tude des mlanges de cartes GAUTHIER Mickal DUMAS

Étude des mélanges de cartes GAUTHIER Mickaël // DUMAS Guillaume // CARBONNE Rémi // Groupe 13

A ) HISTORIQUE

I ) Histoire des cartes à jouer Les origines d es cartes son t chinoises et dateraien t de la dynas tie Tang (618 -907). Elles compte nt comme les premiers exemples d e la xylographie. IVe siècle, X u d t n ra u o c le s e dan Arrivées en Europ toriens, is h s in a rt e c n lo se elles deviendront e nos jours. d e ri e m ri p m ’i l e rt d l’étincelle de dépa

II ) Problème mathématique cartes s e l r e g n la é m savoir Un joueur doit ur, les e h ic r t e l e m m co et le magicien, langes de é m s e L ! r e g n méla er des t battre sans les n o m e d t e ff ent en e cartes permett ants. n e r p r u s n io t a igit tours de prestid Ils ouvrent aussi sur des mathématiques profondes, en probabilités, en combinatoire, en théorie des groupes et en mathématiques discrètes.

III ) Définition des termes er une à t u m r e p à e onsist r leurs e g n a h c Mélanger : C à , s ntre elle e s e t r a c s r u plusie positions. Mélang e identi té : Consist e à « m éla sans ch anger l’ nger » ordre de cartes e s n une s eule foi s Permutation : En mathématiques, la notion de permutation exprime l'idée de réarrangement d'objets discernables. Une permutation de n objets distincts rangés dans un certain ordre, correspond à un changement de l'ordre de succession de ces n objets. (Merci Wikipedia) Combinaison de cartes : Suite ordonnée de cartes. Il est nécessaire de les retenir afin de les comptabiliser.

Parmi toutes les règles finies de mélanges de cartes, lesquelles permettent d’obtenir un maximum de combinaisons distinctes ?

B) EXPLORATION DU PROBLEME

I ) Limite des mélanges « communs » ges dit Le souci des mélange m e l e m m o c » s n « commu çais c’est n ra f e g n la é m e l u américain, o toire dû à que c’est de l’aléa coupes. s e d n o ti a im x ro p l’ap Sachant que pour 10 cartes, il existe 10! combinaisons possibles, cela fait un total de plus de 3, 6 millions de combinaisons. Pour 10 cartes, il suffit de 5 mélanges parfait pour revenir au départ, soit seulement 5 combinaisons dévoilées, on est loin des 3, 6 millions… Pour faire simple, cela ne représente que 0. 0001% des possibilités. C’est par l’ét ude rapide d u mélange par fait (ou faro ) que l’on s’est ren du compte d ’un cycle qui fais ait que le pa quet, après X méla nges, revena it à l’état initial.

II ) Mélanges mathématique Pour pouvoir répondre à notre problématique, on s’est donc tourné vers des mélanges plus « mathématiques » , ayant pour intérêt de parcourir plus de combinaisons que les mélanges standards. Comme mélange utilisé on peut voir le mélange binaire, ou encore des mélanges consistant à effectuer plusieurs permutations d’une ou plusieurs cartes, s’approchant ainsi des théories de groupe.

III ) Combinaisons Le problème d e se tenir qu’à un mélange donné, c’est qu e l’on finit obli gatoirement p obtenir toujou ar rs les mêmes c ombinaisons. On s’intéresse alors à des combinaisons de mélanges, permettant d’atteindre un plus haut pourcentage de possibilités, mais toujours bien loin des fameux 3, 6 millions pour seulement 10 cartes.

C ) Approche mathématique

I ) Premiers pas est qu’il s n ie c ti a m é th a m des cartes L’actuel problème e in a m o d le r u s x e travau certes, te is n’existe que peu d x e n e il , » e ir ine « popula car c’est un doma ins sujets. a rt e c e u q t n ta u a mais pas On doit ce domaine de recherche à notre cher Henry Poincaré, qui se demandait simplement comment quantifier la notion du « Quand est-ce que le paquet est bien mélangé ? » . C’est à partir de cette simple question, aussi simple que la notre, que l’immensité de la complexité s’est dévoilée.

Diaconis a pu ainsi démontrer et vérifier qu’un jeu de 52 cartes est bien mélangé, c’est-à-dire mélangé de façon parfaitement aléatoire, après 7 mélanges américains successifs. En revanche, après seulement 2 ou 3 mélanges, il reste généralement dans le paquet final quelques suites de cartes ayant appartenu au paquet initial, ce qui suffit à un magicien imaginatif pour monter un tour ou à un tricheur pour forcer une distribution de carte avec une très forte probabilité de succès !

II ) Étude probabiliste Non sans aimer les grou pes et leur superbe théorie, on s’est approc hé de l’étude probabiliste, qui semblai t, de loin, mais alors de très loin, à quelque chose de plus facile. Il s’est avéré que les études de probabilités ne sont utilisées que pour des mélanges dits « pseudo aléatoire » comme le mélange américain. Dans un souci de généralité, on ne peut s’attarder sur ce mélange, si ce n’est qu’une brève parenthèse…

Ill ) Approche par fonctions Après avoir bien étudié le mélange parfait (et avoir perdu beaucoup de temps sur un seul mélange), nous avons pu trouver une formule générale afin de savoir où est-ce que la carte se retrouvera : Soit x le numéro de la carte, x = 1 pour la carte au-dessus du paquet, et n le nombre de carte du paquet La carte x se retrouvera à la position : - 2 x si 2 x <= n - 2 x – (n + 1) si 2 x > n Par exemple dans un paquet de 32 cartes, une carte en position 12 passe en position 24 (2*12) après un mélange, puis en position 15 (2*24 – 33) après un second mélange.

On s’est ensuite penché sur une représentation graphique du mélange parfait, pour avoir un des premiers aperçus de ce que sera le déplacement des cartes dans le paquet, on obtient donc ceci :

On s’est ensuite penché sur une représentation graphique du mélange binaire, afin de comparer les deux mélanges (moins de cartes présentes pour plus de lisibilité)

Ainsi on observe que pour chaque mélange, il y a un cycle particulier, par exemple la carte 4 qui va en position 8, puis en 5 puis en 3 et enfin en 4. Ainsi l’idée qui nous vient en tête à ce moment de notre raisonnement est que, si chaque mélange a un cycle, un autre mélange viendrait le briser. On est parti donc sur le fait qu’après un mélange binaire, un mélange parfait, qui coupe en deux et ré imbrique chaque carte une à une, serait idéal pour casser le rythme du binaire, et afin d’éviter une éventuelle répétition de combinaison, on enchaîne par un mélange ternaire, puis encore un parfait.

D ) CONCLUSION

I ) Exploitation des résultats rfait, a p e g n la é m e aînement d eure, le Après un ench h e n n o b e n u t tion, e tenu est b et de permuta o s n o y a s u o ltat que n artes. c 0 1 r plus haut résu u o p s n o combinais un total de 240 nnée et de a e n ’u d s in o s pas m Il faudrait alor r parcourir u o p s e ir a t n e lém neuf mois supp isons, en a in b m o c e d s les 3, 6 million oublon. d n u c u a it ’a n n supposant qu’o On se rend compte alors qu’il est pour ainsi dire impossible de parcourir l’ensemble des combinaisons possible pour seulement 10 cartes, alors imaginez pour 52… Psst… 52! = 8, … x 10^67 possibilités. Oui oui.

II ) Retour à l’hypothèse De façon théorique, on pourrait répondre par un oui à notre hypothèse, car il suffit de prendre pour règle de mélange : -> 1 Mélange binaire -> 1 Mélange parfait -> 1 Mélange « ternaire » -> 1 Mélange parfait Et le répéter X fois, chaque mélange ayant une particularité, on peut espérer atteindre le millier de combinaisons. Le souci, c’est que l’approche mathématique ne servirait qu’à compliquer le problème déjà existant, tant la complexité latente est ardue. Une approximation par fonction plus détaillée serait bien trop difficile, tant il y a de paramètres à gérer (Pour une carte donnée, il faut étudier le déplacement des autres cartes).

III ) Élongation du problème Fort du peu de réponses acquises par les recherches personnelles, on pourrait s’interroger à juste titre sur l’état des recherches actuel concernant ce domaine aussi passionnant que complet… Vous saurez alors qu’à part Poincaré, Levy, Hadamard, et Diaconis, peu de scientifiques s’évertuent à trouver réponses aux questions posées. C’est un domaine où l’on peut faire ses preuves à condition d’avoir beaucoup de temps car c’est un domaine d’étude vraiment complexe. Ainsi, le monde des cartes, d’apparence simplet, se révèlent être vaste et encore bien sombre…