TRASFORMAZIONE DEI GRAFICI Lezioni teoriche Esercizi ringraziamenti INDICE

TRASFORMAZIONE DEI GRAFICI • Lezioni teoriche • Esercizi ringraziamenti

INDICE • • • Traslazione verticale di parametro 1 della funzione y=cosx Traslazione orizzontale in parametro π/4 della funzione y=cosx Deformazione verticale di parametro 2 della funzione y=cosx Deformazione orizzontale di parametro 2 della funzione y=cosx Simmetria della funzione y= x rispetto all’asse y Ribaltamento della funzione y= x rispetto all’asse x Ribaltamento della funzione y= x rispetto all’origine Moduli sulla funzione y=x 3 -1 Modulo di se sulla funzione y=x 3 -1 Guarda gli esercizi Fine

Traslazione verticale di parametro b della funzione y = f(x) • y = cosx-1 • y = cosx+1 Osservazioni

Traslazione verticale di parametro b della funzione y = f(x) • • • y = cosx Funzione base y = cosx– 1 Traslazione verticale verso l’alto y = cosx+1 Traslazione verticale verso il basso Osservazioni: x Questo grafico rappresenta la traslazione verticale di parametro 1 della funzione y=cosx che in base al parametro di trasformazione si alza o si abbassa. La formula di traslazione verticale di una funzione di equazione generale y=f(x) è y=f(x)+b. Se b>0 il grafico si sposta verso l’alto, viceversa, se b<0, il grafico si sposta verso il basso.

Traslazione orizzontale in parametro a della funzione y = f(x) • y = cosx • y = cos(x-π/4) • y = cos(x+ π/4) Osservazioni

Traslazione orizzontale in parametro a della funzione y = f(x) • • • y = cosx Funzione base y = cos(x-π/4) Traslazione orizzontale verso sinistra y = cos(x+ π/4) Traslazione orizzontale verso destra Osservazioni: Questox grafico rappresenta la traslazione orizzontale in parametro /4 della funzione y=cosx che in base al parametro di trasformazione si sposta verso destra o verso sinistra. La formula di traslazione orizzontale di una funzione di equazione generale y=f(x) è y=f(x+a). Se a>0 il grafico si sposta verso sinistra, viceversa, se a<0 il grafico si sposta verso destra.

Deformazione verticale di parametro h della funzione y = f(x) • y = cosx • y = 2 cosx • y = 1/2 cosx Osservazioni

Deformazione verticale di parametro h della funzione y = f(x) • • • y = cosx Funzione base y = 2 cosx Deformazione verticale, allunga il grafico y = 1/2 cosx Deformazione verticale, restringe il grafico Osservazioni: x Questo grafico rappresenta la deformazione verticale di parametro 2 della funzione y=cosx che in base al parametro di trasformazione si allunga o si accorcia. La formula di deformazione verticale di una equazione generale y=f(x) è y=h*f(x). Se h>1 il grafico si allunga verticalmente, viceversa, se 0<h<1 il grafico si accorcia.

Deformazione orizzontale di parametro k della funzione y = f(x) • y = cosx • y = cos(1/2 x) • y = cos(2 x) Osservazioni

Deformazione orizzontale di parametro k della funzione y = f(x) • • • y = cosx Funzione base y = cos(1/2 x) Deformazione orizzontale, allarga il grafico y = cos(2 x) Deformazione orizzontale, restringe il grafico Osservazioni: x Questo grafico rappresenta la deformazione orizzontale di parametro 2 della funzione y=cosx che in base al parametro di trasformazione si allarga o si restringe. La formula di deformazione orizzontale di una funzione di equazione generale y=f(x) è y=f(k*x). Se 0<k<1 si allarga il grafico, viceversa, se k>1 il grafico si comprime.

Simmetria della funzione y = x rispetto all’asse x • y = x • y = - x Osservazioni

Simmetria della funzione y = x rispetto all’asse x • • y = x Funzione base y = - x Ribaltamento della funzione base rispetto all’asse x Osservazioni: x Questo grafico rappresenta la simmetria della funzione y= x rispetto all’asse y che cambiando il segno alla funzione della prima equazione, il secondo grafico viene ribaltato nel quarto quadrante. La formula della simmetria di un’equazione generale y=f(x) è y=-f(x).

Ribaltamento della funzione y = x rispetto all’asse y • y = x • y = -x Osservazioni

Ribaltamento della funzione y = x rispetto all’asse y • • y = x Funzione base y = -x Ribaltamento della funzione base rispetto all’asse y x Osservazioni: Questo grafico rappresenta il ribaltamento della funzione y= x rispetto all’asse y che spostando il segno della x nella prima equazione, il grafico della seconda equazione viene ribaltato nel secondo quadrante. La formula generale del ribaltamento di un’equazione generale y=f(x) è y=f(-x).

Ribaltamento della funzione y = x rispetto all’origine • y = x • y = - -x Osservazioni

Ribaltamento della funzione y = x rispetto all’origine • • y = x Funzione base y = - -x Ribaltamento della funzione base rispetto all’origine Osservazioni: x Questo grafico rappresenta il ribaltamento della funzione y= x rispetto all’origine e cambiando di segno sia la funzione sia la x nella prima equazione, il grafico della seconda equazione viene ribaltato nel quadrante opposto. La formula generale del ribaltamento di una funzione di equazione generale y=f(x) è y= -f(-x).

Modulo sulla funzione y = x^3 -1 • y = x^3 -1 • y = |x^3 -1| Osservazioni

Modulo sulla funzione y = x^3 -1 • • y = x^3 -1 Funzione base y = |x^3 -1| Ribaltamento della funzione base rispetto all’origine Osservazioni: x Questo grafico rappresenta il modulo della funzione y=x 3 -1(tra le due stelle). Il modulo agisce sulla funzione in due modi differenti: dove la funzione è negativa il grafico della funzione base viene ribaltato, mentre dove la funzione è positiva i due grafici si sovrappongono >>segue

Modulo sulla funzione y = x^3 -1 • • y = x^3 -1 Funzione base y = |x^3 -1| Ribaltamento della funzione base rispetto all’origine In generale , se la funzione y=f(x) è x negativa , il grafico del modulo è il simmetrico del grafico della funzione, altrimenti i due grafici si sovrappongono. <<precede

Modulo di x sulla funzione y = x 3 -1 • y = x 3 -1 • y = (|x|)3 -1 Osservazioni

Modulo di x sulla funzione y = x 3 -1 • • y = x 3 -1 Funzione base y = (|x|)3 -1 Modulo di x sulla funzione base Osservazioni: x Da questo grafico si può notare che la funzione modulo applicata solo alla x trasforma le x negative in positive, ribaltando la parte positiva del grafico (tra le due stelline). Nel caso contrario il grafico rimane invariato. >>segue

Modulo di x sulla funzione y = x 3 -1 • • y = x 3 -1 Funzione base y = (|x|)3 -1 Modulo di x sulla funzione base In generale se si applica la funzione x modulo solo sulla x si ha una trasformazione delle x negative in positive tramite un ribaltamento, altrimenti se le x sono positive, il grafico rimane invariato. <<precede

INDICE • • Guarda la teoria Esempio 1 Esempio 2 Esempio 3 Esempio 4

Trasformazione di una funzione • • LAVORO DI: Fornaro, Delpero e Agostini

SOVRAPPOSIZIONE DEI GRAFICI y = senx y = sen 3 x y = sen(3 x- /2) y = |sen(3 x- /2)|

y = senx Rappresenta la funzione base T=2 D [0; 2 ] C[-1; 1]

y = sen 3 x T 1: Deformazione orizzontale di parametro 3 che comprime il grafico T= 0 3 x 2 D[0; ] C[-1; 1]

y = sen(3 x- /2) T 2: Traslazione orizzontale di parametro /6 verso destra. T= 0 3 x- /2 2 D[0+ /6; + /6] C[-1; 1]

y=|sen (3 x- /2)| T 3: modulo della funzione che lascia invariato il segno quando è positivo, e quando è negativo ribalta la funzione rispetto all’asse delle x trasformando il segno da negativo a positivo.

Esercizio sulla trasformazione di funzioni Realizzato da: Acucella & Fagnani & Tagliabue

Come sviluppare le trasformazioni Data la funzione dobbiamo : • Riconoscere la funzione base • Analizzare la successione delle trasformazioni ( traslazioni, deformazioni…) che applicate alla funzione base portano alla. Esempio funzione richiesta :

Successione delle trasformazioni applicate

Funzione base : Il grafico di questa funzione è il grafico della funzione coseno senza variazioni §Il suo codominio va da – 1 a 1 mentre il suo dominio va da - a+. §

Deformazione orizzontale di parametro : Il grafico di questa funzione è il grafico della funzione coseno deformata orizzontalmente di parametro § Osservazioni

Traslazione orizzontale di parametro : Il grafico di questa funzione è il grafico della funzione coseno traslata orizzontalmente di parametro § Osservazioni

Osservazioni Sviluppando le trasformazioni della funzione base abbiamo notato che essendo il coseno una funzione pari le trasformazioni che hanno la x positiva e quelle che hanno, invece, la x negativa sono identiche. e e

Esercitazione di: Centrone Detto Fabio Catanzaro

• Funzione data • Funzione base: sen(x). • Deformazione orizzontale di parametro x/3. • Traslazione orizzontale di parametro

Grafico della funzione data Data la funzione trasformazioni l’abbiamo scomposta nelle singole

Funzione originaria: Funzione originaria sen(x) con periodo [0; 2 ] e ampiezza di 2.

Funzione originaria deformata Y=sen(x/3): questa funzione deriva dalla funzione originaria e fa avvenire una deformazione orizzontale di parametro x/3 (funzione in rosso). Il periodo va da [0; 6 ] con ampiezza 6

Funzione originaria deformata e traslata questa funzione fa avvenire una traslazione orizzontale di parametro /12 verso sinistra con un periodo che va da [ ], cioè [ ]. L’ampiezza è di 6.

Esercizio sulle trasformazioni delle funzioni

Grafico Y=senx Y=sen 1/3 x Y=sen(1/3 x+ /12) -Ringraziamenti- Y=sen[-(1/3 x+ /12)]

L’equazione base di questo grafico è y=senx (blu), l’intervallo è [o; 2 ], il suo periodo è 2. Il codominio è [-1; 1]. -Ringraziamenti-

All’equazione precedente abbiamo applicato una deformazione orizzontale di parametro 1/3 , che allarga il grafico: y=sen 1/3 x (viola), l’intervallo è [o; 6 ], il suo periodo è 6 , il codominio è [-1; 1]. -Ringraziamenti-

All’equazione precedente abbiamo applicato una traslazione orizzontale verso sinistra di parametro -: y=sen(1/3 x+ /12 ), (verde), l’intervallo è [- /4; 6 - /4], il suo periodo è 6 , il codominio è [-1; 1]. -Ringraziamenti-

All’equazione precedente abbiamo applicato un ribaltamento rispetto all’asse delle y: y=sen[-(1/3 x+ /12 )], (rosso), l’intervallo è [ - /4; 6 - /4], il suo periodo è 6 , il codominio è [-1; 1]. -Ringraziamenti-

Si ringrazia: