TRANSFORMASI LINIER II BUDI DARMA SETIAWAN MATRIKS TRANSFORMASI

TRANSFORMASI LINIER II BUDI DARMA SETIAWAN

MATRIKS TRANSFORMASI • Jika T: Rn Rm adalah transformasi linier, dan jika e 1, e 2, …, en adalah basis baku untuk Rn, maka T adalah perkilaan oleh A atau T(x) = Ax dimana A adalah matriks yang mempunyai vektor kolom T(e 1), T(e 2), . . , T(e 3)

MATRIKS TRANSFORMASI • Carilah matriks standar untuk transformasi T: R 3 R 4

TRANSFORMASI LINIER BIDANG • Transformasi dari R 2 ke R 2. Jika T: R 2 adalah sebuah trasnformasi seperti itu dan • adalah matriks transformasi untuk T, maka

T MEMETAKAN VEKTOR KE VEKTOR y (ax+by, cx+dy) (x, y) x

T MEMETAKAN TITIK KE TITIK y (ax+by, cx+dy) (x, y) x

TRANSFORMASI TITIK DI R 2 • Misalkan T: R 2 adalah transformasi linier yang memetakan setiap titik ke dalam bayangan simetrisnya terhadap sumbu y. carilah matriks standar dari T (-x, y) (x, y)

JAWAB • Matriks A adalah matriks untuk refleksi terhadap sumbu y

TRANSFORMASI GEOMETRI • • • Rotasi Refleksi Ekspansi Kompresi Geseran

ROTASI • Jika T: R 2 merotasikan setiap titik di dalam bidang terhadap titik asal melaui sudut Ɵ, maka didapatkan bahwa matriks standar untuk T adalah

REFLEKSI • Terhadap sumbu y • Terhadap sumbu x (-x, y) (x, -y)

REFLEKSI • Terhadap garis y = x (x, y) (y, x)

EKSPANSI DAN KOMPRESI • Jika koordinat x dari setiap titik di dalam bidang dikalikan dengan konstanta k yang positif, maka efeknya adalah mengekspansi atau mengkompresi setiap bidang dalam arah x • Kapan ekspansi? ? Jika k > 1 • Kapan kompresi? ? Jika 0 < k < 1

EKSPANSI DAN KOMPRESI (1/2 x, y) (x, y) EKSPANSI KOMPRESI (2 x, y)

EKSPANSI DAN KOMPRESI • Jika T: R 2 adalah sebuah ekspansi atau kompresi di dalam arah x dengan faktor k, maka • Sehingga matriks T adalah • Hitung matriks standar untuk ekspansi dan kompresi dalam arah sumbu y!!

GESERAN • Geseran di dalam arah x dengan faktor k adalah sebuah transformasi yang menggerakkan setiap titik (x, y) sejajar sumbu x sebanyak ky ke kedudukan yang baru (x + ky, y). Dengan transformasi seperti itu, maka sumbu x sendiri tidak bergeser, karena y=0

GESERAN K>0 (x, y) K<0 (x + ky, y)

GESERAN • Sebuah geseran dengan arah y dengan faktor k adalah sebuah transformasi yang menggerakkan setiap titik (x, y) sejajar subu y sebanyak kx ke kedudukan yang baru (x, y+kx). • Dengan transformasi tersebut, maka titik-titik pada sumbu y tetap diam, dan titik-titik yang lebih jauh dari sumbu y akan bergerak dengan jarak yang lebih jauh dibandingkan dengan titik-titik yang lebih dekat dengan sumbu y

GESERAN • Jika T: R 2 adalah sebuah geseran yang faktornya k didalam arah x, maka: • Sehingga matriks standar untuk T adalah • Cari matriks untuk T yang merupakan geseran dalam sumbu y!!

CONTOH SOAL • Misalkan setiap titik (x, y) pada sebuah bidang dirotasikan melalui sudut Ɵ dan kemudian dipengaruhi oleh geseran dengan faktor k dengan arah x. carilah sebuah matriks transformasi tunggal yang menghasilkan efek yang sama dengan kedua transformasi yang berurutan tersbut!

SOAL • Cari matriks standar dari operator linier berikut: T(x 1, x 2) = (2 x 1 – x 2, x 1 + x 2) • Carilah matriks standar untuk transformasi semua titik (x, y) ke dalam – Refleksi terhadap garis y = -x – Refleksi terhadap titik asal – Proyeksi ortogonal pada sumbu y

TERIMA KASIH