TRIGONOMETRA U D 10 1 BCT Angel Prieto

TRIGONOMETRÍA U. D. 10 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 1

ECUACIONES Y SISTEMAS U. D. 10. 7 * 1º BCT @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 2

ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA • ECUACIÓN TRIGONOMÉTRICA • En una ecuación trigonométrica la incógnita aparece como argumento en una o varias razones trigonométricas. Resolver la ecuación será hallar el argumento. Existen tres tipos de ecuaciones, según su dificultad: Tipo 1: Nos dan una razón trigonométrica y hallamos el argumento. Tipo 2: Nos dan una misma razón trigonométrica con distintos argumentos, las cuales hay que relacionar. Tipo 3: Nos dan dos o más razones trigonométrica con distintos argumentos, en cuyo caso hay que expresar todas en función de una de ellas para resolver la ecuación. • • • SISTEMAS DE ECUACIONES • • En ellos aparecen dos o más ecuaciones con varios argumentos distintos. Su resolución no difiere en nada a los sistemas algebraicos. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 3

• EJEMPLOS TIPO 1 • • • sen α = 1 cos α = - 1 tg α = 1 • EJEMPLOS TIPO 2 • • • 3 cos α = sec α 3 cos α = 1 / cos α cos 2 α = 1/3 cos α = ±√ 3 / 3 α = arcos √ 3 / 3 = 54’ 73º y - 54’ 73º α = arcos (-√ 3 / 3) = 125’ 26º y 234’ 73º • • • tg α = tg 2. α tg α = 2. tg α / (1 – tg 2 α) tg α – tg 3 α = 2. tg α 0 = tg 3 α – tg α 0 = tg α. (tg 2 α – 1) = tg α. (tg α + 1) (tg α – 1) tg α = 0 α = arctg 0 = 0 + k. π rad tg α = 1 α = arctg 1 = π/4 + k. π rad tg α = -1 α = arctg (-1) = 3π/4 + k. π rad • • • 4 sen α = cosec α 4 sen α = 1 / sen α sen 2 α = 1/4 sen α = ± ½ α = arcsen ½ = π/6 + 2 kπ rad y 7π/6 + 2 kπ rad α = arcsen (- ½) = - π/6 +2 kπ rad y 3π/2 + 2 kπ rad @ Angel Prieto Benito α = arcsen 1 = π/2 + 2 kπ α = arcos (-1) = π + 2 kπ α = arctg 1 = π/4 + kπ Matemáticas 1º Bachillerato CT 4

• EJEMPLOS TIPO 3 • • cos α = 2. sen α ½ = sen α / cos α ½ = tg α α = arctg ½ = 26’ 56º + 180º. k • • sen 2 α = cos α + 0, 25 ±√(1 - cos 2 α) = cos α + 0, 25 (1 - cos 2 α) = cos 2 α + 0, 5. cos α + 0, 0625 0 = 2. cos 2 α + 0, 5. cos α – 0’ 9375 Ecuación 2º grado x=cos α = (- 0’ 5 ± √ [ 0, 25 – 4. 2. (– 0’ 9375) ] ) / 4 cos α = (- 0’ 5 ± √ 7’ 75) / 4 cos α = (- 0’ 5 ± 2, 7838) / 4 cos α = 0, 4460 α = arcos 0’ 4460 = ± 63’ 51º + 360º. k cos α = - 0, 8210 α = arcos -0’ 8210 = 145’ 18º y 214’ 82º + 360º. k • • • sen α – 2. cos α = 0 sen α – 2. (±√(1 - sen 2 α)) = 0 sen α = ± 2. √(1 - sen 2 α) Elevando todo al cuadrado sen 2 α = 4. (1 - sen 2 α) sen 2 α = 4 – 4. sen 2 α 5. sen 2 α = 4/5 sen α = ± 2/√ 5 = ± 2. √ 5 / 5 = ± 0’ 4. √ 5 α = arcsen 0’ 4. √ 5 = ± 63’ 43º + 180º. k @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 5

• • EJEMPLO 1: SISTEMA Resolver el sistema: sen x + sen y = 0 cos x – 2. sen y = – √ 2 / 2 • • • • • Por Reducción, sumando la segunda al doble de la primera: 2. sen x + cos x = √ 2 / 2 cos x = (√ 2 / 2) – 2. sen x ±√(1 - sen 2 x) = (√ 2 / 2) – 2. sen x Elevando al cuadrado 1 - sen 2 x = 0, 5 – 2√ 2. sen x + 4. sen 2 x 0 = 5. sen 2 x – 2√ 2. sen x – 0’ 5 Ecuación 2º grado sen x = (2√ 2 ± √ [ 8 – 4. 5. (– 0’ 5) ] ) / 10 sen x = 0, 2. √ 2 ± 0’ 3. √ 2 sen x = 0, 2. √ 2 + 0’ 3. √ 2 = 0’ 5. √ 2 x = arcsen 0’ 5. √ 2 = 45º y 135º sen x = 0, 2. √ 2 – 0’ 3. √ 2 = – 0’ 1. √ 2 x = arcsen (– 0’ 1. √ 2 ) = - 8, 13º y 188’ 13º Para x=45º, en la primera ecuación: sen 45º + sen y = 0 sen y = - sen 45º sen y = - 0’ 7971 y = arcsen (-0’ 7071) = - 45º y 225º Para x=135º, en la primera ecuación: sen 135º + sen y = 0 sen y = - sen 135º sen y = - 0’ 7971 y = arcsen (-0’ 7071) = - 45º y 225º Igual haríamos para x = - 8, 13º y x = 188’ 13º Y comprobamos las 8 posibles soluciones en la 2º ecuación. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 6

• • EJEMPLO 2: SISTEMA Resolver el sistema: cos x + cos y = – 1 cos x – 2. sen y = – 3 • • • • Por Reducción, restando: cos y + 2. sen y = 2 ±√(1 - sen 2 y) + 2 sen y = 2 ±√(1 - sen 2 y) = 2 – 2. sen y 1 - sen 2 y = 4 – 8. sen y + sen 2 y 0 = 2. sen 2 y – 8. sen y + 3 Ecuación 2º grado sen y = (8 ± √ [ 64 – 4. 2. 3] ) / 4 sen y = (8 ± 2√ 10) / 4 sen y = 2 ± 0’ 5. √ 10 sen y = 2 ± 1’ 58 sen y = 3, 58 No hay solución sen y = 0, 42 y = arc sen 0, 42 = 24’ 83º y 155’ 17º + 360. k En la primera ecuación: cos x + cos 24’ 83º = – 1 cos x = – 1 – 0, 9075 = – 1, 9075 No hay. cos x + cos 155’ 17º = – 1 cos x = – 1 + 0, 9075 = – 0, 0925 x = arcos (– 0, 0925) = 95’ 30º y 264’ 70º Comprobamos en la 2º ecuación: cos 95’ 30º - 2. sen 155’ 17º = - 3 - 0, 0925 – 2. 0, 42 = - 3 No se cumple El sistema no tiene solución. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 1º Bachillerato CT 7