesaikan Model Menggunakan Transformasi Laplace Textbook Example 3. 5: Komposisi umpan mengalami step. Semua variabel lainnya tetap. Tentukan respon dinamik dari CA. Non-linear! F CA 0 CA V (Kita akan menyelesaikan ini di kelas. ) 33

FUNGSI ALIH: Model Valid untuk Sembarang Fungsi Input Mari kita mengatur kembali TL dari model dinamik Y(s) = G(s) X(s) G(s) Y(s) FUNGSI ALIH adalah output variable, Y(s), dibagi dengan input variable, X(s), dengan semua kondisi awalnya nol. G(s) = Y(s)/X(s) 34

FUNGSI ALIH: Model Valid untuk Sembarang Fungsi Input G(s) = Y(s)/ X(s) G(s) Y(s) • Bagaimana kita mencapai kondisi awal nol untuk setiap model? • Kita tidak punya “yang utama” pada variabel; kenapa? • Apa ini dibatasi oleh step input? • Bagaimana dengan model non-linear? • Berapa input dan output? 35

FUNGSI ALIH: Model Valid untuk Sembarang Fungsi Input G(s) = Y(s)/ X(s) G(s) Y(s) Beberapa contoh: 36

FUNGSI ALIH: Model Valid untuk Sembarang Fungsi Input G(s) = Y(s)/ X(s) G(s) Y(s) Kenapa kita melakukan ini? • Untuk menyusahkan mahasiswa. • Kita punya model individual yang kita dapat kombinasikan secara model - secara aljabar. Aku pilih jawaban pertama! • Kita bisa menentukan banyak informasi tentang sistem tanpa menyelesaikan model dinamik. 37

FUNGSI ALIH: Model Valid untuk Sembarang Fungsi Input Mari kita lihat bagaimana mengkombinasikan model T (Waktu dalam detik) 38

FUNGSI ALIH: Model Valid untuk Sembarang Fungsi Input DIAGRAM BLOK v(s) F 0(s) Gvalve(s) T 1(s) Gtank 1(s) T 2(s) Gtank 2(s) Tmeas(s) Gsensor(s) Itu adalah gambar persamaan model! • Model individual bisa dipindahkan secara mudah • Visualisasi yang berguna • Sebab-akibat ditunjukkan oleh panah 39

FUNGSI ALIH: Model Valid untuk Sembarang Fungsi Input Kombinasi menggunakan ALJABAR DIAGRAM BLOK v(s) F 0(s) T 1(s) Gvalve(s) Gtank 1(s) v(s) T 2(s) Gtank 2(s) G(s) Tmeas(s) Gsensor(s) Tmeas(s) 40

Rumus Umum Penyederhanaan Diagram Blok Sederhanakan diagram blok berikut: L(s) G 3 R 1(s) R(s) Gc 1 Gc 2 G 1 G 2 C 1(s) G 4 C(s) G 5 G 6 41

Diagram Blok L(s) R(s) G 4 C(s) Gc 1 G 6 42

FUNGSI ALIH: Model Valid untuk Sembarang Fungsi Input Aturan kunci ALJABAR DIAGRAM BLOK 43

Fitur Kualitatif Tanpa Menyelesaikan FINAL VALUE THEOREM: Evaluasi katup akhir dari output model dinamik tanpa menyelesaikan keseluruhan respon transien. Contoh sistem orde satu 44

Fitur Kualitatif Tanpa Menyelesaikan Kita bisa menggunakan ekspansi fungsi parsial untuk membuktikan hasil kunci berikut. Apa dinamik dapat kita tentukan tanpa menyelesaikan? Y(s) = G(s)X(s) = [N(s)/D(s)]X(s) = C 1/(s- 1) + C 2/(s- 2) +. . . Dengan i solusi untuk penyebut dari fungsi alih menjadi nol, D(s) = 0. Real, distinct i Real, repeated i Complex i q is Re( i) 45

Fitur Kualitatif Tanpa Menyelesaikan Dengan i solusi untuk D(s) = 0, adalah polinomial. 1. Jika semua i adalah ? ? ? , Y(t) stabil Jika satu saja i adalah ? ? ? , Y(t) is tidak stabil 2. Jika semua i adalah ? ? ? , Y(t) overdamped (tidak berosilasi) Melengkapi Pernyataan didasarkan pada persamaan. Jika sepasang i adalah ? ? ? , Y(t) underdamped 46

Fitur Kualitatif Tanpa Menyelesaikan F CA 0 CA 1 V 1 CA 2 1. Apa sistem ini stabil? 2. Apa sistem ini over- atau underdamped? V 2 Tanpa menyelesaikan! 3. Berapa orde sistem tersebut? (Orde = jumlah turunan antara variabel input dan output) 4. Apa itu steady-state gain? (Kita akan menyelesaikan ini di kelas. ) 47

Fitur Kualitatif Tanpa Menyelesaikan RESPON FREKUENSI: Respon terhadap input sinus dari variabel output adalah hal penting yang sangat praktis. Kenapa? Input sinus hampir tidak pernah terjadi. Meski demikian, banyak gangguan yang terjadi secara periodik dan input lain dapat diwakili dengan sebuah kombinasi sinus. Untuk proses tanpa kendali, kita inginkan sebuah input sinus agar memiliki efek yang kecil pada output. 48

Fitur Kualitatif Tanpa Menyelesaikan Amplitude ratio = |Y’(t)| max / |X’(t)| max Phase angle = beda fasa antara input dan output P output Y, outlet from system 0. 4 0. 2 B 0 -0. 2 -0. 4 0 1 X, inlet to system 3 4 5 6 time P’ 1 input 2 A 0. 5 0 -0. 5 -1 0 1 2 3 time 49

