Trng i hc Bch khoa tp H Ch

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng ------------------------------------------- Giải tích 1 Chương 4: Phương trình vi phân cấp 1. • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (11/2008) dangvvinh@hcmut. edu. vn

Nội dung -------------------------------------------------------------- I – Định nghĩa. II – Các dạng phương trình vi phân: 1 – Phương trình vi phân tách biến 2 – Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 3 – Phương trình vi phân đẳng cấp 1 4 – Phương trình vi phân toàn phần 5 – Phương trình Bernoulli

I. Các khái niệm cơ bản Cho mạch điện như hình bên. Điện thế tại nguồn E ở thời điểm t: E(t) volt Điện trở R (Ohm), cuộn cảm L (Henry) Dòng điện chạy qua ở thời điểm t là I(t) ampe Theo định luật Ohm: dòng điện tại thời điểm t được tính bởi công thức: Ptrình vi phân cấp 1.

I. Các khái niệm cơ bản Định nghĩa Phương trình chứa đạo hàm hay vi phân của một hoặc một vài hàm cần tìm được gọi là phương trình vi phân. Phương trình chứa đạo hàm của một biến độc lập gọi là phương trình vi phân thường (Differential Equation) Phương trình chứa đạo hàm riêng gọi là phương trình vi phân đạo hàm riêng (Partial Differential equation PDE).

I. Các khái niệm cơ bản Định nghĩa Cấp cao nhất của đạo hàm trong phương trình vi phân gọi là cấp của phương trình vi phân cấp 2 phương trình vi phân cấp 3. phương trình đạo hàm riêng cấp 2

Định nghĩa I. Các khái niệm cơ bản Dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp n Ví dụ: Nếu giải ra được Ví dụ: Giải ra được: :

Định nghĩa I. Các khái niệm cơ bản Nghiệm của phương trình (1) trên khoảng I là một hàm xác định trên I sao cho khi thay vào (1) ta được đồng nhất thức. Đồ thị của nghiệm gọi là đường cong tích phân Ví dụ: Phương trình vi phân vì thỏa phương trình vi phân đã cho. có nghiệm là

Định nghĩa I. Các khái niệm cơ bản Dạng tổng quát của phương trình vi phân cấp 1 Nếu giải ra được : Ví dụ: Các phương trình vi phân cấp 1: dạng (3) phương trình Clairaut, dạng (2)

I. Các khái niệm cơ bản Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của phương trình (2) hoặc (3) thỏa điều kiện ban đầu (điều kiện biên) Nghiệm của phương trình (2) hoặc (3) là họ đường cong tích phân phụ thuộc hằng số C. Nghiệm của bài toán Cauchy là đường cong tích phân đi qua điểm cho trước

I. Các khái niệm cơ bản Ví dụ: Phương trình vi phân nghiệm của phương trình là họ đương cong tích phân: Xét bài toán Cauchy Ta có Nghiệm của bài toán Cauchy

I. Các khái niệm cơ bản Đường cong tích phân trong vài trường hợp Nghiệm của bài toán Cauchy là đường cong màu đỏ. Đường cong điểm (1, 3). qua

I. Các khái niệm cơ bản Định lý (tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy) Nếu hàm y = f(x) liên tục trong miền mở với mọi điểm , thì , bài toán Côsi (3) với điều kiện (4) có nghiệm xác định trong lân cận của x 0. Ngoài ra nếu đạo hàm riêng nghiệm này là duy nhất. cũng liên tục trong D, thì

I. Các khái niệm cơ bản Định nghĩa Nghiệm của phương trình cấp 1 phụ thuộc hằng C. Nghiệm tổng quát của phương trình cấp 1: Nghiệm riêng là nghiệm thu được từ nghiệm tổng quát bằng cách cho C hằng số cụ thể ( ví dụ nghiệm bài toán Côsi). Nghiệm kỳ dị là nghiệm không thể thu được từ nghiệm tổng quát cho dù C lấy bất kỳ giá trị nào.

I. Các khái niệm cơ bản Giải phương trình vi phân là tìm ra các nghiệm của nó. Trong chương trình này, ta giải phương trình theo cách không đầy đủ, không chặt chẽ (ví dụ: khi chia cho y không biết y có triệt tiêu không). Để khảo sát nghiệm một cách đầy đủ, các em có thể tham khảo sách Jean – Marie Monier, giải tích tập 2 và 4.

