TRI ANG SFE OLI RIC I re a

TRI ANG SFE OLI RIC I re a p s Ga co s e c an uto r F. f Cap Pro

Distanza tra Roma e New York? ? Prof. Caputo Francesco Gaspare 2

triangolo sferico: i suoi tre lati sono naturalmente archi geodetici. Nel piano euclideo tre punti non allineati individuano uno e un solo triangolo: basta collegare coppie di punti con un segmento Prof. Caputo Francesco Gaspare 3

? ? ? Cosa succede sulla superficie di una sfera? ? Prof. Caputo Francesco Gaspare 4

Le cose si complicano sulla sfera. In primo luogo due punti possono essere collegati con due diversi segmenti (un arco minore e un arco maggiore di circonferenza massima, come si vede nella figura a sinistra). Stabiliamo allora di considerare solo archi minori. Prof. Caputo Francesco Gaspare 5

C'è poi da osservare che tre archi minori, non disposti (a due) sulla stessa circonferenza massima e aventi a coppie un estremo in comune, delimitano due regioni sulla sfera. Chiamiamo allora triangolo sferico quella regione, delle due, che ha area minore. In tal modo tre archi minori individuano un'unica regione triangolare che ha sempre area minore della superficie di una semisfera Prof. Caputo Francesco Gaspare 6

? ? ? ? Domanda : ? ? Nel piano euclideo tre rette non passanti per uno stesso punto e tali da intersecarsi a due, individuano uno e un solo triangolo. Cosa si può dire per tre rette su una sfera? Prof. Caputo Francesco Gaspare 7

Tre rette sulla sfera non passanti per uno stesso punto individuano otto triangoli sferici. Nella figura è stato evidenziato in verde uno degli otto triangoli. Prof. Caputo Francesco Gaspare 8

Ma la cosa più importante da osservare è la somma degli angoli: nel nostro caso è di 270° Viene dunque a cadere il teorema euclideo sulla somma degli angoli di un triangolo. Ora osserviamo la figura a sinistra. Ogni lato del triangolo ABC è lungo 1/4 di circonferenza massima cioè R p/2 e l'area del triangolo è pari a 1/8 dell'area della sfera cioè è uguale a R*R p/2 (non dimenticate che abbiamo assunto una sfera di raggio R che ha area 4 p R*R). Prof. Caputo Francesco Gaspare 9

Ma c'è di più: mentre la somma degli angoli è costante per i triangoli euclidei, per i triangoli sferici tale somma varia al variare del triangolo. Prof. Caputo Francesco Gaspare 10

Come vedete A è un polo per la retta s e i segmenti AB e AP sono perpendicolari a s. I triangoli APB che vengono a formarsi al variare di P su s hanno, tutti, due angoli retti mentre il terzo angolo, quello in A, varia. E' quindi variabile anche la somma degli angoli. Per tutti questi triangoli la somma degli angoli è maggiore di 180° e si capisce che facendo tendere a zero l'angolo in A la somma degli angoli tende a 180° Prof. Caputo Francesco Gaspare 11

? ? ? ? ? ? Domanda Sapete dire qual è l'estremo superiore per la somma degli angoli di un triangolo sferico ? Prof. Caputo Francesco Gaspare 12

Data la nostra definizione di triangolo sferico, la somma degli angoli è sempre minore di 540° poiché ogni angolo è minore di 180; se un angolo diventa di 180° i tre vertici del triangolo si trovano su una stessa circonferenza massima e dobbiamo escluderlo. D'altra parte ciascuno dei tre angoli può avvicinarsi quanto vogliamo a 180° (vedi figura a fianco). Quando ognuno dei tre angoli tende a 180°, l'area del triangolo tende all'area della semisfera che rappresenta l'estremo superiore per le aree dei triangoli sferici. ] Prof. Caputo Francesco Gaspare 13

ECCESSO SFERICO E E=a+b+g-p IN UN TRIANGOLO SFERICO LA SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI SUPERA SEMPRE L’ ANGOLO PIATTO DI UNA QUANTITA’ DETTA ECCESSO SFERICO E Prof. Caputo Francesco Gaspare 14

E+p=a+b+g Ci siamo resi conto, che E non è costante ma varia al variare del triangolo. E si può determinare mediante la formula del CAVALIERI E= S/ R Prof. Caputo Francesco Gaspare S= superficie del triangolo 15

TRIGONOMETRIA SFERICA b a c Triangoli sferici qualunque Teorema dei seni I seni dei lati sono proporzionali ai seni degli angoli opposti. Il rapporto fra il seno di un angolo ed il seno del lato opposto è costante. Sin a /Sin a =Sin β /Sin b = Sin γ/Sin c Prof. Caputo Francesco Gaspare 16

