Trigonomtrie TRIGONOMTRIE Titre du diagramme TRIGONOMTRIE TRIANGLES RECTANGLES

Trigonométrie

TRIGONOMÉTRIE. Titre du diagramme TRIGONOMÉTRIE TRIANGLES RECTANGLES RAPPORTS TRIGONOMÉTRIQUES SINUS COSINUS ET TANGENTE 03/12/2020 TRIANGLES QUELCONQUES LOI DES SINUS LOI DES COSINUS 2

Définition de la trigonométrie t Définition: la partie des mathématiques qui s’intéresse aux mesures des angles et des côtés d ’un triangle. Les mesures des angles étant données en degrés et les mesures des côtés sont données dans des unités de longueur connus (cm, m, km……) t Plusieurs sciences ou techniques se fondent sur la trigonométrie: t. La géodésie t. La topographie t. L ’arpentage 03/12/2020 3

Les pré-requis t. La somme des angles dans un triangle: tm A+ m B + m C = 1800 t. Types de triangles: rectangle, isocèle, quelconque t. Théorème de Pythagore: tc 2 = a 2 + b 2 (calcul de l ’hypoténuse) ta 2 = c 2 b 2 (calcul de la mesure du côté « a » ) ta 2 = c 2 a 2 (calcul de la mesure du côté « b » ) 03/12/2020 5

UTILITÉ DU THÉORÈME DE PYTHAGORE Le théorème de PYTHAGORE permet de déterminer la longueur du coté d’un triangle rectangle connaissant la longueur des deux autres cotés. A c b C a B

Rappel de Pythagore AB = 3 cm B A BC = ? AC = 7 cm C

APPLICATION 1 AB = 3 cm B A BC = ? AC = 7 cm Le triangle ABC est rectangle en B. D’après l’énoncé du théorème de PYTHAGORE : c 2 = b 2 + a 2 C

APPLICATION 1 AB = 3 cm B A BC = ? AC = 7 cm C c 2 = a 2 + b 2 72 = 32 + b 2 49 = 9 + b 2 49 - 9 = b 2 40 = b 2 = 4 O

APPLICATION 1 AB = 3 cm B A BC = ? AC = 7 cm C c 2 = a 2 + b 2 72 = 32 + b 2 49 = 9 + b 2 49 - 9 = b 2 40 = b 2 = 4 O

APPLICATION 1 AB = 3 cm B A BC = ? AC = 7 cm C c 2 = a 2 + b 2 72 = 32 + b 2 49 = 9 + b 2 49 - 9 = b 2 40 = b 2 = 4 O b = 40

APPLICATION 1 AB = 3 cm B A BC = ? AC = 7 cm C c 2 = a 2 + b 2 72 = 32 + b 2 49 = 9 + b 2 49 - 9 = b 2 40 = b 2 = 4 O b = 40 b ≈ 6. 32 cm

Notation dans un triangle t Notation: ABC B t Identification des angles: par le symbole ACB t Identification des côtés: c a par des lettres minuscules: Ex : a , b , c C 03/12/2020 b A 13

Les Noms des Côtés • Le côté opposé à l’angle – est le côté qui ne touche pas l`angle. • Le côté adjacent à l’angle – est le côté qui touche l`angle. Mais ce n`est pas l’hypoténuse. • L’hypoténuse – est le côté le plus long dans un triangle rectangle. L’hypoténuse est toujours opposé à l’angle droite. 03/12/2020 14

Les rapports trigonométriques t Distinguer le côté opposé et le côté adjacent de l ’ angle aigu A , ainsi que l ’hypoténuse dans un triangle rectangle. t B c hypoténuse a côté opposé C 03/12/2020 b côté adjacent A 15

Quel côté est opposé à l`angle de 20 degrés? a c b 03/12/2020 20° 16

Quel côté est opposé à l`angle de 25 degrés? a b 25° 03/12/2020 c 17

Quel côté est opposé à l`angle de 60 degrés? b c a 03/12/2020 60° 18

Quel côté est adjacent à l`angle de 70 degrés? c b 70° a 03/12/2020 19

Quel côté est adjacent à l`angle de 15 degrés? a c 15° b 03/12/2020 20

Quel côté est adjacent à l`angle de 45 degrés? b a 45° c 03/12/2020 21

Quel côté est l`hypoténuse? y z x 03/12/2020 22

Quel côté est l`hypoténuse? d e 03/12/2020 f 23

Quel côté est l`hypoténuse? t r s 03/12/2020 24

Autres façon de trouver les mesures manquantes d’un triangle rectangle

Les rapports trigonométriques t. Calcul des rapports trigonométriques 03/12/2020 26

