TRIGONOMETRI KOMPETENSI SK Menerapkan perbandingan fungsi persamaan dan

TRIGONOMETRI

KOMPETENSI SK Menerapkan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri dalam pemecahan masalah KD Menentukan nilai perbandingan trigonometri suatu sudut. Mengkonversi koordinat kartesius dan koordinat kutub Menerapkan aturan sinus dan kosinus Menentukan luas suatu segitiga Menerapkan rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut Menyelesaikan persamaan trigonometri

TOPIK PEMBAHASAN • Apa itu trigonometri • Sudut dan satuannya • Segitiga siku-siku dan fungsi trigonometri • Fungsi trigonometri sudut istimewa • Koordinat dan fungsi trigonometri • Fungsi trigonometri di berbagai kuadran • Kuadran dan relasi I • Komplemen dan relasi II • Sudut negatif dan relasi III • Sudut putaran dan relasi IV • Lingkaran dan fungsi trigonometri • Grafik fungsi trigonometri • Tabel fungsi trigonometri dan kalkulator • Koordinat kartesian dan koordinat kutub • Aturan sinus dan aturan kosinus • Rumus luas segitiga • Jumlah dan hasilkali trigonometri • Identitas trigonometri • Persamaan trigonometri sederhana

Apa itu trigonometri Hipparchus • • • at-Tusi Regiomontanus Trigonometri mula-mula dipelajari untuk kegiatan astronomi. Dimulai di Babilonia, Yunani, Mesir, India, Arab, lalu ke Eropa. Dalam bentuk awal, trigonometri mempelajari tentang penentuan “tali busur” (chord). Sering dikatakan Hipparchus (180 -125 SM) adalah Bapak trigonometri, karena ia orang yang pertama kali menulis tabel tali busur yang dikenal. Tabel setengah tali-busur muncul di India, antara lain oleh Aryabhata I sekitar tahun 500. Di tangan orang Arab, studi trigonometri mulai jelas. Nashirudin at-Tusi (12011274) dikenal sebagai orang pertama yang menulis studi trigonometri lepas dari astronomi dalam buku Treatise on the quadrilateral. Sebagai alternatif, ia juga dikenal sebagai Bapak trigonometri. Regiomontanus atau John Muller (1436 -1476) menulis De triangulis omnimodis yang dipercaya sebagai buku lengkap pertama yang membahas trigonometri bidang.

Apa itu trigonometri Hipparchus • • • at-Tusi Regiomontanus Mungkin yang pertama kali menulis tentang “perbandingan trigonometri” dari sebuah segitiga siku-siku pada lingkaran adalah Rheticus (murid Copernicus) dalam buku Opus palatinum de triangulis (1596) Kata “trigonometry” mula-mula muncul dalam bukunya Pitiscus berjudul Trigonometria yang dipublikasi tahun 1595. Kata “trigonometri” gabungan dari kata “tri (tiga), “gonos” (bidang/sisi), dan “metros” (ukuran/ilmu). Secara ethimologi, trigonometri adalah ilmu tentang segitiga (khususnya segitiga siku-siku). Trigonometri sendiri adalah cabang besar matematika yang mempelajari hubungan sudut dan sisi segitiga, khususnya segitiga siku-siku, dan sifat-sifat dari hubungan itu. Hubungan itu yang dikenal dengan nama fungsi trigonometri. Beberapa cabang trigonometri: trigonometri bidang datar, trigonometri bola, analisis trigonometri, trigonometri analitik. Trigonometri muncul dalam berbagai cabang ilmu antara lain: teori musik, optik, elektronik, statistik, biologi, kimia, meteorologi, komputer grafik, geodesi, arsitektur, bahkan ekonomi.

