TTREM PROBLEMLERNN DORUSALLATIRILMASI KK YER DETRMELER Titreim problemleri

TİTREŞİM PROBLEMLERİNİN DOĞRUSALLAŞTIRILMASI (KÜÇÜK YER DEĞİŞTİRMELER) Titreşim problemleri, küçük ötelemeler ve küçük yer dönmeler kabulü ile doğrusal diferansiyel denklemler ile incelenmektedir. Büyük yer değiştirmeler söz konusu olduğunda doğru çözüm için diferansiyel denklemlerin nonlinear formları göz önünde bulundurulmalı ve çözümler bu şekilde yapılmalıdır. k x x R R Burada sin ifadesi Taylor serisine açılır ise <<1 için, küçük açılar için cos ifadesi için Taylor serisi yazılır ise <<1 için , küçük açılar için 1

Bir nokta etrafında dönüş hareketine sahip kirişler için de benzer ifadeler geçerlidir. A O x. A F(t) HAREKET DENKLEMİ OLUŞTURMA YÖNTEMLERİ Titreşim analizi yapılacak sistemin matematik modelinin oluşturulmasını takiben literatürde mevcut yöntemlerden biri kullanılarak sistemin hareketini tanımlayan diferansiyel denklemler (hareket denklemleri) oluşturulur. Hareket denklemleri oluşturulur iken farklı yöntemler kullanılabilir. Bu yöntemlerden sık kullanılanları aşağıda verilmiştir. m x(t) g k c 1. Newton’un 2. yasası ile: Şekilde görülen sistem tek serbestlik dereceli sistemdir ve m kütlesinin hareketi x koordinatı ile tanımlanabilir. Newton’un 2. yasası gereği cisme etkiyen kuvvetlerin toplamı cismin kütlesi ile ivmesinin çarpımına eşittir. 2

Serbest Cisim Diyagramı F(t) mg m x(t)=xs+xd(t) k(xs+xd) xs: m kütlesinin statik çökmesi xd: m kütlesinin statik çökme sonrasındaki yer değiştirmesi ewton’un 2. yasası gereği öteleme yapan sistemler için Dönme hareketi yapan sistemler için 3

Yer değiştirme statik çökme etrafındaki yer değiştirmedir. 2. Dinamik Denge Yöntemi (d’Alembert Prensibi): Bu yöntemde cisme etki eden atalet kuvvetleri de serbest cisim diyagramında gösterilir ve cisim statik dengede kabul edilerek veya eşitlikleri kullanılır. 4

F(t) mg d’Alembert veya atalet kuvveti m x(t)=xs+xd(t) k(xs+xd) yine x=xd ile 5

3. Enerji Yöntemi : Bu metod ile enerjinin korunumu prensibi uygulanır. Bir sistemin toplam enerjisinin artış hızı sisteme verilen güce eşittir. Burada Et sistemin potansiyel ve kinetik enerjilerinin toplamı, Pnet ise sisteme verilen net toplam güç olup; dış kuvvetler ve momentlerin sisteme verdikleri güç + işaretli, sistemin dışarıya verdiği mekanik güç ve sönümleyici elemanlar tarafından çevreye yayılan ısı gücü – işaretlidir. Sisteme verilen mekanik güçlerin toplamı Sistemin dışarıya verdiği mekanik güçlerin toplamı Sönümleyici elemanlardan dışa atılan ısıl güçlerin toplamı 6

4. Lagrange Yöntemi: Bu yöntemde de incelenen sisteme ait kinetik ve potansiyel enerjiler dikkate alınır. Ayrıca Sanal İş ilkesi ile dış kuvvetlerin ve sönüm kuvvetlerinin sistemin genel koordinatlarında gerçekleştirmiş oldukları sanal işler dikkate alınarak türetilen genel kuvvetler hareket denkleminin türetilmesi için kullanılır. Sisteme ait Lagrange ifadesi kinetik enerji ile potansiyel enerji farkına eşittir. 7

