Transformasi Translasi Rotasi dan Dilatasi 1 Setelah menyaksikan

Transformasi (Translasi, Rotasi dan Dilatasi) 1

Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat Menentukan peta atau bayangan suatu kurva hasil dari suatu Translasi, Rotasi atau Dilatasi 2

Transformasi Untuk memindahkan suatu titik atau bangun pada sebuah bidang dapat dikerjakan dengan transformasi. Transformasi T pada suatu bidang ‘memetakan’ tiap titik P pada bidang menjadi P’ pada bidang itu pula. Titik P’ disebut bayangan atau peta titik P 3

Jenis-jenis Transformasi a. Tranlasi*) b. Refleksi c. Rotasi*) d. Dilatasi*) *) yang dibahas kali ini 4

Tranlasi artinya pergeseran 5

Jika translasi T = memetakan titik P(x, y) ke P´(x’, y’) maka x’ = x + a dan y’ = y + b ditulis dalam bentuk matrik: 6

Contoh 1 Diketahui segitiga OAB dengan koordinat titik O(0, 0), A(3, 0) dan B(3, 5). Tentukan koordinat bayangan segitiga OAB tersebut bila ditranslasi oleh T = 7

Contoh 2 Bayangan persamaan lingkaran x 2 + y 2 = 25 oleh translasi T = adalah…. 9

Bahasan P (-1, 3) ● ● X 10

Karena translasi T = maka x’ = x – 1 → x = x’ + 1. …. (1) y’ = y + 3 → y = y’ – 3…. . (2) (1) dan (2) di substitusi ke x 2 + y 2 = 25 (2)diperoleh (x’ + 1)2 + (y’ – 3)2 = 25; (3)Jadi bayangannya adalah: (4)(x + 1)2 + (y – 3)2 = 25 11

Contoh 3 Oleh suatu translasi, peta titik (1, -5) adalah (7, -8). Bayangan kurva y = x 2 + 4 x – 12 oleh translasi tersebut adalah…. 12

Bahasan Misalkan translasi tersebut T = Bayangan titik (1, -5) oleh translasi T adalah (1 + a, -5 + b) = (7, -8) 1+ a = 7 → a = 6 -5+ b = -8 → b = -3 13

a = 6 dan b = -3 sehingga translasi tersebut adalah T= Karena T = Maka x’ = x + 6 → x = x’ – 6 y’ = y – 3 → y = y’ + 6 14

x = x’ – 6 dan y = y’ + 3 disubstitusi ke y = x 2 + 4 x – 12 y’ + 3 = (x’ – 6)2 + 4(x’ – 6) – 12 y’ + 3 = (x’)2 – 12 x’ + 36 + 4 x’ - 24 -12 y’ = (x’)2 – 8 x’ – 3 Jadi bayangannya: y = x 2 – 8 x – 3 15

Rotasi artinya perputaran ditentukan oleh pusat dan besar sudut putar 16

Rotasi Pusat O(0, 0) Titik P(x, y) dirotasi sebesar berlawanan arah jarum jam dengan pusat O(0, 0) dan diperoleh bayangan P’(x’, y’) maka: x’ = xcos - ysin y’ = xsin + ycos 17

Jika sudut putar = ½π (rotasinya dilambangkan dengan R½π) maka x’ = - y dan y’ = x dalam bentuk matriks: Jadi R½π = 18

Contoh 1 Persamaan bayangan garis x + y = 6 setelah dirotasikan pada pangkal koordinat dengan sudut putaran +90 o, adalah…. 19

Pembahasan R+90 o berarti: x’ = -y → y = -x’ y’ = x → x = y’ disubstitusi ke: x+y=6 y’ + (-x’) = 6 y’ – x’ = 6 → x’ – y’ = -6 Jadi bayangannya: x – y = -6 20

Contoh 2 Persamaan bayangan garis 2 x - y + 6 = 0 setelah dirotasikan pada pangkal koordinat dengan sudut putaran -90 o , adalah…. 21