Sudut dan satuannya • • Sudut adalah suatu “bukaan” (unsur geometri) yang dibentuk oleh dua buah sinar dari sebuah titik atau dua buah garis yang bertemu di sebuah titik. (definisi statis) Sudut adalah suatu daerah yang dibentuk dari perputaran sebuah sinar terhadap titik asalnya atau perputaran sebuah garis terhadap titik ujungnya. (definisi dinamis) Pada konsep “bukaan” dikenal sudut lancip dan sudut tumpul, juga sudut reflektif. Pada konsep “putaran” dikenal “sudut positif” dan “sudut negatif”. Satuan sudut antara lain: derajat, radian, gradian (gon), mil. 1 putaran penuh = 360 o = 2 radian = 400 grad = 6400 mil (NATO). Satuan derajat menggunakan sistem seksagesimal (warisan Babilonia dan diinspirasi dari 1 tahun 360 hari). Untuk satuan yang lebih kecil berturut-turut digunakan istilah “menit” ( ) dan detik ( ). Satuan ini sering digunakan sehari-hari. Satuan radian, murni menggunakan sistem desimal dan merupakan bilangan biasa (bebas dari satuan fisis). Mengapa satuan radian biasanya tidak dituliskan? Perhatikan bahwa bila kita membagi panjang busur di depan sudut dengan jari-jari maka tidak ada satuan fisis yang terjadi (tidak berdimensi fisik, dimensionless). Dengan alasan ini dan penulisan dalam desimal, maka “satuan” radian sering digunakan dalam studi ilmiah.

Sudut dan satuannya • • Bagaimana definisi satuan radian? Kita tahu bahwa panjang kelilingkaran dengan jari-jari r adalah 2 r. Bila dipilih jari-jari 1 satuan, maka kelilingkaran adalah 2. Bilangan inilah yang selanjutnya dipilih sebagai satuan radian untuk 1 putaran penuh. Dari pemilihan ini, diperoleh antara lain bahwa 1 radian adalah besar sudut pusat lingkaran dengan panjang busur sama dengan jari-jari lingkaran. Jadi, seharusnya jelas perbedaan antara = 180 o dan = 3, 1415926… Satuan gradian (grade , gon) menetapkan besar sudut siku-siku = 100 grad = 100 g. Mula-mula digunakan di Perancis. Sekarang, secara internasional ditetapkan dengan nama “gon”. Pemakaiannya terbatas di beberapa negara dan khususnya untuk kegiatan pengukuran tanah. Satuan mil dipergunakan dalam kemiliteran. NATO menggunakan 1 mil = 1/6400 putaran penuh, Rusia menggunakan 1 mil = 1/6000 putaran penuh, dan pada beberapa alat teleskopik 1 mil = 1/6283 putaran penuh. Bandingkan dengan 1 putaran penuh = 2000 miliradian 6283, 185 milirad.

Segitiga siku-siku dan fungsi trig. • • • Perbandingan trigonometri berkaitan dengan perbandingan (panjang) sisi-sisi segitiga siku-siku. Perbandingan-perbandingan inilah yang kemudian disebut dengan perbandingan trigonometri. Dari sini, istilah fungsi trigonometri sudut pada segitiga siku-siku didefinisikan sebagai perbandingan-perbandingan tersebut. Dikenal ada 6 fungsi trigonometri terkait dengan 6 permutasi 2 sisi dari 3 sisi. Keenam fungsi trigonometri itu adalah sinus, kosinus, tangen, sekan, kosekan, dan kotangen. Berturut-turut disingkat: sin, cos, tan, sec, csc atau cosec, dan cot. Funsgi-fungsi yang berkebalikan adalah sin & cosec, cos & sec, serta tan & cot. (dengan sifat resiprokal ini, sec, cosec, & cot dapat pula didefinisikan) Dari definisi juga jelas bahwa Dengan menggunakan rumus Pythagoras, diperoleh identitas: sin 2 + cos 2 = 1 tan 2 + 1 = sec 2 1 + cot 2 = cosec 2

