TRANSFORMASI LAPLACE Matematika Lanjut 2 Achmad FahruroziUniversitas Gunadarma
- Slides: 18
TRANSFORMASI LAPLACE Matematika Lanjut 2 Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma
Definisi: • Transformasi Laplace adalah transformasi dari suatu fungsi waktu f(t), t≥ 0 menjadi fungsi frekuensi F(s). Transformasi dilakukan dengan operasi perkalian dan integrasi yang didefinisikan sebagai berikut: L{f(t)} = = F(s) Dimana: e = bilangan Euler = 2. 71828…. . s = konstanta frekuensi kompleks • Faktor perkalian membuat fungsi F(s) konvergen untuk batasan s tertentu. • Notasi L disebut operator Laplace. Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma
• Contoh: 1. Tentukan transformasi Laplace dari fungsi Jawab: L{f(t)} = Untuk s > 0, akan berlaku: Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma !
2. Tentukan transformasi Laplace dari fungsi Jawab: Sekali lagi, untuk s > 0, akan berlaku: Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma !
• Dengan demikian, secara umum transformasi Laplace untuk fungsi waktu adalah: L{tn} = F(s) = ; dengan syarat s > 0 • Coba anda buktikan!! • Bagaimana jika s ≤ 0? ? Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma
• Dengan menggunakan definisi transformasi Laplace dan melakukan operasi integrasi seperti pada contoh-contoh sebelumnya, maka akan diperoleh hasil transformasi Laplace untuk beberapa fungsi umum sebagai berikut: f(t) F(s) 1 Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma
Kilasan Fungsi Gamma • Notasi Г menyatakan fungsi Gamma, yaitu fungsi yang didefinisikan sebagai berikut: • Memiliki sifat: , dan • Akan dipelajari lebih lanjut dalam bab berikutnya. Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma
• Perhatikan contoh berikut: L{2 t+t} = • Dengan menggunakan sifat integral, akan diperoleh: = L{t 2} + L{2 t} Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma
Sehingga secara umum untuk sembarang fungsi waktu f(t), g(t) dan sembarang skalar k, berlaku: L{k. f(t) ± g(t)} = k. L{f(t)} ± L{g(t)} Dengan kata lain, transformasi Laplace memenuhi sifat linieritas terhadap penjumlahan dan perkalian skalar. Dan operator Laplace L merupakan operator linier. • Sifat linieritas dari transformasi Laplace ini dapat digunakan untuk menghitung hasil transformasi Laplace dari fungsi-fungsi yang melibatkan penjumlahan dua fungsi atau lebih dan perkalian skalar didalamnya. Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma
Transformasi Laplace untuk Fungsi Tangga Satuan • Definisi fungsi tangga: Untuk sembarang bilangan riil a, maka fungsi : disebut fungsi tangga satuan. • Transformasi Laplace untuk fungsi tangga s(t-a) adalah: L{ }= ; dengan syarat s > 0 Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma
Soal Latihan: Tentukanlah transformasi Laplace dari fungsi-fungsi waktu berikut: 1. 2. 3. 4. 5. Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma
Invers dari Transformasi Laplace • Hasil transformasi Laplace dari suatu fungsi waktu yaitu F(s) dapat dikembalikan lagi menjadi fungsi asalnya, dengan operator L-1 yang disebut invers dari transformasi Laplace. Secara matematis dapat ditulis: Jika L{f(t)} = F(s), maka L-1{F(s)} = f(t) • Sehingga, L-1 dst… Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma
• Contoh: L-1 = 2. L-1 L-1 = = Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma
Teorema-Teorema dalam Transformasi Laplace • Teorema 1 [Transformasi Laplace dari Turunan Fungsi] L {f’(t)} = s. L{f(t)} – f(0) dimana f(0) adalah nilai awal untuk fungsi f, atau disebut juga initial value • Teorema 2 [Transformasi Laplace dari Turunan Fungsi] L{fn(t)} = sn. L{f(t)}-sn-1. f(0)-sn-2. f’(0)-sn-3. f”(0)- …. . – f(n-1)(0) • Teorema 3 [Teorema Translasi Pertama] Jika L{f(t)} = F(s), maka L {eatf(t)} = F(s-a). Sehingga juga L-1{F(s-a)} = eatf(t) • Teorema 4 [Teorema Translasi Kedua] Jika L{f(t)} = F(s), maka L {. f(t)} = e-as. F(s) Sehingga juga L-1{e-as. F(s)} =. f(t) Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma
• Teorema 5 Jika L{f(t)} = F(s), maka L {f(at)} =(1/a). F(s/a) Sehingga juga L-1 {F(s/a)} = a. f(at) • Teorema 6 Jika L{f(t)} = F(s), maka untuk n =1, 2, 3, … berlaku L {tnf(t)} = (-1)n. F(n)(s) Sehingga berlaku juga L-1{F(n)(s)} = (-1)ntnf(t) • Teorema 7 [Teorema Fungsi Periodik] Jika f(t) adalah fungsi periodik dengan periode P > 0, yaitu f(t+P) = f(t) maka L {tnf(t)} = Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma
• Teorema 8 [Teorema Pengintegralan] Jika L{f(t)} = F(s), maka L Sehingga juga berlaku L-1 • Teorema 9 Jika ada dan L{f(t)} = F(s), maka L Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma
• Teorema 10 [Teorema Konvolusi] Jika L{f(t)} = F(s) dan L{g(t)} = G(s), maka L Sehingga juga berlaku: L-1{F(s). G(s)} = Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma
• Soal Latihan: Buku diktat halaman 262 -265. Soal nomor 28 -33!! Buku diktat halaman 288 -270. Soal nomor 39 -44!! Achmad Fahrurozi-Universitas Gunadarma
- Teori transformasi galileo
- Invers transformasi laplace
- Jnos refleksi
- Laplace inversa
- Laplace transform tabel
- Laplace transform imaginary roots
- Transformasi laplace
- Laplace transform
- Laplace transform formula
- Transformasi laplace
- Sifat transformasi laplace
- Kurva transformasi produk matematika ekonomi
- Ridwansyah yusuf
- Benny mutiara
- Achmad jazidie
- Achmad safiun
- Patogenesis dermatitis kontak iritan
- Rules of ijarah
- Slizký jako