Les rapports trigonométriques Regarde le rapport entre chaque paire de côtés. L’angle de référence est l’angle x. 5 Opposé = Hypoténuse 3 5 = . 60 Adjacent = Hypoténuse 4 5 = . 80 Opposé Adjacent 3 4 = . 75 3 x = 4 03/12/2020 27

Les rapports trigonométriques Regarde le rapport entre chaque paire de côtés si je fait un triangle similaire mais deux fois plus grand. L’angle de référence est l’angle x. 10 Opposé = Hypoténuse 6 = 10 . 60 Adjacent = Hypoténuse 8 = 10 . 80 Opposé Adjacent 6 8 . 75 6 x = = 8 Le rapport trigonométrique ne change pas quand un triangle change de taille! 03/12/2020 28

Le multiple avec des triangles similaires Est-ce que ca marche si je multiplies le triangles par 7 35 Opposé = Hypoténuse 21 = 35 . 60 Adjacent = Hypoténuse 28 = 35 . 80 Opposé Adjacent 21 = 28 . 75 21 x = 28 Le rapport trigonométrique ne change pas quand un triangle change de taille! 03/12/2020 29

Les rapports trigonométriques tÀ quoi ça sert? t. Calcul de la mesure d’un angle à l’aide d’un de ses rapports trigonométriques. t. Calcul de la mesure d ’un côté à l ’aide de la mesure d ’un angle aigu et d ’un côté. 03/12/2020 30

Pause calculatrice t. Mettre la calculatrice en mode « degrés » DRG t. Entrer la valeur du rapport trouvé. t. Appuyer sur la touche: 2 nd t. Appuyer sur la touche de: SIN COS TAN 03/12/2020 Trouver la mesure d ’un angle dont on connaît l’un des rapports trigonométriques. 31

Sinus • C’est le nom pour le rapport trigonométrique de Opp Hyp • C’est le longueur du côté oppose divise par le longueur de l’hypoténuse 03/12/2020 32

Cosinus • C’est le nom pour le rapport trigonométrique de Adj Hyp • C’est le longueur du côté adjacent divise par le longueur de l’hypoténuse 03/12/2020 33

Tangente • C’est le nom pour le rapport trigonométrique de Opp Adj • C’est le longueur du côté oppose divise par le longueur côté adjacent 03/12/2020 34

Les rapports trigonométriques ( Sinus ) t. Sinus = côté opposé • Triangle rectangle : A hypoténuse t. Calcul du rapport: sinus A = 3 5 = 0, 6 4 5 t. Calcul de l ’angle aigu correspondant: m A = 0, 6 sin tdonc, m A = 370 2 nd C B 3 03/12/2020 35

Les rapports trigonométriques ( Cosinus ) t. Cosinus= côté adjacent • Triangle rectangle : hypoténuse A t. Calcul du rapport: cosinus A = 4 5 = 0, 8 5 t. Calcul de l ’angle aigu 4 correspondant: m A = 0, 8 tdonc, m A = 370 2 nd cos B C 3 03/12/2020 36

Les rapports trigonométriques ( Tangente ) t. Tangente= opposé • Triangle rectangle: adjacent A t. Calcul du rapport: tangente A = 3 4 = 0, 75 5 t. Calcul de l ’angle aigu 4 correspondant: m A = 0, 75 2 nd tan 0 tdonc, m A = 37 C B 3 03/12/2020 37

Pause calculatrice t. Mettre la calculatrice en mode « degrés » DRG t. Entrer la valeur en degrées. t. Appuyer sur le rapport recherché: SIN 03/12/2020 COS Trouver le rapport trigonométrique d ’un angle donné TAN 38

Résumé des apprentissages t Sinus d ’un angle: le rapport de la mesure du côté opposé à l ’angle sur l a mesure de l ’hypoténuse. t Cosinus d ’un angle: le rapport de la mesure du côté adjacent à l ’angle sur l a mesure de l’hypoténuse t Tangente d ’un angle: le rapport de la mesure du côté opposé à l ’angle sur la mesure du côté adjacent 03/12/2020 39

TRIGONOMÉTRIE COURS LES RELATIONS ENTRE LES ANGLES ET LES COTES : LA TRIGONOMETRIE C le coté en face de l'angle droit le coté en face de l'angle ou le plus grand: l'hypoténuse ou coté: opposé B A le coté qui touche l'angle et l'angle droit ou coté adjacent S sin …. O = C cos …. / A = T tan …. opp H adj H / O = opp hyp A / adj

Chapitre : TRIGONOMÉTRIE COURS ATTENTION: la disposition des cotés opposé et adjacent dépend de l'angle utilisé dans les calculs C l'hypoténuse Toujours au même endroit opposé adjacent A opposé adjacent B

Chapitre : TRIGONOMÉTRIE A QUOI SERT LA TRIGONOMETRIE ? calculer un angle : si 2 cotés sont donnés l’angle peut être calculé, calculer un coté : un autre coté peut être calculé si l’angle est donné et 1 coté est donné un autre coté peut être calculé

Résumé des apprentissages Exemple 1 : Pour le triangle BDE, détermines cos B et la mesure de l'angle B. E d = 13 cm D B e = 5 cm ·Si tu connais la mesure en degrés d'un angle, la touche COS de ta calculatrice te permet d'en déterminer le cosinus. ·Si tu connais le sinus de l'angle, la touche COS-1 de ta calculatrice te permet de déterminer la mesure en degrés de l'angle. 03/12/2020 43

Résumé des apprentissages = E cos B = adjacent hypothénuse d = 13 cm 5 cm 13 cm D e = 5 cm B cos B = 5 13 <B = 67 o 03/12/2020 44

Résumé des apprentissages Exemple 2: Pour le triangle WXY, détermines la longueur w 11 cm X w W 24 cm Y 03/12/2020 45

Résumé des apprentissages Exemple 2: Pour le triangle WXY, détermines la longueur w 11 cm X W cos W = adjacent Hypothénuse cos W = w 24 cm 11 24 <W = 63 o Puisque, <W = 63 o et <X = 90 o , alors <Y = 180 o - (90 o + 47 o) = 27 o cos Y = Y 03/12/2020 w 24 cos 27 o = w 24 46 w = 24(cos 27 o) = 21, la longueur de w est donc 21 cm.

Séance d ’entrainement t. Les choses se corsent ? t. Faites tout de suite une bonne séance d ’entraînement! 03/12/2020 47

Choisir le bon rapport trigonométrique. Commencer toujours par repérer l’angle connu ou cherché E L ? Par rapport à l’angle connu ESL: Je connais : l’hypoténuse 36 ° 8, 5 cm Je cherche : le côté opposé Donc j’utilise Sinus S E 4, 5 cm L Par rapport à l’angle connu Je connais : le côté opposé ? Je cherche : le côté adjacent 36 ° S Donc j’utilise Tangente ESL:

E L Je connais : l’hypoténuse ? 36 ° S Je cherche la mesure du côté ES 8, 5 cm Je connais : le côté adjacent Donc j’utilise Cosinus

1. Résous ce triangle pour trouver la longueur du côté x Tu dois trouver la longueur du côté opposé. 17, 4 cm Tu sais la longueur de l’hypoténuse. x 23° Est-ce que tu utilises SIN, COS ou TAN? Tu as appris que: SIN = opposé COS = adjacent TAN = opposé hypoténuse adjacent Parce que tu cherches le côté opposé et tu sais l’hypoténuse, tu choisis SIN. Tu utilises SIN parce que SIN est le rapport entre l’opposé et l’hypoténuse. 03/12/2020 50

