TRANSFORMEE DE FOURIER DISCRETE transforme de fourier discrte

TRANSFORMEE DE FOURIER DISCRETE transformée de fourier discréte 1

Transformée de Fourier Discrète introduction transformée de fourier discréte 2

Transformée de Fourier Discrète Théorème de Shannon • Signal à bande limitée X(f) x(t) -fmax t +fmax f • X(f)=TF (x(t)); X(f)=0 pour -fmax < f < +fmax • pour échantillonner le signal x(t) sans perdre d ’information (ie, reconstruction sans erreur), il faut que : • sinon on observe un repliement de spectre transformée de fourier discréte 3

Transformée de Fourier Discrète périodisation de la TFC par échantillonnage temporel transformée de fourier discréte 4

Transformée de Fourier Discrète repliement de spectre dans le domaine fréquentiel transformée de fourier discréte 5

Transformée de Fourier Discrète définition transformée de fourier discréte 6

Transformée de Fourier Discrète propriétés transformée de fourier discréte 7

Transformée de Fourier Discrète discrétisation T/F=Périodisation T/F (1) transformée de fourier discréte 8

Transformée de Fourier Discrète discrétisation T/F=Périodisation T/F (2) • TEMPS • continu FREQUENCE continu – non périodique • continu - Fourier Continue discret – périodique • discret - Série de Fourier continu – Fourier • discret - périodique discret – périodique - périodique – T. Fourier Discrète transformée de fourier discréte 9

Transformée de Fourier Discréte résolution fréquentielle • x(n T) signal – – n = [-N/2, N/2 -1] N points T période d ’échantillonnage, fe=1/ T fréquence d ’échantillonnage. fe 1/(2 fmax) Shannon • X(m f) = TFD [(x(n T)] – N points en fréquence – f = 1/N T résolution en fréquence • si N f transformée de fourier discréte 10

Transformée de Fourier Discrète signaux de longueur finie: fenêtres (1) transformée de fourier discréte 11

Transformée de Fourier Discrète signaux de longueur finie: fenêtres (1) • Exemple de troncature d’un signal par une fenêtre rectangulaire 0 transformée de fourier discréte N/2 12

Transformée de Fourier Discrète effet d ’une fenêtre rectangulaire sur une sinusoïde (2) transformée de fourier discréte 13

Transformée de Fourier Discrète effet d ’une fenêtre de Hanning sur une sinusoïde (3) transformée de fourier discréte 14

Transformée de Fourier Discrète effet des fenêtres sur une sinusoïde (4) transformée de fourier discréte 15

Transformée de Fourier Discrète résumé : échantillonnage temps/fréquence/fenêtre • temps fréquence Convolution/fenêtre (fuites) Multiplication/fenêtre transformée de fourier discréte 16

Transformée de Fourier Discrète étude de l ’effet de convolution : Fenêtre rectangulaire(1) wr(n T)=1 pour n=[0, N-1] Wr(m f) = sin(N. 2. pi. m f)/sin(2. pi. m. f) pour m=[0, N-1] transformée de fourier discréte 17

Transformée de Fourier Discrète convolution par une fenêtre rectangulaire: sinusoïde(2) • Cas d ’une sinusoïde : – – N points, T période d ’échantillonnage, fe=1/ T, f=1/ N T la TFD sera définie pour 0, f, 2. f , 3. f, …. k. f …N/2. f soit x(n T ) = a. sin(2. pi. f 0. n/N) • cas 1: • cas 2: f 0 = k. f k. f f 0 (k+1). f transformée de fourier discréte 18

Transformée de Fourier Discrète convolution par une fenêtre: cas d ’une sinusoïde(3) W(k-1) W(k+1) X(k f) f(k)=f 0 f(k-1) f(k+1) transformée de fourier discréte 19

Transformée de Fourier Discrète convolution par une fenêtre: cas d ’une sinusoïde(4) W(k-1) W(k+1) X(k f) f(k-1) f(k+1) transformée de fourier discréte 20

Transformée de Fourier Discrète Fenêtres et leur transformée de Fourier résumé (1) Rectangulaire Hanning Blackman Gaussienne transformée de fourier discréte 21

Transformée de Fourier Discrète propriétés des fenêtres : résumé (2) • • Fenêtre 1 er lobe secondaire décroissance lobes secondaires largeur lobe principal • (d. B) (d. B/décade) (* f) • • • Rectangulaire Hanning Hamming Kaiser-Bessel Flattop Gaussienne -13 -32 -43 -69 -93 -69 -20 -60 -20 1. 1. 5 1. 36 1. 8 3. 7 1. 9 – rectangulaire : bonne résolution en fréquence, dynamique faible – Hanning : compromis (utilisée en analyse du bruit et vibrations) transformée de fourier discréte 22

Transformée de Fourier Discrète Algorithmes rapides : FFT (Fast Fourier Transform)-(1) • N Multiplications complexes, (N-1) additions pour chaque m • N² multiplications complexes • exemple : N= 1000 pts 1. 000 (X) !! • Algorithme FFT • N=2 k N. log 2(N)= k. N • exemple : N=1024 10. 000 (X) • Plusieurs types d ’algorithmes transformée de fourier discréte 23

Transformée de Fourier Discrète Algorithmes rapides : FFT (Fast Fourier Transform)-(2) • Principe : • plusieurs algorithmes et architectures associés permettent de réaliser les calculs en temps réel. transformée de fourier discréte 24