Triangles semblables 1 er cas Deux triangles sont

Triangles semblables. • • 1 er cas. Deux triangles sont semblables lorsqu’ils ont deux angles respectivement égaux. Corollaire. Deux triangles rectangles sont semblables lorsqu’ils ont un angle aigu égal. 2 e cas. Deux triangles sont semblables lorsqu’ils ont un angle égal compris entre des côtés proportionnels. Corollaire. Deux triangles rectangles sont semblables lorsque les côtés de l’angle droit sont proportionnels. 1

Triangles semblables. • Théorème. Deux triangles qui ont les côtés respectivement parallèles ou respectivement perpendiculaires sont semblables. A C A’ C’ B B’ C’ A B A’ C B’ 2

Polygones homothétiques. • Polygones homothétiques. Si on joint un point O aux sommets du polygone ABCDE et on porte sur les droites OA, OB, … des longueurs OA’, OB’, … telles que OA’/OA = OB’/OB=…=OE/OE’=k, k étant un nombre positif, on obtient un polygone P’ dit homothétique du polygone P. B B’ O P’ C’ P A’ E’ D’ A E C D 3

Polygones semblables. • • Deux polygones P et P’ sont semblables si le polygone P 1 est égal à un polygone homothétique de P. Les sommets correspondants des polygones semblables ou homothétiques sont appelés sommets homologues; les angles correspondants sont appelés angles homologues; les droites qui joignent deux points homologues de deux polygones homothétiques sont appelés droites homologues. 4

Polygones semblables. • • • Les angles homologues sont égaux. Les côtés homologues sont proportionnels. Théorème. Deux polygones qui ont leurs angles respectivement égaux et leurs côtés homologues proportionnels sont semblables Corollaire. Deux polygones réguliers d’un même nombre de côtés sont égaux. 5

Relations métriques dans le triangle. • • On appelle projection orthogonale d’un point sur une droite, le pied de la perpendiculaire abaissée du point sur la droite. Le projection d’un segment sur une droite est le segment dont les extrémités sont les projections des extrémités du segment donné. 6

Relations métriques dans le triangle rectangle. • Théorème. Dans un triangle rectangle, les deux triangles partiels déterminés par la hauteur sont semblables entre eux et chacun d’eux est semblable au triangle total. A b C c m a H n B 7

Relations métriques dans le triangle rectangle. • Théorème de Pythagore. Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse égale la somme des carrés deux autres côtés. A b C c h m a H n B a/b = b/n, donc b 2 = an a/c = c/m, donc c 2 = am b 2+c 2 = an+am = = a(n+m) = a*a= a 2=b 2+c 2 8

Relations métriques dans un triangle quelconque. • Théorème. Dans un triangle quelconque le carré d’un côté opposé à un angle aigu égale la somme des carrés deux côtés moins deux fois le produit de l’un d’eux par la projection de l’autre sur lui. a 2 = b 2 + c 2 – 2 bn 9

Relations métriques dans un triangle quelconque. a 2 = m 2 + h 2 Dans le Cas 1: m = b – n Dans le Cas 2: m = n – b Alors toujours m 2 = b 2 + n 2 – 2 bn Mais h 2 = c 2 – n 2, alors a 2 = (b 2 + n 2 – 2 bn) + (c 2 – n 2) a 2 = b 2 + c 2 – 2 bn B Cas 1 a m C c h H b n A Cas 2 B h c a m C n A b 10

Relations métriques dans un triangle quelconque. • Théorème. Dans un triangle quelconque le carré d’un côté opposé à un angle obtus égale la somme des carrés deux côtés plus deux fois le produit de l’un d’eux par la projection de l’autre sur lui. a 2 = b 2 + c 2 – 2 bn 11

Relations métriques dans un triangle quelconque. a 2 = m 2 + h 2 m=b–n Alors on a m 2 = b 2 + n 2 + 2 bn Mais h 2 = c 2 – n 2, alors a 2 = (b 2 + n 2 + 2 bn) + (c 2 – n 2) B h a c n A b m C a 2 = b 2 + c 2 + 2 bn 12