TRIGONOMETRIA SFERICA TEOREMA DI EULERO ( DEL COSENO). Il coseno di un lato è uguale al prodotto dei coseni degli altri due lati più il prodotto dei seni moltiplicati per il coseno dell'angolo opposto. Ricaviamo : Cos a = Cos b Cos c + Sin b Sin c Cos a Cos b = Cos a Cos c + Sin a Sin c Cos β Cos c = Cos a Cos b + Sin a Sin b Cos γ Prof. Caputo Francesco Gaspare 17

TRIGONOMETRIA SFERICA Tan ( a+b)/2 = (cos (a-b)/2)/(cos (a+b)/2). Tan ( c/2) Tan ( a-b)/2 = (sen (a-b)/2)/(sen (a+b)/2). Tan ( c/2) Prof. Caputo Francesco Gaspare 18

Calcolo distanza ortodromica Dunque, osservando la figura in alto, diciamo che, in base alla trigonometria sferica (teorema di Eulero), tra i lati a, b e p del triangolo sferico ABP vale la relazione: cos p = cos a cos b + sen a sen b cos φ Ora, dette lat(A), lon(A), lat(B), lon(B), la latitudine e la longitudine dei punti A e B e, considerato che: a = 90° – lat(B) b = 90° – lat(A) φ = lon(A) – lon(B) abbiamo tutti i dati per calcolare la lunghezza del lato p considerando il raggio della Terra approssimabile a R = 6371 km. Prof. Caputo Francesco Gaspare 19

TEOREMA DI LEGENDRE Il Teorema di LEGENDRE, permette di risolvere un triangolo sferico, contenuto nel campo geodetico, con gli algoritmi della trigonometria piana. Prima di dare l'enunciato di questo teorema è necessario precisare che la somma dei tre angoli di un triangolo sferico è superiore a π di una quantità, che si denota con E, chiamata eccesso sferico, e cioè a+b+g-p si dimostra facilmente che l'eccesso sferico è numericamente valutabile, in radianti, facendo il rapporto fra l'area S del triangolo ed il quadrato del raggio della sfera e cioè E= S/ R Prof. Caputo Francesco Gaspare 20

Si può ora osservare che, dato un triangolo sferico di lati a, b e c, si può sempre costruire un triangolo piano che ha i lati rettilinei di lunghezza a, b e c, per cui se si conoscono le relazioni che legano gli angoli, noti, del triangolo sferico, a quelli, incogniti, del triangolo piano, in modo da poter derivare facilmente quest'ultimi dai primi, il calcolo dei lati del triangolo sferico potrebbe essere eseguito con le formule della trigonometria piana. b C A b Teorema LEGENDRE c a B Prof. Caputo Francesco Gaspare 21

ENUNCIATO TEOREMA di LEGENDRE C a ‘= a- E/3 b ‘= b- E/3 a g ‘= g- E/3 A b c B Sia dato un triangolo sferico i cui lati l siano una piccola frazione del raggio R della sfera < di 200 k. M il triangolo sferico equivale ad un triangolo piano che ha i lati della stessa lunghezza dei lati del triangolo sferico e gli angoli si possono derivare dagli angoli del primo sottraendo ad ognuno di essi un terzo dell'eccesso sferico E. Prof. Caputo Francesco Gaspare 22

Si può dimostrare che se il triangolo è contenuto in una zona di circa 100 km di raggio, cioè all'interno del campo sferico e geodetico, questo può essere considerato sferico (campo della trigonometria sferica). Si può utilizzare il teorema di Legendre che postula: un triangolo sferico i cui lati l siano piccoli rispetto al raggio R può essere calcolato, a meno di termini in (l/r)4 , come un triangolo piano aventi i lati uguali a quelli del triangolo sferico rettificati e gli angoli ridotti di un terzo dell'eccesso sferico ε = A/R 2, dove A = area del triangolo sferico ed R = raggio della sfera (trigonometria piana). Prof. Caputo Francesco Gaspare 23

Se poi il triangolo ellissoidico è contenuto in una zona di 15 km di raggio (campo piano o topografico), il triangolo stesso può essere considerato piano (trigonometria piana). Prof. Caputo Francesco Gaspare 24

GRAZIE PER L’ ATTENZIONE !!!!!!! http: //www. robertobigoni. it/Matematica/Sferica/sferica. html Prof. Caputo Francesco Gaspare 25