TRAZADO GEOMTRICO DE CNICAS TRAZADO GEOMTRICO DE CNICAS

TRAZADO GEOMÉTRICO DE CÓNICAS

TRAZADO GEOMÉTRICO DE CÓNICAS §CIRCUNFERENCIAS § ELIPSE CÓNICAS DEGENERADAS . Un punto § HIPÉRBOLA . Dos rectas § PARÁBOLA . Una recta

CIRCUNFERENCIAS Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de uno llamado centro TANGENCIAS La tangente a una circunferencia en un punto, es la perpendicular a la recta que une dicho punto con el centro de la circunferencia ( el radio) T 0 T Si dos circunferencias son tangentes el punto de tangencia estará sobre la línea que une los centros

TANGENCIAS ARCOS DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES O 2 R+r R r O 1 ARCOS DE CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES R r R-r O 2 O 1

CIRCUNFERENCIAS TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO DE LA MISMA A 0 B T

CIRCUNFERENCIAS TANGENTE A UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA EN UN PUNTO DEL MISMO NO CONOCIENDO EL CENTRO DEL ARCO C B A T

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA CIRCUNFERENCIA DESDE UN PUNTO EXTERIOR A ELLA t 1 T 1 P O 1 O T 2 t 2

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES COMUNES EXTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS t 2 T 22 R T 12 O 2 r R-r O 1 T 11 T 21 t 2

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES COMUNES INTERIORES A DOS CIRCUNFERENCIAS t 1 A T 21 R O 2 R+r T 12 r T 22 O 1 T 11 B t 2

CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA DADA, QUE PASAN POR UN PUNTO P EXTERIOR A LA RECTA Y TIENEN UN RADIO R CONOCIDO P R O 1 R O 2 R r T 1 T 2 A

CURVAS CÓNICAS Curvas que resultan de la intersección de una superficie cónica con un plano y que depende del ángulo que forman el plano y el eje de revolución de la superficie cónica β = 90º α=β α<β α>β

CURVAS CÓNICAS ELIPSE - Curva cerrada y plana simétrica respecto a dos ejes, eje mayor o real (2 a), y menor o virtual (2 b). - Lugar geométrico de los puntos del plano que cumplen la condición de que la suma de las distancia a dos puntos fijos llamados focos, que están sobre el eje real, es constante e igual a la longitud del eje mayor. C M a b r A r' c F N a F' D - Radios vectores son los segmentos que unen cada punto de la elipse con los focos. (r y r’ ) se cumple que r + r’ = 2 a B

CURVAS CÓNICAS ELIPSE - Circunferencia principal es la que tiene por centro el centro de la elipse y por diámetro el eje mayor. - Circunferencias focales tienen por centros los focos de la elipse y por radio el eje mayor. - Distancia focal es la que hay entre los focos (2 c) - Se cumple que a 2= b 2+ c 2 - Excentricidad e = c 2/a se cumple que para la elipse e <1

ELIPSE CONSTRUCCION DE ELIPSE POR HACES PROYECTIVOS A PARTIR DE LOS EJES CONSTRUCCION DE ELIPSE POR PUNTOS A PARTIR DE LOS EJES C C 1 M GA A F a 2 GB G 3 F’ B 4 A 4 3 2 1 O N D D B

ELIPSE CONSTRUCCION DE ELIPSE POR AFINIDAD E C G A O D H B

ELIPSE TANGENTE A UNA ELIPSE EN UN PUNTO DE LA MISMA P TANGENTES A UNA ELIPSE DESDE UN PUNTO EXTERIOR G t 2 a P F F’ I PF F H J F’

CURVAS CÓNICAS HIPÉRBOLA - Curva plana, abierta, con dos ramas y simétrica respecto a dos ejes, 2 c - Lugar geométrico de los puntos del plano que cumplen la condición de que la diferencia de las distancia a dos puntos fijos llamados focos, que están sobre el eje real, es constante e igual al valor del eje mayor V 1 V 2 ( 2 a ) F V 1 2 a V 2 O r F’ r’ A B - Radios vectores son los segmentos que unen cada punto de la curva con los focos. (r y r’ ) se cumple que r - r’ = 2 a

CURVAS CÓNICAS HIPÉRBOLA - Circunferencia principal es la que tiene por centro el de la hipérbola y por diámetro 2 a. - Circunferencias focales tienen por centros los focos de la hipérbola y por radio 2 a. - Distancia focal es la que hay entre los focos (2 c), los focos están sobre el eje principal o real - Se cumple que c 2= b 2+ a 2 - Excentricidad e = c 2/a se cumple que para la elipse e >1

CURVAS CÓNICAS HIPÉRBOLA - Las asíntotas de la hipérbola son las rectas tangentes a la curva en los puntos del infinito. - Las asíntotas son simétricas respecto a los ejes y pasan por el centro O - Se llama hipérbola equilátera a la hipérbola cuyas asíntotas forman 45º con los ejes.

HIPÉRBOLA CONSTRUCCION DE UNA HIPÉRBOLA CONOCIDOS LOS VERTICES Y LOS FOCOS r =V 1 A r =V 1 B r’=V 2 A F r =V 1 A r =V 1 B r’=V 2 A r =V 2 B V 1 O V 2 r =V 2 B F’ B A

ELIPSE TANGENTE A UNA HIPÉRBOLA EN UN PUNTO DE LA MISMA TANGENTES A UNA HIPÉRBOLA DESDE UN PUNTO EXTERIOR I V 1 V 1 V 2 P I F’ F V 1 P O t F V 2 V 1 V 2 O J K PF’ F’ L

CURVAS CÓNICAS PARÁBOLA - Curva plana, abierta, con una rama y simétrica respecto a un eje. r r - Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de una recta fija llamada directriz. V F d - Radios vectores son los segmentos que unen cada punto de la parábola con el foco y la directriz

HIPÉRBOLA CONSTRUCCION DE UNA PARÁBOLA CONOCIDOS EL FOCO Y LA DIRECTRIZ d AO O V A F