Fitur Kualitatif Tanpa Menyelesaikan Amplitude ratio = |Y’(t)| max / |X’(t)| max Phase angle = beda fasa antara input dan output Untuk sistem linear, kita bisa mengevaluasi secara langsung menggunakan fungsi alih! Tentukan s = j , dengan = frekuensi dan j = variabel kompleks. Perhitungan ini membosankan bila dilakukan dengan tangan. , tapi mudah jika menggunakan bahasa pemrograman standar. 50

Fitur Kualitatif Tanpa Menyelesaikan Example 4. 15 Respon frekuensi dari mixing tank. Perilaku sebagai fungsi waktu Bode Plot - Menunjukkan respon frekuensi untuk sebuah daerah frekuensi • Log (AR) vs log( ) • Phase angle vs log( ) 51

Fitur Kualitatif Tanpa Menyelesaikan F CA 0 Gangguan sinus dengan CA 2 CA 1 V 1 CA 2 Harus punya amplitudo = 1 mol/m 3 fluktuasi frekuensi = 0. 20 rad/min = 8. 25 min. , Kp = 0. 448 V 2 Data dari 2 CSTR < 0. 050 mol/m 3 Menggunakan persamaan untuk rasio amplitudo (AR) respon frekuensi Ditolak. Kita perlu mengurangi variabilitasnya. Bagaimana dengan feedback control? 52

Overview Metode Analisis Fungsi alih dan diagram blok Kita bisa menentukan model secara individual dan kombinasi 1. Orde sistem 2. Final Value 3. Stabilitas 4. Damping Kita bisa menentukan fitur ini tanpa menyelesaikan keseluruhan transiennya 5. Respon frekuensi 53

Menggabungkan Bab 3 dan 4 Kita bisa menggunakan prosedur pemodelan standar agar kreativitas kita terfokus! 54

Terlalu kecil untuk dibaca - cek saja di buku ajarnya! 55

Bab 4: Pemodelan dan Analisis - WORKSHOP 1 Contoh 3. 6 Tangki dengan sebuah saluran pembuangan mempunyai aliran masuk dan keluar yang kontinyu. Tangki telah mencapai keadaan tunak saat sebuah penurunan step terjadi ke aliran masuk. Tentukan level sebagai fungsi waktu. Selesaikan model yang dilinearisasi menggunakan transformasi Laplace 56

Bab 4: Pemodelan dan Analisis - WORKSHOP 2 T Model dinamik non-isothermal CSTR diturunkan pada Appendix C. Contoh khusus memiliki fungsi alih berikut. A 1. Orde sistem 2. Final Value 3. Stabilitas Tentukan fitur dalam tabel untuk sistem ini. 4. Damping 5. Respon frekuensi 57

Bab 4: Pemodelan dan Analisis - WORKSHOP 3 Jawablah yang berikut menggunakan program MATLAB. Menggunakan fungsi alih yang diturunkan pada Example 4. 9, tentukan respon frekuensi untuk CA 0 CA 2. Cek satu titik pada grafik dengan perhitungan tangan. F CA 0 CA 1 V 1 CA 2 V 2 58

Bab 4: Pemodelan dan Analisis - WORKSHOP 4 Kita sering mengukur tekanan proses untuk memonitor dan mengontrol. Jelaskan tiga prinsip untuk sensor, seleksi satu untuk P 1 dan jelaskan pilihanmu. T 6 Feed T 1 T 2 F 1 T 4 F 2 P 1 Vapor product T 5 T 3 L 1 F 3 Process fluid Steam A 1 Liquid product L. Key 59

Bab 4: Pemodelan dan Analisis Pengendalian Proses Saat saya menyelesaikan bab ini, saya ingin dapat melakukan hal-hal berikut. • Menyelesaikan model dinamik linear orde satu dan dua secara analitis • Menyatakan model dinamik kedalam fungsi alih (transfer function) • Memperkirakan fitur penting dari perilaku dinamik dari model tanpa menyelesaikannya Banyak perbaikan, tapi kita perlu beberapa studi lagi! • Baca textbook • Tinjau catatannya, khususnya tujuan pembelajaran dan workshop • Uji coba nasihat-nasihat belajar mandiri • Alaminya, kita seharusnya punya tugas (assignment)! 60

Sumber Pembelajaran • Home page - Instrumentation Notes - Interactive Learning Module (Chapter 4) - Tutorials (Chapter 14) • Perangkat lunak - MATLAB • Buku ajar lain Pengendalian Proses 61

SARAN untuk BELAJAR MANDIRI 1. Kenapa variabel dinyatakan sebagai variabel deviasi saat kita mengembangkan fungsi alih? 2. Diskusikan beda antara reaksi orde dua dan model dinamik orde dua. 3. Untuk masukan sinus ke proses, apakah keluarannya sinus untuk a. Pabrik linear? b. Pabrik non-linear? 4. Apakah amplitude ratio dari sebuah pabrik selalu sama dengan atau lebih besar dari pada steady-state gain-nya? 62

SARAN untuk BELAJAR MANDIRI 5. Hitung respon frekuensi untuk model pada Workshop 2 menggunakan MATLAB. Diskusikan hasilnya. 6. Putuskan sebuah model yang dilinearisasi apakah yang seharusnya digunakan pada fired heater untuk a. Kenaikan 3% pada laju alir bahan bakar. b. Perubahan 2% pada laju alir bahan bakar. c. Start up dari suhu lingkungan. d. Penghentian darurat aliran bahan bakar hingga 0. 0. feed air fuel 63