II. 1 Phương trình vi phân tách biến Dạng Cách giải: tích phân hai vế ta được Ví dụ Giải pt Nghiệm của phương trình:

Các dạng có thể đưa về phương trình vi phân tách biến Dạng 1 Cách giải: Có thể đưa về phương trình tách biến Nếu tại y = b, thì y = b là một nghiệm riêng. Nếu tại x = a, thì x = a là một nghiệm riêng. Nếu , chia hai vế cho Phương trình tách biến

II. 1 Phương trình vi phân tách biến Ví dụ Giải pt Nghiệm của phương trình:

Ví dụ Giải phương trình Phương trình trên được viết lại: Tích phân hai vế Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là:

Ví dụ Giải phương trình Phương trình trên được viết lại: Tích phân hai vế Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là:

Các dạng có thể đưa về phương trình vi phân tách biến Dạng 2 Cách giải: Đặt Nếu , giải tìm . Kiểm tra có phải là nghiệm. Nếu , chia hai vế cho Đây là phương trình tách biến (biến u riêng, biến x riêng)

Ví dụ Giải phương trình Thay vào pt đã cho Nghiệm của phương trình vi phân là

Chú ý: Ví dụ Giải phương trình Bỏ số 1 ở tử ta vẫn được phương trình vi phân dạng đang xét. Ví dụ Giải phương trình Thay số 4 bởi một số khác (số 2) thì phương trình này không có dạng phương trình vi phân đang xét.

II. 2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 Dạng Cách giải: Nhân hai vế cho

Ví dụ Giải phương trình Chú ý: Chỉ lấy một nguyên hàm của

Ví dụ Giải phương trình Chia hai vế cho

Ví dụ Giải phương trình Với điều kiện y(2) = 1: Nghiệm của phương trình: , y(2) = 1.

II. 3 Phương trình vi phân đẳng cấp 1 Dạng Cách giải: Đặt Khi đó: Nếu , thì giải pt này ta có các nghiệm riêng. Nếu là phương trình tách biến

Ví dụ Giải phương trình Đặt

Ví dụ Giải phương trình Đặt kết hợp điều kiện nghiệm pt:

II. 3 Các dạng đưa về phương trình đẳng cấp Dạng với là hàm đẳng cấp bậc 0 ( là hàm đẳng cấp bậc 0. )

Ví dụ Giải phương trình hàm đẳng cấp bậc 0. Đặt

II. 3 Các dạng đưa về phương trình đẳng cấp Dạng Trường hợp 1: có duy nhất nghiệm Đổi biến: là phương trình đẳng cấp.

II. 3 Phương trình vi phân đẳng cấp 1 Trường hợp 2: Giả sử Đổi biến: phương trình tách biến

Ví dụ Giải phương trình Giải hệ: Đổi biến: Đây là phương trình vi phân đẳng cấp.

II. 4 Phương trình vi phân toàn phần Dạng trong đó Cách giải: Nghiệm tổng quát của phương trình: Với trong đó là một điểm tùy ý mà P, Q liên tục.

II. 4 Phương trình vi phân toàn phần Cách khác: Nghiệm tổng quát : Với Đạo hàm hai vế theo y (coi x là hằng)

Ví dụ Giải phương trình Đây là phương trình vi phân toàn phần. Nghiệm tổng quát:

Ví dụ Giải Phương trình vi phân toàn phần. Nghiệm tổng quát: Điều kiện Nghiệm thỏa điều kiện ban đầu:

II. 4 Phương trình vi phân Bernoulli Dạng Cách giải: Chia hai vế cho Đặt Đây là phương trình vi phân tuyến tính với hàm z(x).

Ví dụ Giải Phương trình Bernoulli. Chia hai vế cho Đặt , ta có: Giải pt tuyến tính: Điều kiện Nghiệm pt:

Ví dụ Giải Phương trình Bernoulli Đặt Có phương trình tuyến tính: Nghiệm tổng quát pt đã cho: Điều kiện y(0) = 1, suy ra C = 1. Nghiệm bài toán Côsi:

Đường cong tích phân thỏa bài toán Côsi: y(0) = 1

Bài tập. Nhận dạng và giải các phương trình vi phân