Tu as choisi SIN donc tu écris: 17, 4 cm x SIN 23° = longueur du côté opposé longueur de l’hypoténuse 23° SIN 23 ° = x . 17, 4 Utilise ta calculatrice: Appuie sur “ 2” et “ 3” et puis appuie sur les bouton “SIN” Sur ton écran, tu vois : 0, 3907311. Tu peux arrondir ce rapport à 0, 3907. Dans l’équation, remplace SIN 23 ° par 0, 3907 = x . Fais la “multiplcation à travers” (cross multiply) 17, 4 (0, 3907) (17, 4) = x 6, 79818 = x La longueur du côté x est 6, 8 cm 03/12/2020 51

2. Résous ce triangle pour trouver la mesure de l’angle ө. Tu sais la longueur du côté adjacent à angle ө 15, 1 m ө Tu sais la longueur de l’hypoténuse. Est-ce que tu utilises SIN, COS ou TAN? 12, 8 m Tu as appris que: SIN = opposé COS = adjacent TAN = opposé hypoténuse adjacent Parce que tu sais le côté adjacent et tu sais l’hypoténuse, tu choisis COS. Tu utilises COS parce que COS est le rapport entre l’adjacent et l’hypoténuse. 03/12/2020 52

Tu as choisi COS donc tu écris: 15, 1 m COS ө = longueur du côté adjacent longueur de l’hypoténuse ө COS ө = 12, 8 . 15, 1 12, 8 m Utilise ta calculatrice: Divise “ 12, 8” par “ 15, 1” = 0, 8476821 Puis appuie sur les bouton « 2 nd » . Puis appuie sur le bouton “COS” La réponse est « 32, 039548 » SIN ө = 0, 8476821 ө = 32, 039548 ө = 32, 0 L’angle ө mesure 32, 0 ° 03/12/2020 53

Les angles - Trigonométrie Un angle d’élévation est un angle qui est mesuré vers le haut, par rapport à chat une ligne horizontale. L’angle d’élévation

Suzanne se situe à 120 m d’un bâtiment. Elle observe, sous un angle d’élévation de 29°, un chat qui se trouve au toit de l’immeuble. Quelle est la hauteur du bâtiment? chat h Suzanne 120 m L’angle d’élévation est 29°.

tg 29° = h 120 m h = (0, 5543) (120 m) h = 66, 5 m Le bâtiment a une hauteur de 66, 5 m. chat h Suzanne 120 m L’angle d’élévation est 29°.

Les angles - Trigonométrie Un angle de dépression est un angle qui est mesuré vers le bas, par Paul rapport à une ligne horizontale. F A L A I S E angle de dépression bateau mer

Paul se trouve en haut d’une falaise. Il voit, sous un angle de dépression de 31°, un bateau qui flotte dans la mer. Le bateau se situe à 650 m de la falaise. Quelle est la hauteur de la falaise? Paul F A L A I S E angle de dépression est 31° bateau 650 m mer

Si l’angle de dépression est 31°, alors l’angle A mesure ( 90 – 31) = 59°. Paul F A L A I S E angle de dépression est 31° A = 59° bateau 650 m mer

tg 59 ° = 650 m f (f )(1, 6643) = 650 m La falaise a une hauteur de 390, 6 m. f = 390, 6 m Paul F A L A I S E angle de dépression est 31° A = 59° bateau 650 m mer

Dans le livre bleu “OMNIMATHS 10”, regarde page XXIV Résolution de problèmes Tour x 52° 100 m Le côté de x est à angle 52 °. Le côté de 100 m est à angle 52° Lorsqu’on sait la longueur du côté adjacent et la longueur de du côté opposé, quel rapport utilise-t-on? TAN 52° = x 100 Appuie sur : “ 52” “TAN” 1, 2799416 = x 100 Fais la multiplication croisée 127, 99416 = x = 128 mètres La hauteur de la tour est 128 mètres.

Angle d`élévation C`est l`angle entre l’horizon et la ligne d’observation. Quand tu dessines un angle d’élévation: - tu commences à la ligne horizontale - tu montes vers le haut pour faire l’angle La ligne entre les yeux de la personne qui observe et l`objet observé. ligne d’observation La ligne est au-dessus de l`horizon. Ligne horizontale

Angle de Dépression C`est l`angle entre l’horizon et la ligne d’observation. Quand tu dessines un angle de dépression: - tu commences à la ligne horizontale - tu descends vers le BAS pour faire l’angle La ligne d’observation est la ligne entre les yeux de la personne qui observe et l`objet observé. La ligne est au dessous de l`horizon. ligne horizontale

Page 244 # 15 Le côté x est _______ à l’angle de 60°. La corde est l’ Quand on a le côté opposé et l’hypoténuse, on utilise le rapport SIN 60° = x . 25 m 25 60° 1, 5 m x Hauteur du cerf-volant = X + 1, 5 m 0, 8660254 = x . 25 (25)(0, 8660254) = x 21, 650635 = x 21, 7 = x Hauteur = X + 1, 5 m Hauteur = 21, 7 m + 1, 5 m = 23, 2 m

Page 244 # 16 Hauteur = x + 1, 6 m Immeuble ou x bâtiment 30° 1, 6 m Le côté x est _______ à l’angle de 30°. La côté de 100 m est _______ à l’angle de 30°. 100 m Quand on a le côté opposé et le côté adjacent, on utilise le rapport TAN 30° = x . 100 0, 5773503 = x . 100 (100)(0, 5773503) = x 57, 73503 = x 57, 7 = x Hauteur = x + 1, 6 m Hauteur = 57, 7 m + 1, 6 m Hauteur = 59, 3 m

Page 245 # 17 65° 25° angle de dépression On trouve l’angle de 65° par: 367 x m 90° - 25° = 65° 25° Le côté x est par rapport à l’angle de 65 °. Le côté de 367 m est l’ Quand on a le côté adjacent et l’hypoténuse, on utilise le rapport COS 65° = x . 367 0, 4226183 = x . 367 (367)(0, 4226183) = x 155, 1009 = x 155, 1 = x La hauteur de l’avion est 155, 1 mètres.

Page 245 # 18 ---------------------30° angle de dépression 60° Sommet de la falaise (Top of cliff) 60 m 30° Base de la falaise La mer x Le côté x est par rapport à l’angle de 60°. Le côté de 60 métres est le côté par rapport à l’angle de 60°. Quand on a le côté oppsé et le côté adjacent, on utilise le rapport TAN 60° = x . 60 1, 7320508 = x . 60 (60) (1, 7320508) = x 103, 9 = x Le bateau se trouve à 103, 9 mètres de la base de la falaise.

À quelle hauteur par rapport au sol le cerf-volant se situe-t-il? sin 60º = x 25 m 0, 8660 = 25 m x h 21, 65 m x 25 m 0, 8660(25) = x x = 21, 65 m 60º 1, 5 m 21, 65 m + 1, 5 m = 23, 15 m Le cerf-volant se situe de 23, 15 m par rapport au sol.

Quelle est la hauteur de l’immeuble? tg 30º = x 100 m 57, 74 m 30º 0, 5774(100) = x x h x = 57, 74 m + 1, 6 m = 59, 34 m 1, 6 m 100, 0 m La hauteur de l’immeuble est égale à 59, 34 m.

Si elle regardait vers le haut à partir du sol, quel serait l’angle d’élévation? tg θ = 59, 34 m 100 m tg θ = 0, 5934 59, 34 m θ = 30, 68 θ = 31º θ 100, 0 m L’angle d’élévation serait égale à 31º.

Quelle est la hauteur de l’avion? 65º tg 65º = 367 m 25º h h 367 m sol 2, 1445(h) = 367 m h = 367 m 2, 1445 h = 171, 13 m La hauteur de l’avion est égale à 171, 13 m.

À quelle distance se trouve le bateau de la base de la falaise? 30º 60º tg 60º = 60 m d 60 m (1, 732)(60 m) = d d = 103, 92 m d Le bateau se trouve à une distance de 103, 92 m de la base de la falaise.

Quel angle est le plus grand, x ou y? De combien est-il plus grand? 20, 0 m 11º x 100, 0 m Chris 6º y 200, 0 m tg <x = 20, 0 m tg <y = 20, 0 m 100 m 200 m tg <x = 0, 2000 tg <y = 0, 1000 < x = 11, 31 < y = 5, 71 x = 11º y = 6º Kerry

Quel angle est le plus grand, x ou y? De combien est-il plus grand? 20, 0 m 11º x 100, 0 m Chris 6º y Kerry 200, 0 m L’angle x est le plus grand. Il est à peu près deux fois plus grand que l’angle y.