TRIGONOMETRA Primera parte Realizado por M Jess Arruego

TRIGONOMETRÍA (Primera parte) Realizado por Mª Jesús Arruego Bagüés

INTRODUCCIÓN Trigonometría significa, etimológicamente, medida de triángulos. En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer cotas, desniveles de terreno, etc. , para lo cual se hace imprescindible medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias. El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el teodolito. Conociendo algunos elementos de un triángulo- algún lado, algún ángulo- , podremos determinar los restantes. Tales de Mileto (640 -550 a. J. C. ) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura 2

• NOCIONES PREVIAS • SISTEMAS DE MEDIDA DE ÁNGULOS. RADIÁN. • RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R. T. ) DE UN ÁNGULO AGUDO. • R. T. DE LOS ÁNGULOS 30º, 45º Y 60º. • RELACIÓN FUNDAMENTAL DE TRIGONOMETRÍA • R. T. DE LOS ÁNGULOS 0º Y 90º • CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA. 3

NOCIONES PREVIAS 1. a. Proporcionalidad de segmentos y semejanza b. TEOREMA DE TALES 2. TEOREMA DE PITÁGORAS

1. a. Proporcionalidad de segmentos y semejanza Las sombras de los dos árboles son proporcionales a las respectivas alturas H h S. árbol pequeño (s) A Sombra del árbol grande (S) H B h A’ S B’ s O Tales de Mileto (640 -550 a. J. C. ) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura 5

1. b. TEOREMA DE TALES r Si varias paralelas determinan segmentos iguales sobre una recta r, determinan también segmentos iguales sobre cualquier otra recta r’ a la que corten E’ D’ C’ B’ E’’ D’’ C’’ A’ B’’ O A C D E r’ A’ B’ B B TEOREMA DE TALES: Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas concurrentes son proporcionales. 6

Medida de ángulos Los ángulos pueden medirse en tres sistemas: Sistema sexagesimal (En la calculadora MODE DEG) Sistema centesimal (En la calculadora MODE GRAD) Radianes (En la calculadora MODE RAD) Ángulo completo Ángulo llanoÁngulo recto. Un grado. Un minuto SEXAGESIMAL 360º 180º 90º 60’ 60” CENTESIMAL 400 g 200 g 100 m 100 s 2 /2 RADIANES 7

Expresa los siguientes ángulos en los tres sistemas de medida S. sexagesimal 60 º 210º 50 g S. centesimal Radianes S. sexagesimal S. centesimal Radianes 60 g 100 g 2π/3 5π/6 140º 240º 350 g 90 g 7π/8 25 g 3 8

Ángulos en los tres sistemas de medida S. sexagesimal S. centesimal 60 º 45º 120º 54º 210º 90º 150º 66 g 66 m 66 s 50 g 133 g 33 m 33 s 60 g 233 g 33 m 33 s 100 g 166 g 66 m 66 s 140º 315º 157º 30’ 81º 240º 22º 30’ 171º 53’ 14” 155 g 55 m 55 s 350 g 175 g 90 g 266 g 66 m 66 s 25 g 190 g 98 m 59 s Radianes S. sexagesimal S. centesimal Radianes 3 9

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R. T. ) B B` Los triángulos ABC, A’B’C y A”B”C son semejantes B” A A` A” porque tienen los ángulos iguales. En consecuencia los lados son proporcionales : C 10

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R. T. ) DE UN ÁNGULO AGUDO c A Cateto opuesto de C B a Cateto adyacente o contiguo a C b Sea ABC un triángulo rectángulo en A. Se definen seis razones trigonométricas C 11

RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO c A Cateto opuesto de C B a Cateto adyacente o contiguo a C b Sea ABC un triángulo rectángulo en A. C 12

VALORES QUE PUEDEN TOMAR LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO AGUDO En todo triángulo rectángulo los catetos son menores que la hipotenusa. B a C A Es decir: 0<c<a 0<b<a En consecuencia: b C 13

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 30º, 45º y 60º 1. R. T. DE 30º y 60º 2. R. T. DE 45º

R. T. DE LOS ÁNGULOS 30º y 60º (1) C Sea ABC un triángulo equilátero Es decir, cada uno de sus tres ángulos mide 60º l l Trazamos una altura CH A En el triángulo CHB, rectángulo en H el ángulo B mide 60º y el ángulo C mide 30º El lado BH mide B H l l/2 C Podemos calcular x en función de l, aplicando el Tª de Pitágoras 30º x l 60º H l/2 B 15