Burada qi bir sistemin i. genel koordinatını, Qi ise bu koordinata etki eden kuvvetlerin toplamını (Genel Kuvvet) ifade eder. Genel kuvvet ifadesi Sanal İş ile elde edilir. Genel olarak kinetik enerjinin genel koordinat hızı ve potansiyel enerjinin genel koordinat ile ilişkili olduğu düşünüldüğünde Lagrange denklemi aşağıdaki basit formunu alır. O Bununla birlikte bazı mekanik uygulamalarda kinetik enerji genel koordinatın bir fonksiyonu olabilir. Bu durumda Lagrange denkleminin genel ifadesindeki 3. terim dikkate alınmalıdır. l g θ m Bu denklem öteleme yapan sistemler için bir kuvvet, dönme yapan sistemler için ise bir moment dengesidir. 8

Genel kuvveti elde etmek için dış zorlamaların ve sönümleyici kuvvetlerin genel koordinatlar üzerindeki sanal işleri dikkate alınır. Genel koordinatlarda zamandan bağımsız olarak küçük değişimler dikkate alınarak ( ) bu kuvvetlerin yaptığı iş 9

Örnek: Basit Sarkaç İçin Hareket Denkleminin Elde Edilmesi: Aşağıda verilen basit sarkaç için hareket denklemini d’Alembert ve Lagrange yöntemleri ile elde edelim. Merkezcil ivme Teğetsel ivme O noktasına göre toplam moment sıfıra eşitlenerek. Saat ibresi tersi yön pozitif alınarak 10

sin = Basit sarkaç harmonik bir hareket yapmaktadır. Dolayısı ile Görüldüğü gibi basit sarkaç için salınım hareketi sarkaç boyundan etkilenmektedir. 11

Lagrange yöntemi ile hareket denklemi: Basit sarkaç probleminde m kütlesinin kinetik enerjisi Potansiyel enerji ifadesi Sarkaç üzerinde dış zorlama veya sönüm yoktur. sin = 12

Örnek: Şekilde gösterilen sarkaç için (compound pendulum) hareket denklemini elde ediniz, doğal frekansını belirleyiniz. O m, L, IO L 1 g G L θ IO sarkacın dönme noktasına göre kütle atalet momentidir. Küçük açısal yer değiştirmeler için sin θ θ 13

Örnek: Şekilde verilen tek serbestlik dereceli sistemin hareket denklemini yazınız ve doğal frekans ifadesini elde ediniz. 14

Örnek: Şekilde verilen tek serbestlik dereceli sistemin hareket denklemini elde ediniz. Newton’un 2. yasasına göre 15

Örnek: Şekildeki tek serbestlik dereceli sistem için hareket denklemini elde ediniz. 16

Örnek: Şekildeki iki serbestlik dereceli sisteme ait hareket denklemlerini elde ediniz. Çok serbestlik dereceli sistemlerde Lagrange denklemi her bir genel koordinat için yazılır. x 1 için Lagrange denklemi yazılır ise, 17

x 2 için Lagrange denklemi yazılır ise, Hareket denklemleri matris formunda yazılır ise Lineer sistemler için Kütle, Sönüm ve Direngenlik matrisleri simetriktir. 18

Örnek: Aşağıdaki iki serbestlik dereceli sistemin hareket denklemlerini yazınız. 19

Lagrange denklemi θ 1 için uygulanır ise, Lagrange denklemi θ 2 için uygulanır ise, 20

Örnek: Aşağıdaki iki serbestlik dereceli sistemin hareket denklemlerini yazınız. 21

Lagrange denklemi x 1 için uygulanır ise Lagrange denklemi x 2 için uygulanır ise 22

23

Örnek: Şekildeki iki serbestlik dereceli sisteme ait hareket denklemlerini elde ediniz. Referans Hız 24

x’e göre Lagrange denklemi 25

θ’ya göre Lagrange denklemi Küçük açılar için 26

Örnek: Şekildeki iki serbestlik dereceli sisteme ait hareket denklemlerini elde ediniz. O g k l+r l θ m θ için Lagrange denklemi yazılır ise 27

r için Lagrange denklemi yazılır ise 28