Pembahasan R-90 o berarti: x’ = xcos(-90) – ysin(-90) y’ = xsin(-90) + ycos(-90) x’ = 0 – y(-1) = y y’ = x(-1) + 0 = -x’ atau dengan matriks: 22

R-90 o berarti: x’ = y → y = x’ y’ = -x → x = -y’ disubstitusi ke: 2 x - y + 6 = 0 2(-y’) - x’ + 6 = 0 -2 y’ – x’ + 6 = 0 x’ + 2 y’ – 6 = 0 Jadi bayangannya: x + y – 6 = 0 23

Jika sudut putar = π (rotasinya dilambangkan dengan H) maka x’ = - x dan y’ = -y dalam bentuk matriks: Jadi H = 24

Contoh Persamaan bayangan parabola y = 3 x 2 – 6 x + 1 setelah dirotasikan pada pangkal koordinat dengan sudut putaran +180 o, adalah…. 25

Pembahasan H berarti: x’ = -x → x = -x’ y’ = -y → y = -y’ disubstitusi ke: y = 3 x 2 – 6 x + 1 -y’= 3(-x’)2 – 6(-x’) + 1 -y’ = 3(x’)2 + 6 x + 1 (dikali -1) Jadi bayangannya: y = -3 x 2 – 6 x - 1 26

Dilatasi Adalah suatu transformasi yang mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) suatu bangun tetapi tidak mengubah bentuk bangunnya. 27

Dilatasi Pusat O(0, 0) dan faktor skala k Jika titik P(x, y) didilatasi terhadap pusat O(0, 0) dan faktor skala k didapat bayangan P’(x’, y’) maka x’ = kx dan y’ = ky dan dilambangkan dengan [O, k] 28

Contoh Garis 2 x – 3 y = 6 memotong sumbu X di A dan memotong sumbu Y di B. Karena dilatasi [O, -2], titik A menjadi A’ dan titik B menjadi B’. Hitunglah luas segitiga OA’B’ 29

Pembahasan garis 2 x – 3 y = 6 memotong sumbu X di A(3, 0) memotong sumbu Y di B(0, 2) karena dilatasi [O, -2] maka A’(kx, ky)→ A’(-6, 0) dan B’(kx, ky) → B’(0, -4) 30

Titik A’(-6, 0), B’(0, -4) dan titik O(0, 0) membentuk segitiga seperti pada gambar: Y B -4 A -6 O X Sehingga luasnya = ½ x OA’ x OB’ =½x 6 x 4 = 12 31

Dilatasi Pusat P(a, b) dan faktor skala k bayangannya adalah x’ = k(x – a) + a dan y’ = k(y – b) + b dilambangkan dengan [P(a, b) , k] 32

Contoh Titik A(-5, 13) didilatasikan oleh [P, ⅔] menghasilkan A’. Jika koordinat titik P(1, -2), maka koordinat titik A’ adalah…. 33

Transformasi Invers Untuk menentukan bayangan suatu kurva oleh transformasi yang ditulis dalam bentuk matriks, digunakan transformasi invers 36

Contoh Peta dari garis x – 2 y + 5 = 0 oleh transformasi yang dinyatakan dengan matriks adalah…. 37

Pembahasan A(x, y) A’(x’ y’) Ingat: A = BX maka X = B-1. A 38

Diperoleh: x = 3 x’ – y’ dan y = -2 x’ + y’ 39

x = 3 x’ – y’ dan y= -2 x’ + y’ disubstitusi ke x – 2 y + 5 = 0 3 x’ – y’ – 2(-2 x’ + y’) + 5 = 0 3 x’ – y’ + 4 x’ – 2 y’ + 5 = 0 7 x’ – 3 y’ + 5 = 0 Jadi bayangannya: 7 x – 3 y + 5 = 0 40

SELAMAT BELAJAR 41