R. T. DE LOS ÁNGULOS 30º y 60º (2) C 30º l 60º H l/2 B Observa que: sen 60º = cos 30º cos 60º = sen 30º tg 60º = cotg 30º cotg 60º = tg 30º sec 60º =cosec 30º Cosec 60º =sec 30º 16

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 45º (1) C D Sea ABCD un cuadrado Es decir, cada uno de sus cuatro ángulos mide 90º l Trazamos la diagonal AC En el triángulo ABC, rectángulo en B, el ángulo A mide 45º y el ángulo C mide A B l 45º C Podemos calcular x en función de l, aplicando el Tª de Pitágoras x 45º l 45º A l B 17

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 45º (2) C 45º l 45º A l B Observa que: sen 45º = cos 45º tg 45º = cotg 45º sec 45º =cosec 45º 18

R. T. DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS C Sea ABC un triángulo rectángulo ABC, rectángulo en A Si el ángulo B mide α grados, a b el ángulo C mide α B c A 19

R. T. DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS C Sea ABC un triángulo rectángulo ABC, rectángulo en A Si el ángulo B mide α radianes, a b el ángulo C mide α B c A 20

RELACIÓN FUNDAMENTAL DE TRIGONOMETRÍA Si en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de Pitágoras, tenemos: Si dividimos la expresión anterior por a 2 Expresándolo de otra forma: C a B b α c A O lo que es lo mismo: Que normalmente expresaremos de la forma: 21

OTRAS RELACIONES FUNDAMENTALES C Si en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de Pitágoras, tenemos: B Si dividimos la expresión anterior por b 2 o por c 2 a b c A α Expresándolo de otra forma: 22

R. T. DE LOS ÁNGULOS 0º Y 90º Observa que al ir aumentando el ángulo hasta 90º el seno va creciendo, hasta llegar a ser 1. Por lo tanto sen 90º = 1 Y A su vez el coseno va disminuyendo hasta valer 0 sen Observa que al ir disminuyendo el ángulo hasta 0º el seno va disminuyendo, hasta llegar a ser 0, mientras que el coseno va aumentando hasta valer 1. Es decir, 1 sen P(x, y) sen 1 sen cos 90º = 0 sen 0º = 0 radio=1 O cos X cos 0º = 1 23

Circunferencia goniométrica 1. R. T. DE ÁNGULO CUALQUIERA 2. VALORES Y SIGNO DEL SENO Y DEL COSENO DE UN ÁNGULO 3. VALORES Y SIGNO DE LA TANGENTE Y DE LA COTANGENTE 4. R. T. DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS 5. R. T. DE ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º 6. R. T. DE ÁNGULOS QUE SUMAN 360º 7. R. T. DE ÁNGULOS OPUESTOS

CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA Trazamos una circunferencia de radio 1 y centro en el origen de un sistema de coordenadas Uno de los lados del ángulo Y deberá coincidir con el semieje positivo de las x, el vértice en el origen de coordenadas y el otro lado donde corresponda a O 1 X A esta circunferencia donde situaremos los ángulos la llamaremos circunferencia goniométrica. 25

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA Y P(x, y) a O 1 Q(x’, y’) r X A partir de ahora trabajaremos con la circunferencia de radio 1 (Circunferencia goniométrica) 26

SENO Y COSENO DE UN ÁNGULO CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO. Y 1 B sen -1 b g a cos O d C cos -1 0 1 sen cos A cos 1 sen El seno y el coseno de cualquier ángulo toma valores mayores o iguales a – 1 y menores o iguales a 1 D X + _ _ + SIGNO DEL SENO 27 SIGNO DEL COSENO -1

TANGENTE Y COTANGENTE DE UN ÁNGULO CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO. cotg Y cotg B A tg b g a 1 d C La tangente y la cotangente de un ángulo puede tomar cualquier valor. D tg O X _ + TANGENTE Y COTANGENTE 28

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 120º Y 1 A A’ En la circunferencia goniométrica dibujamos 120º (quitamos 60º a 180º) Dibujamos el ángulo de 60º y las líneas que representan sus razones trigonométricas. y y 120º -1 60º -x 60º O x 1 X -1 29

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 135º Y 1 En la circunferencia goniométrica dibujamos 135º (quitamos 45º a 180º) A’ A y -1 y 135º 45º -x Dibujamos el ángulo de 45º y las líneas que representan sus razones trigonométricas. 45º O x 1 X -1 30

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 150º Y 1 En la circunferencia goniométrica dibujamos 150º (quitamos 30º a 180º) A’ A y 150º -x y 30º -1 Dibujamos el ángulo de 30º y las líneas que representan sus razones trigonométricas. O x 1 X -1 31

RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS a y 180º- a ay p-a Y 1 En la circunferencia goniométrica dibujamos a y 180º- a A A’ 180º-a y -1 -x y a a O x 1 X -1 32

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 210º En la circunferencia goniométrica dibujamos 210º (añadimos 30º a 180º). Y 1 Dibujamos el ángulo de 30º y las líneas que representan sus razones trigonométricas. A 210º y -1 -y -x 30º O x 1 X A’ -1 33

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 225º En la circunferencia goniométrica dibujamos 225º (añadimos 45º a 180º). Y 1 Dibujamos el ángulo de 45º y las líneas que representan sus razones trigonométricas. 225º -x -1 45º O 1 X -y -1 34

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 240º Y 1 En la circunferencia goniométrica dibujamos 240º (añadimos 60º a 180º). Dibujamos el ángulo de 60º y las líneas que representan sus razones trigonométricas. 240º -1 O 1 X -1 35

RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º a y 180º+ a ay p+a Y 1 En la circunferencia goniométrica dibujamos a y 180º+a A 180º+a y -1 -y -x a a O x 1 X A’ -1 36

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 300º Y 1 En la circunferencia goniométrica dibujamos 300º (quitamos 60º a 360º). 300º -1 O 1 X -1 37

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 315º Y 1 En la circunferencia goniométrica dibujamos 315º (quitamos 45º a 360º). 315º -1 O 1 X -1 38

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 330º (las mismas que las de – 30º) Y 1 En la circunferencia goniométrica dibujamos 330º (quitamos 30º a 360º). -1 O 1 X -1 39

RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS QUE SUMAN 360º a y 360º-a a y 2 p-a Y 1 En la circunferencia goniométrica dibujamos a y 360º- a A 360º-a -1 y O a a x 1 X -y A’ -1 40

RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS OPUESTOS Y 1 ay -a En la circunferencia goniométrica dibujamos a y - a A y -1 O a -a x 1 -y X A’ -1 41

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO MAYOR DE UNA CIRCUNFERENCIA Y 1 Las razones trigonométricas de un ángulo mayor que una circunferencia ( a+360ºk, donde k es un número entero) son las mismas que las del ángulo a 2 p+ A y a -1 O x 1 X -1 42

RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 270º a y 270º+a Y 1 En la circunferencia goniométrica dibujamos a y 270º+ a A 270º+a -1 y y O a -1 a x 1 X -x A’ 43

RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Y 1 a y 90º - a A’ En la circunferencia goniométrica dibujamos a y 90º- a x a 90º-a -1 O y a A y x 1 X -1 44

SENO DE 0º , 90º, 180º, 270º y 360º Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º el seno va creciendo, de 0 a 1. 1 Y sen 0º = 0 sen 90º = 1 Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º el seno va decreciendo, de 1 a 0. sen 180º = 0 -1 O 1 X Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º el seno va decreciendo, de 0 a -1. sen 270º = -1 -1 Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º el seno va creciendo, de -1 a 0. sen 360º = 0 45

COSENO DE 0º , 90º, 180º, 270º y 360º Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º el coseno va decreciendo, de 1 a 0. 1 Y cosen 0º = 1 cosen 90º = 0 Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º el coseno va decreciendo, de 0 a -1. cosen 180º = -1 -1 O -1 1 X Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º el coseno va creciendo, de -1 a 0. cosen 270º = 0 Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º el coseno va creciendo, de 0 a 1. cosen 360º = 1 46

TANGENTE DE 0º , 90º, 180º, 270º y 360º Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º la tangente va decreciendo, de 0 a + ∞. 1 Y tg 0º = 0 tg 90º + ∞. Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º la tangente va creciendo, de - ∞. a 0. tg 90º - ∞ -1 O -1 1 X tg 180º = 0 Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º el tangente va creciendo, de 0 a +∞. . tg 270º + ∞. Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º el coseno va creciendo, de - ∞ a 0. tg 270º - ∞ tg 360º = 0 47

COTANGENTE DE 0º , 90º, 180º, 270º y 360º Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º la cotangente va decreciendo, de + ∞ a 0 cotg 0º + 1 Y ∞ cotg 90º =0 Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º la cotangente va creciendo, de 0 a - ∞ cotg 180º -1 O -1 1 X ∞ Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º la cotangente va decreciendo, de + ∞ a 0 cotg 180º + ∞ cotg 270º = 0 Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º la cotangente va decreciendo, de 0 a-∞ cotg 360º - ∞ 48

VALORES Y SIGNO QUE TOMAN LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO + _ SIGNO DEL SENO Y DE LA COSECANTE _ + SIGNO DEL COSENO Y DE LA SECANTE _ + SIGNO DE LA TANGENTE Y COTANGENTE 49