Fungsi trigonometri sudut istimewa • • • Biasanya yang dimaksud sudut-sudut istimewa adalah 0 o, 30 o, 45 o, 60 o, dan 90 o. Untuk sementara kita tidak dapat berbicara mengenai fungsi trigonometri sudut 0 o dan 90 o. Mengapa? Karena untuk sudut-sudut itu, tidak ada segitiga siku-siku yang memenuhi. Dengan lain kata, kita berhadapan dengan segitiga siku-siku asimtotik. Kita perlu memperluas definisi fungsi trigonometri! Untuk sudut 30 o dan 60 o, kita dapat melihat pada segitiga samasisi. Untuk sudut 45 o kita dapat menggunakan segitiga siku-siku samakaki. Apa itu sesungguhnya sudut istimewa? Tidak jelas. Jika yang dimaksud sudut dari bangun datar istimewa di mana nilai fungsi trigonometri dapat mudah dinyatakan sebagai perbandingan, maka 0 o dan 90 o tidak termasuk sudut istimewa. Lagi pula, dari segilima beraturan kita dapat menurunkan sudut “istimewa” yang lain: 18 o dan 72 o. Jika yang dimaksud sudut di mana nilai fungsi trigonometrinya dapat dinyatakan dengan tepat dengan menggunakan tanda akar, maka 15 o seharusnya merupakan sudut istimewa. Lebih detil, semua sudut kelipatan 3 o juga sudut istimewa. (tahun 2001, penulis telah menyusun daftar fungsi trig. sudut kelipatan 3 o. Sebagai contoh, )

Koordinat dan fungsi trigonometri • • Definisi fungsi trigonometri dari perbandingan pada segitiga siku-siku mengandung beberapa kelemahan: (1) tidak dapat atau sulit mendefinisikan fungsi trig. pada sudut 0 o dan 90 o, (2) untuk sudut yang lebih besar dari 90 o tidak dapat didefinisikan nilai fungsi trig. nya. Ada beberapa cara memperluas definisi fungsi trig. , salah satunya menggunakan koordinat kartesian dengan pusat di titik sumbu koordinat. Pada cara ini, sebuah sudut ditentukan oleh sumbu-x positif dan ruas garis dari titik sumbu ke sebuah titik pada bidang koordinat. Tentu absis dan ordinat dapat bernilai negatif, tetapi panjang garis dari titik pusat ke sebuah titik pada bidang koordinat tetaplah positif. Selanjutnya fungsi-fungsi trigonometri didefinisikan menggunakan perbandingan dengan mengganti sisi di depan sudut dan sisi penyiku berturut-turut dengan ordinat dan absis. Berbagai variasi tanda fungsi-fungsi trgonometri dapat dibedakan ke dalam 4 kuadran bidang koordinat.

Fungsi trig. di berbagai kuadran • Titik pada kuadran I (0 o 90 o) (mirip pada segitiga siku-siku) c • Titik pada kuadran II sinus positif, yang lain negatif. • Titik pada kuadran I (180 o 270 o) tangen positif, yang lain negatif. • (90 o c 180 o) Titik pada kuadran I kosinus positif, yang lain negatif. (270 o P(a, b) c 360 o) P(a, b) • Mnemonik tanda positif fungsi trigonometri: “se-sin-ta-kos” atau cukup “semua sintaks” • Bagaimana dengan sudut 0 o, 90 o, 180 o, 270 o dan 360 o ? c P(a, b)

Kuadran dan relasi I • • • Berdasarkan perluasan definisi fungsi trigonometri di atas, maka mudah diperoleh beberapa hubungan sudut-sudut pada berbagai kuadran dengan sudut di kuadran I. Bila 90 o 180 o (Pada kuadran II) Misal = 180 o – maka adalah sudut lancip. Perhatikan: + = 180 o , 2 sudut jumlahnya 180 o disebut saling bersuplemen. Jadi, diperoleh dari gambar: sin = sin (180 o – ) = sin cos = –cos (180 o – ) = –cos tan = –tan (180 o – ) = –tan Bila 180 o 270 o (Pada kuadran III) Misal = – 180 o maka adalah sudut lancip. Jadi, diperoleh dari gambar: sin = –sin ( – 180 o) = –sin cos = –cos ( – 180 o) = –cos tan = tan ( – 180 o) = tan

Kuadran dan relasi I • Bila 270 o 360 o (Pada kuadran IV) Misal = 360 o – maka adalah sudut lancip. Jadi, diperoleh dari gambar: sin = –sin (360 o – ) = –sin cos = cos (360 o – ) = cos tan = –tan (360 o – ) = –tan

Komplemen dan relasi II • • • Terdapat relasi khusus yang disebut komplemen. Dua sudut berkomplemen bila jumlahnya 90 o. Perhatikan gambar. Pada dua sudut berkomplemen, status sisi x dan y saling bertukar tempat. Dengan sifat ini mudah diperoleh bahwa: Untuk pada kuadran I: sin = cos (90 o – ) , cos = sin (90 o – ) tan = cot (90 o – ) , cot = tan (90 o – ) sec = cosec (90 o – ) , cosec = sec (90 o – ) catatan: di sinilah arti penamaan “co” yang berarti complement. Sifat komplemen ini dapat diperluas pada sudut di kuadran II, III, dan IV. Bila 90 o 180 o (Pada kuadran II) maka sin = cos ( – 90 o) , cos = –sin ( – 90 o) tan = –cot ( – 90 o) , cot = –tan ( – 90 o) sec = –cosec ( – 90 o) , cosec = sec ( – 90 o)

Komplemen dan relasi II • • Bila 180 o 270 o (Pada kuadran III) maka sin = –cos (270 o – ) , cos = –sin (270 o – ) tan = cot (270 o – ) , cot = tan (270 o – ) sec = –cosec (270 o – ) , cosec = –sec (270 o – ) Bila 270 o 360 o (Pada kuadran IV) maka sin = –cos ( – 270 o) , cos = sin ( – 270 o) tan = –cot ( – 270 o) , cot = –tan ( – 270 o) sec = cosec ( – 270 o) , cosec = –sec ( – 270 o)

Sudut negatif dan relasi III • • • Kita mendefinisikan sudut negatif adalah sudut dalam arah yang searah dengan jarum jam. Perhatikan gambar! 360 o - – Jika 0 o 360 o maka diperoleh bahwa posisi titik P(a, b) sama baik ditentukan oleh (– ) maupun (360 o – ). Jadi, dapat disimpulkan bahwa nilai fungsi trigonometri sudut negatif sama dengan jumlah sudut itu dan 360 o. Oleh karena itu, mudah ditunjukkan bahwa: sin (– ) = –sin cos (– ) = cos tan (– ) = –tan cot (– ) = –cot sec (– ) = sec cosec (– ) = –cosec perhatikan bahwa sudut besarnya sebarang (tidak dibatasi yang lancip)

Sudut putaran dan relasi IV • • • Kita sudah memperkenalkan sudut positif sebagai putaran berlawanan jarum jam dan sudut negatif sebagai sudut putaran dengan arah jarum jam. Bagaimana bila terus diputar melebihi satu putaran penuh? Misalnya sudut 500 o? Perhatikan seberapapun diputar maka posisi titik P(a, b) akan dapat ditentukan dalam besar sudut kurang dari 360 o. Perhatikan gambar! Mudah ditunjukkan bahwa: sin ( + n. 360 o) = sin perhatikan bahwa n adalah sebarang bilangan bulat, dan fungsi sinus dapat diganti dengan fungsi trgonometri yang mana saja.

Lingkaran dan fungsi trigonometri • • Pada penggunaan koordinat untuk mendefinisikan fungsi trigonometri, oleh karena perbandingan tetap di mana pun titik pada koordinat selama sudut yang terbentuk tetap, maka kita dapat mengasumsikan titik-titik pada bidang koordinat terletak pada sebuah lingkaran. Lebih khusus lagi, bila kita memilih lingkaran dengan jari-jari 1 satuan. Dengan sifat-sifat penggunaan lingkaran itu, fungsi-fungsi trigonometri dikenal pula dengan istilah fungsi sirkular. Berikut diagram hubungan keenam fungsi trigonometri pada lingkaran satuan.

Grafik fungsi trigonometri • • • Sekarang kita dapat menggambar grafik fungsi trigonometri pada sumbu koordinat. Cara yang dapat dilakukan dengan mencacah titik demi titik. Tetapi ada cara yang lebih mudah: menggunakan representasi fungsi trigonometri pada lingkaran satuan. Contoh.

