Transformes de Fourier des signaux continus 1 2

Transformées de Fourier des signaux continus 1. 2. 3. 4. Exemples de signaux périodiques ? Onde stationnaire et raies de fréquences Série de Fourier Transformée de Fourier 2010 -2011 Traitement Numérique du Signal 1

1/ Exemples de mouvements périodiques Vitesse de rotation régulière => signal périodique T=60/W(tour/min) et f=1/T Clignotants, phares 2010 -2011 Traitement Numérique du Signal 2

2/ Onde stationnaire 2010 -2011 Traitement Numérique du Signal 3

Onde stationnaire dans un tuyau d’air p=0 L Equation des ondes : p=p 1 sin(2 pf(t-x/c)+p 2 sin(2 pf(t+x/c) Conditions aux limites : p(0, t)=p(L, t)=0 => p a sin(2 px/lk)cos(2 pfk t) Longueurs d’onde: lk=2 L/k Fréquences (fondamental et harmoniques) : fk=k c/L/2 2010 -2011 Traitement Numérique du Signal L Ici k=4 4

Notes de musique La 4 : 440 Hz La 5 : 880 Hz 2010 -2011 Traitement Numérique du Signal 5

Spectres d’une trompette 2010 -2011 Traitement Numérique du Signal 6

T 3/ Série de Fourier x(t)1[-T/2, T/2] Coefficients de la série de Fourier Xk 1/T Développement en série de Fourier x(t) 2010 -2011 Traitement Numérique du Signal 7

Propriétés de la série de Fourier et produit de convolution circulaire Parité Parseval Retard=>déphasage Linéarité Dilatation/concentration Intégration/dérivation (sous réserve de périodicité) Coefficients de Fourier est une TF Sinusoïdes=>Dirac 2010 -2011 Traitement Numérique du Signal 8

4/ Transformée de Fourier f Re Im TF Série de Fourier 2010 -2011 Traitement Numérique du Signal 9

Propriétés de la transformée de Fourier Parité Parseval décalage fréquentiel Retard=>déphasage Linéarité Dilatation/concentration Intégration/dérivation Valeur en l’infini->0 ; discontinuité Produit de convolution/produit Sinusoïdes=>Dirac 2010 -2011 Traitement Numérique du Signal 10

Transformée de Fourier de signaux à durées limitées Porte=>sinus cardinal Cosinus tronqué => deux sinus cardinaux 2010 -2011 Traitement Numérique du Signal 11