TRNG THPT ON KT Chuyn S PHC TRNG

TRƯỜNG THPT ĐOÀN KẾT Chuyên đề SỐ PHỨC

TRƯỜNG THPT ĐOÀN KẾT Chương IV SỐ PHỨC I. Số phức II. Cộng, trừ, nhân và chia số phức III. Phương trình bậc hai với hệ số thực IV. Phương trình bậc hai với hệ số phức V. Bài tập về số phức

Chuyên đề SỐ PHỨC I. SỐ PHỨC

BẢNG TÓM TẮT CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN Phương trình: ax² + bx + c = 0 ∆ = b² – 4 ac ∆>0 ∆=0 ∆<0 (a ≠ 0) (1) Kết luận ─ – b ± ∆ (1) có 2 nghiệm phân biệt: x = ¹’² 2 a (1) có một nghiệm: x = – b 2 a (1) vô nghiệm. Với mong muốn mở rộng tập các số thực để mọi phương trình bậc n đều có nghiệm, người ta đưa ra một số mới.

I. SỐ PHỨC 1. Số i được coi là nghiệm của phương trình : 2. Định nghĩa số phức: - Mỗi biểu thức dạng: a + bi, trong đó a, b R; i 2 = -1 được gọi là một số phức. i= 2 - Với số phức z = a + bi: a là phần thực của số phức. b là phần ảo của số phức. - Tập hợp các số phức, kí hiệu: C và: N Z Q R C

I. SỐ PHỨC Quan hệ giữa các tập hợp số: N Z Q R C C R Q Z N Biểu đồ VEN Ví dụ 1. Xác định phần thực, phần ảo của mỗi số phức sau: Câu Số phức z Phần thực 1 2 3 z = 3 + 2 i z = -5 + 4 i z = -2 i Số thuần ảo 3 -5 0 4 z=7 7 Số thực Phần ảo 2 4 -2 0

I. SỐ PHỨC 3. Số phức bằng nhau: Hai số phức bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau. a + bi = c + di a = c và b = d Ví dụ 2. Tìm các số thực x; y, biết: 1. (3 x – 2 ) + (2 y + 1)i = (x + 1) – (y – 5)i Giải.

I. SỐ PHỨC 1. Số i: 2. Định nghĩa số phức: 3. Số phức bằng nhau: Chú ý: Mỗi số thực a được coi là một số phức với phần ảo bằng 0 Ta viết: z = a + 0 i Như vậy, mỗi số thực cũng là một số phức Số phức: z = 0 + bi được gọi là số thuần ảo Số i được gọi là đơn vị ảo

I. SỐ PHỨC 4. Biểu diễn hình học của số phức: Trong hệ tọa độ vuông góc y b (x’ox; y’oy), điểm M(a; b) được gọi là điểm biểu diễn của số M x x' O phức z = a + bi a Một số phức z = a + bi hoàn toàn được xác định bởi cặp y' số thực (a; b)

I. SỐ PHỨC 4. Biểu diễn hình học của số phức: Ví dụ 3. Điểm A( 2; 3) là điểm biểu y A 3 B x' diễn của số phức z 1 = 2 + 3 i 2 Điểm B( -3; 2) là điểm biểu x -1 O -3 2 -4 E y' diễn của số phức z 2 = -3 + 2 i Điểm E( -1; - 4) là điểm biểu diễn của số phức z 3 = -1 - 4 i

I. SỐ PHỨC 4. Biểu diễn hình học của số phức: Biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ các số phức: z 4 = 2 và z 5 = -3 i y x' . 2 O . K -3 y' H x Các điểm biểu diễn số thực, số thuần ảo nằm ở đâu trên mặt phẳng tọa độ? Điểm H( 2; 0) là điểm biểu diễn của số phức z 4 = 2 + 0 i, điểm H nằm trên trục hoành z 4 = 2 là số thực Điểm K( 0; -3) là điểm biểu z 5 =của -3 i là thuần diễn sốsố phức z =ảo 0 - 3 i, 5 nằm tung Mặt phẳng biểu diễn sốđiểm phức. Kgọi làtrên mặt trục phẳng phức

I. SỐ PHỨC 4. Biểu diễn hình học của số phức: Ví dụ 4. Trong mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: d y a/. Phần thực của z bằng – 2 2 x' Giải x -2 O -1 y' Số phức z = -2 + bi (b R) Tập hợp điểm biểu diễn của số phức z thỏa điều kiện đã cho là đường thẳng d: x = – 2

I. SỐ PHỨC 4. Biểu diễn hình học của số phức: Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu y diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: b/. Phần ảo của z bằng 3 d 3 x x' O Giải y' Số phức z = a + 3 i (a R) Tập hợp điểm biểu diễn của số phức z thỏa điều kiện đã cho là đường thẳng d: y = 3

I. SỐ PHỨC 5. Môđun của số phức: y Độ dài của vectơ OM được gọi là môđun của số phức z . M b x x' a O Giả sử số phức z = a + bi được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng tọa độ y' Ký hiệu: z = a + bi Công thức: z = a 2 +b 2 Ví dụ 4. Tính môđun của mỗi số phức sau: Câu 1 2 3 Số phức z z = 3 + 2 i z = -5 + 4 i z = -3 + 4 i Môđun của số phức z z = 3+2 i = 32 + 22 = 13 z = -5+4 i = (-5)2 + 42 = 41 z = -3+4 i = (-3)2 + 42 = 5

I. SỐ PHỨC 6. Số phức liên hợp: Cho số phức z = a + bi, ta gọi a – bi là số phức liên hợp của số phức z và kí hiệu: z = a - bi Điểm M 1( a; b) là điểm biểu diễn của số phức z = a + bi y Điểm M 2( a; -b) là điểm biểu M 1 b diễn của số phức z = a - bi x x' a O -b M 2 y' Trên mặt phẳng tọa độ, các điểm biểu diễn của z và z đối xứng nhau qua trục Ox Chú ý: z = z ; z = z

I. SỐ PHỨC 6. Số phức liên hợp: Ví dụ 5. Hãy điền vào các chỗ còn trống với các kết quả thích hợp: Câu Số phức z Số phức ¯z 1 Z = 3 + 4 i ¯ = 3 – 4 i Z z = 32 + (4)2 = 5 2 Z = 2 - 5 i ¯ Z = 2 + 5 i z = 22 +(-5)2 = 29 3 Z = 1 + 3 i ¯ Z = 1 - 3 i z = 10 4 Z = - 9 i ¯ Z = 9 i z = 9 lzl

Chuyên đề SỐ PHỨC II. CỘNG, TRỪ, NH N VÀ CHIA SỐ PHỨC

II. CỘNG, TRỪ, NH N VÀ CHIA SỐ PHỨC Cho hai số phức: z = a + bi, z = c + di 1. Cộng hai số phức ¹ ² z + z = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i ¹ ² 2. Trừ hai số phức z – z = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i ¹ ² 3. Nhân hai số phức z. z = (a + bi). (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i ¹ ² 4. Chia hai số phức z ¹ = a + bi = (a + bi). (c – di) = ac + bd + (bc – bd)i z c + di (c + di). (c – di) c² + d² ²

II. CỘNG, TRỪ, NH N VÀ CHIA SỐ PHỨC Chú ý 2: Phép nhân hai số phức được thực hiện theo quy tắc nhân đa thức rồi thay i 2 = -1 trong kết quả nhận được. (a + bi). (c + di) = ac + adi + bci + bdi 2 = (ac – bd) + (ad + bc)i Ví dụ 2. Thực hiện các phép tính sau: 1/. (2 – 3 i). (3 – 2 i) = 6 – 4 i – 9 i + 6 i 2 = – 13 i 2/. (– 1 + i). (3 + 7 i) = – 3 – 7 i + 3 i + 7 i 2 = – 10 – 4 i 3/. 5(4 + 3 i) = 20 + 15 i 4/. (– 2 – 5 i). 4 i = – 8 i – 20 i 2 = 20 – 8 i