Grafik fungsi trigonometri • Berikut grafik sinus dan komplemennya (kosekan): Grafik y = sin x Grafik y = cosec x

Grafik fungsi trigonometri • Berikut grafik kosinus dan komplemennya (sekan): Grafik y = cos x Grafik y = sec x

Grafik fungsi trigonometri • Berikut grafik tangen dan komplemennya (kotangen): Grafik y = tan x Grafik y = cot x

Grafik fungsi trigonometri • • • Terlihat pada grafik bahwa masing-masing fungsi trigonometri memiliki bagian kurva yang berulang secara periodik. Selanjutnya panjang interval sudut di mana bagian kurva berulang disebut periode. Untuk grafik keenam fungsi trigonometri dasar tersebut 180 o (tan, cot) atau 360 o (sin, cosec, cos, sec) Jarak terjauh titik pada kurva trigonometri terhadap sumbu x disebut dengan amplitudo. Untuk grafik keenam fungsi trigonometri dasar tersebut 1 (sin, cos) atau tak-hingga (tan, cot, sec, cosec)

Tabel fungsi trigonometri & kalkulator • • Sejak pertama konsep trigonometri (primitif) dikenal, orang telah menulis nilai-nilainya dalam bentuk tabel. Tabel tali busur yang pertama dari Hipparchus (k. 180 -k. 125 SM) sekitar 140 SM. al-Battani (k. 858 -929) memberikan fungsi kotangens dan daftarnya untuk setiap derajat sudut. Abu al-Wafa` yang pertama kali menggunakan tangens dan menyusun tabel tangens & sinus dengan interval 15 menit. yang akurat hingga 8 tempat desimal. Ulugh Beg (13941449), bersama al-Kasyi dan Qadi Zada al-Rumi menyusun tabel berisi daftar sinus dan tangens untuk setiap 1` (satu menit) dan teliti hingga 17 angka desimal. Rheticus (1514 -1574) menerbitkan tabel sinus dan kosinus tahun 1596 dengan interval 10 detik. Dengan memperhatikan hasil-hasil pada sudut-sudut berelasi, maka tabel semua fungsi trigonometri sesungguhnya cukup dibuat dari 0 o hingga 45 o. Mengapa? Selain tabel, kini orang telah banyak berpindah pada penggunaan kalkulator (dan komputer). Pada kalkulator ilmiah (scientific cal. ) minimal telah disediakan tombol untuk sin, cos, & tan, dan sudut derajat dan radian. Ulugh Beg

Koordinat kartesian & koordinat kutub • • Kedudukan titik (atau umumnya gambar geometri) pada bidang dapat ditentukan dengan menggunakan beberapa cara: kordinat kartesian, atau koordinat kutub (polar coordinate). Fungsi trigonometri berguna dalam melakukan konversi dari koordinat kartesian ke koordinat kutub, dan sebaliknya. Perhatikan gambar di bawah. Titip P dapat ditetapkan kedudukannya dengan koordinat (a, b) atau (r, ). Koordinat (a, b) disebut koordinat kartesian, dan koordinat (r, ) disebut koordinat kutub. Dari gambar, jelas dapat diturunkan hubungan sebagai berikut: cos = atau a = r cos sin = atau b = r sin dengan a 2 + b 2 = r 2 (rumus Pythagoras)

Aturan sinus dan aturan kosinus • • Pada sebarang segitiga dikenal banyak rumus atau aturan yang berlaku, dua di antaranya yang penting adalah Aturan Sinus, Aturan Kosinus. Aturan Sinus berbunyi: Pada sebarang segitiga ABC dengan panjang sisi yang bersesuaian (di hadapan) sudut A dan B berturut-turut a dan b maka berlaku: Bukti • Perhatikan bahwa kita dapat menulis lengkap aturan di atas dengan menggunakan ketiga pasang sudut dan sisi yang bersesuaian yang mungkin, lalu menggabungkan hasil-hasilnya. Aturan Sinus dapat pula digabungkan dengan sifat lingkaran luar segitiga, dan diperoleh hubungan: Bukti dengan a mewakili sebarang sisi segitiga dan A sudut yang bersesuaian.

Aturan sinus dan aturan kosinus • Aturan Kosinus berbunyi: Pada sebarang segitiga ABC dengan panjang sisi yang bersesuaian (di hadapan) sudut A, B, dan C berturut-turut a, b, dan c maka berlaku: a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc cos A atau Bukti Perhatikan bahwa kita cukup menulis satu bentuk di atas, karena permutasi apapun dari a, b, dan c rumus serupa tetap berlaku. (mengapa? )

Rumus luas segitiga • • • Kita sebelumnya telah mengenal rumus segitiga yang ditentukan oleh sebarang sisi (sebagai alas) dan tinggi yang bersesuaian. Bagaimana bila luas segitiga ditentukan oleh besar sudut segitiga? Dalam hal ini fungsi trigonometri dapat membantu. Untuk sebarang segitiga ABC dengan a dan b panjang sisi di hadapan berturut-turut sudut A dan B, maka berlaku: Luas segitiga ABC = ½ absin C Perhatikan bahwa pemilihan sisi a dan b dapat diganti sebarang pasangan sisi lain segitiga (sudut C menyesuaikan). Rumus di atas berguna bila diketahui sebarang 2 sisi dan sudut yang diapit. Nah, bila diketahui 2 sudut dan sisi yang bersekutu, kita memperoleh rumus sebagai berikut: Luas segitiga ABC = Bagaimana bila yang diketahui panjang ketiga sisi segitiga? Jawab

Jumlah & hasilkali trigonometri • Rumus jumlah & selisih sudut: Bukti • Rumus hasil kali fungsi trig. • Rumus jumlah & selisih fungsi trig. Bukti

Identitas trigonometri • • • Istilah identitas dalam matematika memiliki makna yang beragam. Dalam aljabar, identitas adalah elemen yang tidak mempengaruhi elemen lain terhadap suatu operasi. Secara umum, identitas matematika adalah kalimat terbuka (memuat variabel) yang selalu bernilai benar dalam domain tertentu. Identitas trigonometri adalah identitas yang memuat fungsi trigonometri. Beberapa identitas penting yang dapat diturunkan sebagai berikut: Identitas dari rumus Pythagoras: Identitas aturan sinus: Identitas aturan kosinus: Identitas aturan tangen: atau

Identitas trigonometri Identitas jumlah dan selisih sudut. Identitas jumlah dan selisih fungsi trig. Identitas hasil kali fungsi trig.

Identitas trigonometri • Identitas sudut rangkap. • Identitas setengah sudut

Identitas trigonometri • Identitas pangkat fungsi trig.

Identitas trigonometri • Identitas rekursif tangen & kotangen sudut rangkap. • Identitas tangen untuk rerata sudut. • Dan lain-lain.

Persamaan trigonometri sederhana • • • Persamaan trigonometri bisa berbagai bentuk dari yang sederhana hingga yang kompleks. Persamaan trigonometri sederhana, berbentuk: Bentuk sin x = c , 0 c 1 Tentukan sudut lancip sedemikian hingga sin = c. Maka penyelesaiannya: x = + k. 360 o atau x = (180 – ) + k. 360 o. Bentuk cos x = c , 0 c 1 Tentukan sudut lancip sedemikian hingga cos = c. Maka penyelesaiannya: x = + k. 360 o atau x = (360 – ) + k. 360 o. Bentuk tan x = c , 0 c 1 Tentukan sudut lancip sedemikian hingga tan = c. Maka penyelesaiannya: x = + k. 180 o.

BUKTI 1 ATURAN SINUS KEMBALI A • Untuk sudut C (dan B) lancip. Pada gambar 1, Diperoleh c. sin B = b. sin C atau • Untuk sudut C (atau B) tumpul Pada gambar 2, C B D A padahal, sin (180 o – C) = sin C Selanjutnya, mudah ditunjukkan D C B

BUKTI 2 ATURAN SINUS KEMBALI B A = A (karena menghadap busur BC) 2 R = a R c C sin A = 2 R = O b Dengan cara yang serupa, kita dapat sampai pada R A A 2 R = maka: dan 2 R = (Aturan Sinus)

BUKTI ATURAN KOSINUS Pada gambar 1 maupun 2, lalu, c 2 = AD 2 + BD 2 KEMBALI A atau AD = b. sin C selanjutnya, untuk sudut C (dan B) lancip, maka BD = BC – CD = a – b. cos C C D B A untuk sudut C (atau B) tumpul, maka BD = BC + CD = a + b. cos (180 o – C) = a – b. cos C (jadi, sama saja untuk BD). Dengan demikian, c 2 = (b. sin C)2 + (a – b. cos C)2 = b 2. sin 2 C + a 2 – 2 ab. cos C + b 2. cos 2 C = a 2 + b 2 – 2 ab. cos C (menggunakan sifat sin 2 C + cos 2 C = 1) D C B

RUMUS HERON KEMBALI Jika segitiga ABC dengan panjang sisi a, b, dan c maka rumus luas segitiga sebagai berikut: L = ½ bc sin A = = Subtitusi cos A menggunakan aturan kosinus, yaitu: hingga diperoleh: L= = Dengan sedikit manipulasi aljabar dan menulis ½ (a + b + c) = s maka diperoleh: L=

BUKTI RUMUS JUMLAH & SELISIH SUDUT KEMBALI Perhatikan gambar. y P (cos( + ), sin ( + )) y P (cos , sin ) 1 1 O Q (1, 0) 1 x O x 1 PQ 2 = [cos( + ) – 1]2 + [sin ( + ) – 0]2 Dapat disederhanakan menjadi PQ 2 = 2 – 2 cos ( + ) …(i) Juga, P Q 2 = [cos – cos ]2 + [sin – sin ]2 Dapat disederhanakan menjadi P Q 2 = 2 – 2 cos + 2 sin …(ii) Dari (i) dan (ii) terbukti bahwa cos ( + ) = cos – sin Q (cos , –sin ) Bagaimana untuk salah satu sudut adalah sudut tumpul, atau kedua-duanya tumpul?

BUKTI RUMUS JUMLAH & SELISIH SUDUT KEMBALI Perhatikan gambar. y y 1 O Q (1, 0) x O x 1 1 Q (cos , –sin ) P (cos , sin ) P (cos( + ), sin ( + )) Jika salah satu sudut adalah sudut tumpul ataupun kedua-duanya tumpul, maka koordinat titik P , P dan Q tidak akan berubah. (titik Q dibuat tetap pada titik (1, 0))

BUKTI RUMUS JUMLAH & SELISIH SUDUT KEMBALI Dari sifat cos ( + ) = cos – sin … (1) dengan mengganti dengan – diperoleh cos ( – ) = cos + sin …(2) Dengan sifat sin ( + ) = cos (90 o – ( + )) = cos ((90 o – )) dan sifat (2) diperoleh sin ( + ) = sin cos + cos sin …(3) Dari sifat (3) dengan mengganti dengan – diperoleh sin ( – ) = sin cos – cos sin …(4) Dari sifat tan ( + ) = sin ( + ) /cos ( + ), sifat (3), sifat (1) lalu membagi pembilang & penyebut dengan cos , diperoleh tan ( + ) = (tan + tan )/(1 – tan ) … (5) Dari sifat (5) dengan mengganti dengan – diperoleh tan ( – ) = (tan – tan )/(1 + tan ) … (6)

BUKTI RUMUS HASIL KALI FUNGSI TRIG Diketahui cos ( + ) = cos – sin … (1) cos ( – ) = cos + sin …(2) sin ( + ) = sin cos + cos sin …(3) sin ( – ) = sin cos – cos sin …(4) Jumlahkan (2) & (3) lalu bagi 2, maka diperoleh: sin cos = ½ [sin ( + ) + sin ( – )] … (7) Jumlahkan (1) & (2) lalu bagi 2, maka diperoleh: cos = ½ [cos ( + ) + cos ( – )] … (8) Ambil selisih (1) & (2) lalu dibagi 2, maka diperoleh: sin = ½ [cos ( + ) – cos ( – )] … (9) KEMBALI

BUKTI RUMUS JUMLAH & SELISIH FUNGSI TRIG KEMBALI Diketahui sin cos = ½ [sin ( + ) + sin ( – )] … (7) cos = ½ [cos ( + ) + cos ( – )] … (8) sin = ½ [cos ( + ) – cos ( – )] … (9) Dari (7) dengan memisal A = + dan B = – diperoleh: sin A + sin B = 2 sin ½ (A + B) cos ½ (A – B) … (10) Dari (8) dengan memisal A = + dan B = – diperoleh: cos A + cos B = 2 cos ½ (A + B) cos ½ (A – B) … (11) Dari (9) dengan memisal A = + dan B = – diperoleh: cos A – cos B = – 2 sin ½ (A + B) sin ½ (A – B) … (10) Sumardyono, M. Pd.

TERIMA KASIH