TRIGONOMETRIA TRI NGULO RET NGULO 1 TRIGONOMETRIA Tringulo

TRIGONOMETRIA TRI NGULO RET NGULO 1

TRIGONOMETRIA Triângulo Retângulo Num vão entre duas paredes, deve-se construir uma rampa que vai da parte inferior de uma parede até o topo da outra. m Sabendo-se que a altura das paredes é de 4 e o vão entre elas é de 12 m, determine o ângulo, em graus, que a rampa formará com o solo. sen = cos = tg = b a c a b c = 30 o 12 m 2

( UFSC ) Na figura, abaixo, determine o valor de x y 60 o 30 o AD = x tg 30 o = DC= x - 38 y = x y x = (x – 38) x BD = y x – 38 x x = 3(x – 38) x = 3 x – 114 = 2 x tg 60 o = = 57 = x (x – 38) y x – 38 =y 3

TRIGONOMETRIA SENO COSSENO TANGENTE E DEMAIS RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 4

SENO E COSSENO E TANGENTE SENO TANGENTE COSSENO +1 + _ _ – 1 _ + + +1 _ + + _ – 1 RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS sen 2 x + cos 2 x = 1 5

Sendo sen = a) cos x e b) tg x , calcule: d) sec x sen 2 x + cos 2 x = 1 e) cossec x c) cotg x SENO + + _ _ COSSENO _ + TANGENTE _ + + _ 6

Determine a soma dos números associados às proposições VERDADEIRAS: 01. F A medida em radianos de um arco de 225º é 180 o 225 o x 225 o = x. 180 o 02. V A equação sen x = 2 m – 5 admite solução para 2 m 3 – 1 2 m – 5 1 – 1 + 5 2 m 1 + 5 4 2 m 6 2 m 3 7

04. F Se sen x > 0, então cossec x < 0 sen 30 o = 1/2 cossec 30 o = 2 sen 210 o = - 1/2 cossec 210 o = - 2 08. V Se tg 20º = a, o valor de tg 160 o = – tg 20 o = – a tg 200 o = tg 20 o = a tg 340 o = – tg 20 o = – a 160 o 180 o – 2 200 o F P F 360 o 340 o _ + + _ 8

16. V Para todo x 1 o quadrante, a expressão (sec x – tg x)(sec x + tg x) – sen 2 x é igual a cos 2 x (sec x – tg x)(sec x + tg x) – sen 2 x 1 – sen 2 x cos 2 x sen 2 x + cos 2 x = 1 sen 2 x = 1 – cos 2 x cos 2 x = 1 – sen 2 x 9

32. V A solução da equação 2 sen 2 x + 3 sen x = 2 para 0 x 2 é x= ou x = 2 sen 2 x + 3 sen x – 2 = 0 = b 2 – 4 ac = 32 – 4. 2. (-2) = 25 150 o 30 o + + 10

( UFSC ) Sabendo que cossec x = 5/4 e x é do primeiro quadrante, então o valor da expressão 9. (sec 2 x + tg 2 x) é: cossec x = sen 2 x + cos 2 x = 1 9. (sec 2 x + tg 2 x) 41 11

TRIGONOMETRIA OPERAÇÃO COM ARCOS 12

Adição e Subtração de Arcos sen (a b) = sen a. cos b sen b. cos a cos (a b) = cos a sen a. sen b sen (a + b) = sen a. cos b + sen b. cos a sen (30º + 45º) = sen 30º. cos 45º + sen 45º. cos 30º sen 75º = cos (a – b) = cos a. cos b + sen a. sen b cos (45º - 30º) = cos 45º. cos 30º + sen 45º. sen 30º cos 15º = 13

sen (a b) = sen a. cos b sen b. cos a cos (a b) = cos a sen a. sen b O valor de cos 10 o cos 35 o – sen 10 o. sen 35º, é: cos (a + b) = cos a. cos b - sen a. sen b cos (10º + 35 o) = cos 10 o. cos 35 o – sen 10 o. sen 35º cos 45 o = cos 10 o. cos 35 o – sen 10 o. sen 35º 14

sen (a b) = sen a. cos b sen b. cos a cos (a b) = cos a sen a. sen b sen (x + x) = sen x. cos x + sen x. cos x cos (x + x) = cos x – sen x Seno e Cosseno do arco duplo sen (2 x) = 2 sen x. cos x cos (2 x) = cos 2 x - sen 2 x 15

Sendo cos x = Cálculo do sen x sen 2 x + cos 2 x = 1 e , calcule sen 2 x e cos 2 x: sen (2 x) = 2 sen x. cos x sen (2 x) = cos 2 x - sen 2 x cos (2 x) = 16

TRIGONOMETRIA FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS GRÁFICOS 17

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS FUNÇÃO SENO y = sen x x 0 o 90 o 180 o 270 o 360 o DOMÍNIO: REAIS IMAGEM: [-1, 1] x CRESCENTE: sen x 0 +1 0 -1 0 1º. e 4º. q DECRESCENTE: 2º. e 3º. q PERÍODO: 2 18

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS FUNÇÃO COSSENO y = cos x x 0 o 90 o 180 o 270 o 360 o DOMÍNIO: REAIS IMAGEM: [-1, 1] x CRESCENTE: cos x +1 0 -1 0 +1 3º. e 4º. q DECRESCENTE: 1º. e 2º. q PERÍODO: 2 19

FUNÇÕES DA FORMA: f(x) = a + b sen m x f(x) = a + b cos m x Esboçar o gráfico e dê o período, o domínio e o conjunto imagem de: a) y = 2 + sen x x 0 o 90 o 180 o 270 o 360 o x sen x 0 + 1 3 2 + sen x 2 0 -1 0 2 1 2 IMAGEM: [1, 3] PERÍODO: 2 20

FUNÇÕES DA FORMA: f(x) = a + b sen m x f(x) = a + b cos m x Esboçar o gráfico e dê o período, o domínio e o conjunto imagem de: b) y = 3 sen x x 0 o 90 o 180 o 270 o 360 o x sen x 0 + 1 3 sen x 0 3 0 -1 0 0 -3 0 IMAGEM: [-3, 3] PERÍODO: 2 21

FUNÇÕES DA FORMA: CONCLUSÕES: f(x) = a + b sen m x f(x) = a + b cos m x a desloca o gráfico b estica o gráfico Determinar a imagem da função f(x) = 2 + 3 sen x Determinar a imagem da função f(x) = 5 + 2 cos x f(x) = 2 + 3 sen x f(x) = 2 + 3 (-1) = - 1 f(x) = 5 + 2 cos x f(x) = 5 + 2 (-1) = 3 f(x) = 2 + 3 (1) = 5 f(x) = 5 + 2 (1) = 7 IMAGEM: [-1, 5] IMAGEM: [3, 7] IMAGEM DA FUNÇÃO SENO E COSSENO: [a – b; a + b] 22

FUNÇÕES DA FORMA: f(x) = a + b sen m x f(x) = a + b cos m x PERÍODO DAS FUNÇÕES SENO E COSSENO Determinar o período da função f(x) = sen 2 x Determinar o período da função f(x) = 3 sen x/2 23

Determine o período da função f(x) = cos 4 x – sen 4 x é: Um pouquinho de matemática básica (a + b)(a – b) = a 2 – b 2 (x + 3)(x – 3) = x 2 – 9 fórmulas do arco duplo sen 2 x = 2 sen x. cos x cos 2 x = cos 2 x – sen 2 x (x + 5)(x – 5) = x 2 – 25 (cos 2 x + sen 2 x )(cos 2 x – sen 2 x) = cos 4 x – sen 4 x (1)(cos 2 x) = cos 4 x – sen 4 x cos 2 x = cos 4 x – sen 4 x f(x) = cos 2 x 24

FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS DOMÍNIO: {x |x FUNÇÃO TANGENTE y = tg x x 0 o 90 o 180 o 270 o 360 o x tg x + k } IMAGEM: REAIS CRESCENTE: SEMPRE PERÍODO: O domínio da função f(x) = tg 2 x é: 0 não existe 0 25