II. CỘNG, TRỪ, NH N VÀ CHIA SỐ PHỨC Chú ý 3 : i =i i 2 = – 1 i 5 = i 4. i = i i 6 = i 5. i = i 2 = – 1 i 3 = i 2. i = – i i 4 = i 3. i = – i 2 = 1 i 7 = i 6. i = – i i 8 = i 7. i = – i 2 = 1 i 9 = i 8. i = i i 10 = i 9. i = i 2 = – 1 i 11 = i 10. i = – i i 12 = i 11. i = – i 2 = 1 i 13 i 14 i 15 i 16 Tổng quát: Nếu: n 4 q r, 0 r 4 thì: = i 12. i = i 13. i = i 2 = – 1 = i 14. i = – i = i 15. i = – i 2 = 1 in = i 4 q r = ir 2014 = ? 10 15 = i 4. 3 3 i= = i 2 == i– 3 =i – i i 5 = i 4. 1 1 i i = i 4. 2 2 = i 2 = –i 2014 1 = ii 4. 503 2

II. CỘNG, TRỪ, NH N VÀ CHIA SỐ PHỨC Cho số phức z = a + bi, trong đó a, b R Số phức liên hợp của z: ¯z = a + bi v. Tổng và tích hai số phức liên hợp: z + ¯z = 2 a z. ¯ z = a² + b² = lzl ² Tổng và tích hai số phức liên hợp là một số thực v. Nghịch đảo của một số phức: 1 z a bi ─= = – z lzl² a² + b² Chú ý: (1+ i)² = 2 i, (1– i)² = – 2 i

II. CỘNG, TRỪ, NH N VÀ CHIA SỐ PHỨC Ví dụ 3: Thực hiện các phép tính sau: 1. 2 + i 3 – 2 i (2 + i). (3 + 2 i) 4 + 7 i 4 7 i = = + (3 – 2 i). (3 + 2 i) 13 13 13 2. 1 + i 2 = (1 + i 2 ). (2 – i 3 ) = 2 + 6 + (2 2 – 3 )i 7 7 2 + i 3 (2 + i 3 ). (2 – i 3 ) = 3. 5 i 2 – 3 i 5 i (2 + 3 i) = = – 15 + 10 i (2 – 3 i). (2 + 3 i) 13 13 4. 2 1 – 2 i 2 (1 + 2 i) = = 2 + 4 i (1 – 2 i). (1 + 2 i) 5 5 5. (2 + 3 i)²+i³ = (– 5 + 11 i). 2 i = – 11 – 5 i 2 2 (1 – i)² ( – 2 i). 2 i

Chuyên đề SỐ PHỨC III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC

BẢNG TÓM TẮT CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC Phương trình: ax² + bx + c = 0 ∆ = b² – 4 ac ∆>0 ∆=0 ∆<0 (a ≠ 0) (1) Kết luận ─ – b ± ∆ x¹ ² = 2 a ’ (1) có một nghiệm thực: x=–b 2 a (1) có 2 nghiệm thực phân biệt: (1) có 2 nghiệm phức: x¹ ² = ’ – b ± i l∆l 2 a Trên tập hợp số phức, mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm (không nhất thiết phân biệt)

III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC Ví dụ 2. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức 1) 2 z² – 5 z + 4 = 0 (1) 2) 7 z² + 3 z + 2 = 0 (2) Giải ∆ = 25 – 32 = – 7 = 7 i² Giải ∆ = 9 – 56 = – 47 = 47 i² Nghiệm của phương trình (1) Nghiệm của phương trình (2) ─ ─ 5 – i 7 = 5 – i 7 ─ z = ¹ 4 4 4 ─ ─ 5 i 7 5 + i 7 ─ z² = = 4 +4 4 z = ¹ z² = -3 – i 47 – 3 i 47 – = 14 14 14 -3 + i 47 3 i 47 – + = 14 14 14 Sử dụng máy tính để kiểm tra kết quả.

BẢNG TÓM TẮT CÔNG THỨC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC Phương trình: ax² + bx + c = 0 ∆’ = b’² – ac ∆’ > 0 ∆’= 0 ∆’ < 0 (a ≠ 0) (1) Kết luận ─ – b’ ± ∆’ x¹ ² = a ’ (1) có một nghiệm thực: x = – b’ a (1) có 2 nghiệm thực phân biệt: (1) có 2 nghiệm phức: x ¹’² = – b’ ± i l∆’l a Trên tập hợp số phức, mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm (không nhất thiết phân biệt)

III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC Ví dụ 2. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức 3) z² – 4 z + 7 = 0 (3) Giải ∆’ = 4 – 7 = – 3 = 3 i² 4) 8 z² + 4 z + 1 = 0 (4) Giải ∆’ = 4 – 8 = – 4 = 4 i² Nghiệm của phương trình (3) Nghiệm của phương trình (4) z = 2 – 3 i ¹ z ² = 2 + 3 i 1 – i z = –─ ─ ¹ 4 4 i 1 – z² = ─ + ─ 4 4 Sử dụng máy tính để kiểm tra kết quả.

III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC Ví dụ 3. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức 1) z 4 + z² – 6 = 0 (1) Giải Đặt: t = z² (t C) Phương trình (1) thành: t= 2 t² + t – 6 = 0 - t = – 3 ─ z = – 2 v t = 2 z² = 2 ─ - z = 2 ─ z = – i 3 v t = – 3 z² = 3 i² ─ z = i 3 ─ ─ Phương trình (1) có 4 nghiệm: z = – 2 , z = 2 , ─ ─ z = i 3, z = – i 3

III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC Ví dụ 3. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức 2) z 4 + 6 z² + 25 = 0 (2) Giải. Đặt: t = z² Phương trình (1) thành: (t C) t² + 6 t + 25 = 0 (*) ∆’ = 9 – 25 = – 16 = 16 i² Nghiệm của phương trình (*): t = 3 – 4 i , t = 3 + 4 i v t = 3 – 4 i z² = 3 – 4 i = (4 – 4 i + i²) = (2 – i)² z = ± (2 – i) v t = 3 + 4 i z² = 3 + 4 i = (4 + 4 i + i²) = (2 + i)² z = ± (2 + i) Phương trình (2) có 4 nghiệm: z=– 2+i, z= 2–i, z = – 2 – i, z = 2 + i

TRƯỜNG THPT ĐOÀN KẾT Chuyên đề SỐ PHỨC IV. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ PHỨC

IV. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ PHỨC 1. Căn bậc hai của số phức: Bài toán. Tìm căn bậc hai của các số phức sau: b) z = 5 + 12 i Giả sử: x + yi (x, y R) là căn bậc hai của số phức z, ta có: (x + yi)² = 5 + 12 i (x² – y²) + 2 xyi = 5 + 12 i { x² – y² = 5 2 xy = 12 { 6 – y = x x 4 – 5 x² – 36 = 0 6 y = ─ x x² = – 4 (vn) - x² = 9 { x = – 3 x =3 { y = – 2 hoặc { y = 2 Vậy căn bậc hai của z là: 3 + 2 i và – 3 – 2 i Ø 5 – 12 i = (3 – 2 i)² Ø 5 + 12 i = (3 + 2 i)²

IV. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ PHỨC 2. Phương trình bậc hai với hệ số phức: Ví dụ. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức a) (1+i)z² – 2(1– i)z +1 – 3 i = 0 (1) ∆’ = (1– i)² – (1+i). (1– 3 i = – 4 = 4 i² Nghiệm của phương trình (1) (1 – 3 i). (1 – i) z = 1 – i – 2 i = = – 1 – 2 i ¹ (1 + i). (1 – i) 1+i z² = 1 – i + 2 i =1 1+i

Chuyên đề SỐ PHỨC V. BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC

V. BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC Bài 1. Gọi z¹ , z ² là hai nghiệm phức của phương trình: z² + 2 z + 10 = 0 Tính giá trị của biểu thức: A = lz¹ l² + lz l² ² Bài 2. Tìm số phức z thỏa mãn : z² + 2 z + 10 = 0 lz – (2 + i)l = 10 và z. z ¯ = 25 Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện : lz – (3 – 4 i)l = 2 Bài 4. Tìm phần thực, phần ảo của số phức z thỏa mãn điều kiện : (2 – 3 i)z + (4 + i)z ¯ = – ( 1+ 3 i)² Bài 5. Tìm số phức z thỏa mãn : ¯ và z² là số thuần ảo |z| = 2

V. BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC