Tringulo rtico lvarez Romina Baliosian Rodrigo Tortorella Florencia

Triángulo Órtico Álvarez, Romina Baliosian, Rodrigo Tortorella, Florencia

Definición: • El triángulo órtico de un triángulo ABC es el que tiene por vértices los pies HA, HB, HC de las alturas del ΔABC.

Propiedades del triángulo órtico: Propiedad 1 • Los triángulos AEF, DBF y DEC son semejantes al triángulo ABC • Demostración: • En efecto, por ser cíclico el cuadrilátero BCEF, los ángulos AEF y ABC son ambos suplementarios del ángulo FEC, por lo que son iguales. De igual forma, ∠AEF = ∠ABC= • Tienen el ángulo A en común • por criterio de sem AA ABC AEF

Propiedad 2 • Si H es el ortocentro de un ABC y las alturas AD, BE, CF cortan a la circunferencia circunscrita a ABC en D´ , E´ , F ´ , entonces se cumplen las igualdades: [HD] = [DD´] , [HE] = [EE´] , [HF] = [FF´]. • Demostración: Como BFHD es cíclico, tenemos ∠BHD = ∠BFD= porque abarcan la misma cuerda (BD) • ∠BFD= ∠BCA= por propiedad 1 • ∠BCA = ∠BD´A= porque abarcan las misma cuerda (BA) en la cfa circunscrita al ABC. • ∠BD´A = ∠BD´H= porque A, H y D están alineados • el BHD´ es isósceles, y su altura BD también es su mediana, [HD] = [DD´]

Propiedad 3 • El D´E´F´ es el resultado de aplicar al DEF una homotecia de centro H y razón 2. • Demostración: Por ser [HD ]= [DD´ ] es [HD´ ]= 2 · [HD ]y lo mismo para los otros vértices.

Propiedad 4 • Cada vértice del ABC es el punto medio del arco determinado en la circunferencia circunscrita por las prolongaciones de las alturas trazadas desde los otros vértices. • Demostración: por ser cíclico el cuadrilátero BCEF, tenemos ∠ABE´ = ∠FBE= por estar A y F alineados con B; y E´ y E alineados con B. • ∠FBE = ∠FCE por abarcar la cuerda FE • ∠FCE =∠F´CA por estar F y F´ alineados con C; y A y E alineados con C. • Como a ángulos inscritos iguales corresponden arcos iguales: arco F´A=arco AE´. Por lo tanto A es punto medio del arco F´E´.

Propiedad 5 • El triángulo tangencial y el triángulo órtico de un triángulo son homotéticos. • El triángulo tangencial es el triángulo formado por las rectas tangentes a la circunferencia circunscrita en los vértices del triángulo. • Demostración: Los lados del triángulo órtico son perpendiculares a los correspondientes radios de la circunferencia circunscrita ( D 1 E 1 F 1 es homotético al DEF, por lo que D 1 E 1 // DE. Por prop 4, A es punto medio del arco F 1 E 1, entonces AO es mediatriz de [F 1 E 1]. Por lo tanto AO FE. Análogamente se prueba para los otros dos lados. ) • Los lados del triángulo tangencial son perpendiculares a los radios. • Por lo tanto, ambos triángulos tienen sus lados respectivamente paralelos. De donde se deduce que son semejantes. Más aún, puede probarse que son homotéticos hallando la Homotecia correspondiente que los vincula, para esto

Propiedad 6 • Las alturas de un triángulo bisecan los ángulos interiores del triángulo órtico. • Sea ABC un triángulo y D, E y F los pies de la alturas desde A, B y C respectivamente H ortocentro. • HDCE es inscriptible porque los ángulos HDC = HEC =90º • HDBF es inscriptible porque los ángulos HDB = HFB = 90º • El AFC es rectángulo en F, el BEA es rectángulo en E • = al ángulo HDE= HCE por inscriptos en cfa. circunscrita al HDCE. • En el AFC los ángulos ∠ ACF= ∠ HCE= ∠ FAC=90º-

• En el AEB el ∠ ABE = porque ∠ FAC=90º- • ∠ ABE = ∠ FBH = ∠ FDH porque HDBF es inscriptible • ∠ FDH = ∠ HDE= • DH es bisectriz del ∠FDE • Análogamente se prueba que las demás alturas son bisectrices en el triángulo órtico.

Antiparalelas: • Un par de rectas secantes son antiparalelas una de la otra respecto a otro par de rectas si la bisectriz del ángulo que forma el primer par es perpendicular a la bisectriz del ángulo formado por las otras dos. • Sean las rectas r 1, r 2 y otras dos s 1, s 2 se dice que las primeras son antiparalelas a las segundas si las bisectrices de r 1, r 2 son perpendiculares a las bisectrices de s 1, s 2.

Propiedades: Antiparalelas • Si en uno de los pares de rectas antiparalelas se refleja una de ellas respecto a la bisectriz, el resultado es una recta paralela a la otra. Es esta propiedad la que da origen al nombre de antiparalelas. • La propiedad de antiparalelismo es simétrica: si un par de rectas son antiparalelas respecto al segundo par, entonces el segundo par es antiparalelo respecto al primero.

• El cuadrilátero formado por las intersecciones de las rectas del primer par con el segundo siempre resulta en un cuadrilátero cíclico.

Bibliografía • Triángulo Órtico https: //webcache. googleusercontent. com/search? q=cac he: 2 evo. ABb 2 J 0 J: https: //www. oei. es/historico/oim/revistaoim/nu mero 37/ortico. pdf+&cd=13&hl=es&ct=clnk&gl=uy • Triángulo Órtico http: //webcache. googleusercontent. com/search? q=cache: P 93 vu. Gv. CLp 0 J: aulas. ces. edu. uy/pluginfile. php/92160/ mod_folder/content/0/Triangulo_Ortico. pdf%3 Fforced ownload%3 D 1+&cd=14&hl=es&ct=clnk&gl=uy • https: //es. wikipedia. org/wiki/Antiparalelas