TRIGONOMETRA U D 7 Angel Prieto Benito 4

TRIGONOMETRÍA U. D. 7 * @ Angel Prieto Benito 4º ESO E. AC. Matemáticas 4º ESO E. AC. 1

PROBLEMAS CON TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS U. D. 7. 7 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC. 2

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS • • Todo polígono se puede descomponer en triángulos. Si además estos triángulos son rectángulos podemos aplicar el Teorema de Pitágoras para hallar distancias: a 2 = b 2 + c 2. Y además, gracias a la Trigonometría, no será necesario conocer dos lados para hallar el tercero si conocemos algún ángulo interior agudo. Sabemos que: sen C = c / a c = a. sen C cos C = b / a b = a. cos C tag C = c / b c = b. tan C @ Angel Prieto Benito B Hipotenusa B c a A=90º A • • C b C Igualmente tenemos: sen B = b / a b = a. sen B cos B = c / a c = a. cos B tag B = b / c b = c. tag B Matemáticas 4º ESO Opción B 3

Problema 8 • Hallar el área total y el volumen de la figura conociendo los datos señalados. • Resolución • Desplegado queda: 23, 96º 18, 43º a =18 cm @ Angel Prieto Benito 23, 96º 18, 43º 18 cm c b • • • Por Trigonometría: Tag 18, 43º = b /a = b / 18 Luego b = 18. 0, 33323 = 6 cm También: Tag 23, 96º = c /a = c / 18 Luego c = 18. 0, 44439 = 8 cm At = 2. a. b+2. a. c+2. b. c = = 2. 18. 6 + 2. 18. 8 + 2. 6. 8 = 600 cm 2 V = a. b. c = 18. 6. 8 = 864 cm 3 Matemáticas 4º ESO Opción B 4

Problema 9 • • • Hallar el área total y el volumen de la figura conociendo los datos señalados. 125º a=5 cm 125º Resolución Vista frontal: 6 cm 65º 55º 65º @ Angel Prieto Benito 110º 65º 60º 6 cm 50º 65º 55º Matemáticas 4º ESO Opción B 110º 125º l=6 cm 5

Problema 9 • • • • • Resolución 6 cm Vista frontal: Altura de los tres triángulos. 65º 6 cm 60º 6 cm Sen 55º = h / 6 50º De donde h = 6. 0, 819152 = 4, 9149 cm 65º 55º 65º No es un exágono regular. c b Segmento b. Cos 55º = b / 6 h De donde b = 6. 0, 573576 = 3, 4415 cm Segmento c. Tag 65º = h / c De donde c = 4, 9149 / 2, 1445 = 2, 2918 cm Luego c+b = 2, 2918+3, 4415 = 5, 7333 cm Base triángulo superior Base = 2. c = 2. 2, 2918 = 4, 5836 cm Área frontal: A = (Base + base). h = (2· 5, 7333+4, 5836)· 4, 9149 = 78, 89 cm 2 Volumen sin agujero central: V = Af. a = 78, 89· 5 = 394, 45 cm 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B 6

Problema 10 h 52º 230 m @ Angel Prieto Benito • En la pirámide de Keops, de base cuadrada, el lado de la base mide 230 m y el ángulo que forma una cara con la base es de 52º. Calcula: • a) La altura de la pirámide. • b) La altura de una cara. • c) La longitud de una arista. • d) El ángulo que forma la arista con la base del triángulo. • e) El ángulo superior de cada cara. • f) El volumen de la pirámide. Matemáticas 4º ESO Opción B 7

Problema 10 • Resolución h a Ap 52º 230 m @ Angel Prieto Benito • a) La altura de la pirámide. • Por el triángulo rectángulo formado: • Tag 52º = h / (230 / 2) • De donde h = 115 · 1, 28 = 147, 19 m • b) La altura de una cara. • Hipotenusa del triángulo rectángulo formado o apotema de la pirámide: • Cos 52º = (230 / 2) / Ap • De donde Ap = 115 / · 0, 616661= 186, 79 m • c) La longitud de una arista. • Por el teorema de Pitágoras: • a 2 = Ap 2 + (230/2)2 = 186, 792 + 1152 • a 2 = 48115, 86 a = 219, 35 m Matemáticas 4º ESO Opción B 8

Problema 10 • Resolución h a xº D 230 m • d) El ángulo que forma la arista con la base de la pirámide. • Diagonal de la base • d = l. √ 2 al ser un cuadrado • d = 230. 1, 4142 = 325, 27 m • Distancia centro a pie de arista. • D = d/2 = 325, 27 / 2 = 162, 63 m • Tag X = h / D • X = arc tag 147, 19 / 162, 63 = 42, 15º • e) El ángulo superior de cada cara. • As = 90º – 52º = 38º • f) El volumen de la pirámide. • V = Sb. h / 3 = 2302 · 147, 19 / 3 = 2595450, 33 m 3 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B 9