Transformasi Laplace Ditemukan oleh PierreSimon Marquis de Laplace

Transformasi Laplace Ø Ditemukan oleh Pierre-Simon Marquis de Laplace (1749 -1827), pakar matematika dan astronomi Perancis. Ø Prinsipnya mentransformasi sinyal/sistem kontinyu dari ranah waktu ke ranah-s Ø Mirip dengan transformasi Fourier, hanya jw digantikan oleh s. Ø Transformasi Laplace banyak digunakan di bidang fisika, optik, kendali dan pengolahan sinyal. 1

Tujuan Ø Transformasi Laplace digunakan untuk menyelesaikan suatu persamaan diferensial (PD) yang rumit dan persoalan nilai awal. Ø Prosedur utama dalam penyelesaiannya adalah: 1. Mentransformasi (Laplace) persamaan diferensial yang sulit menjadi persamaan yang lebih sederhana yang disebut persamaan pengganti. 2. Menyelesaikan persamaan pengganti dengan manipulasi/perhitungan aljabar biasa. 3. Mentransformasikan kembali (invers Laplace) solusi dari persamaan pengganti untuk mendapatkan solusi dari persamaan semula. 2

Prosedur tersebut bisa digambarkan sbb. : 3

Ø Proses transformasi Laplace pada prinsipnya sama dengan proses penggunaan logaritma (ingat, logaritma adalah merupakan bentuk transformasi juga). Ø Penggunaan logaritma akan menyederhanakan operasi seperti perkalian, pembagian, pangkat, akar, dlsb. 4

Ø Contoh : Misalkan kita ingin menghitung perkalian dari dua bilangan 25, 735 dan 15, 147 dengan menggunakan logaritma. Maka yang pertama dilakukan adalah mentransformasikan kedua bilangan ini dengan mengambil nilai logaritmanya. è log (25, 735) = 1, 4105 ; log (15, 147) = 1, 1803 è Hasilnya dijumlahkan : 1, 4105 + 1, 1803 = 2, 5908 è Lalu dilakukan proses transformasi balik (inverse transformation) dengan mengambil nilai antilogaritma-nya : 102, 5908 = 389, 7624 è Hasilnya merupakan perkalian dari dua bilangan yang diinginkan. Ø Waktu yang diperlukan untuk melakukan manipulasi logaritma pada umumnya lebih cepat dibanding perkalian langsung. 5

ØProses penyelesaian persamaan diferensial menggunakan transformasi Laplace : s 6

Langkah-langkah : Ø Dari persamaan diferensial yang diberikan, dicari nilai transformasi Laplace yang bersesuaian dari tabel transformasi Laplace. Ø Kondisi awal disisipkan dan transformasi yang telah didapat dimanipulasikan lagi secara aljabar sehingga menghasilkan nilai yang telah direvisi. Ø Akhirnya ditentukan inverse transformasi Laplace dari nilai yang telah direvisi, juga dengan menggunakan tabel. è Merupakan nilai yang diinginkan. è Pada umumnya, cara dengan transformasi Laplace sangat menghemat waktu jika dibandingkan dengan cara konvensional. 7

Transformasi Laplace f(t) yang Umum Dijumpai Ø Transformasi Laplace dari fungsi f(t) : (3. 1) Ø Di mana s merupakan bilangan kompleks dengan nilai s = s+jw. Simbol £ menunjukkan “transformasi Laplace dari”. Ø Tidak semua fungsi f(t) bisa ditransformasikan ke dalam Laplace. Sebuah fungsi dapat ditransformasikan ke dalam Laplace jika : untuk s 1 positip dan real (3. 2) 8

Tabel Transformasi Laplace 9

Contoh : 10

Contoh : 11

Contoh : 3. 12

13

Penyederhanaan Laplace pada komponen 14

Langkah untuk mengaplikasikan transformasi Laplace dalam menyelesaikan masalah rangkaian listrik : 1. Tentukan persamaan diferensial dalam ranah t dari rangkaian listrik dengan menggunakan hukum Ohm atau hukum Kirchoff; 2. Bentuk persamaan pembantu dalam ranah s dengan menggunakan transformasi Laplace; 3. Substitusikan nilai awal atau syarat batas yang diberikan (kalau ada) ke dalam persamaan pembantu; 4. Selesaikan persamaan pembantu dengan perhitungan aljabar, termasuk dengan metode jumlahan pecahan parsial; 5. Finalisasi menggunakan invers transformasi Laplace untuk menentukan solusi akhir. 15

Penyederhanaan Laplace pada komponen 16

Penyederhanaan Laplace pada komponen 17

18

19

20

21

22

Contoh-Contoh dalam Rangkaian Listrik Soal 1 : Tentukan besar arus yang mengalir dalam rangkaian berikut ini jika saklar ditutup pada saat t = 0. Penyelesaian : dengan menggunakan hukum Kirchoff-II diperoleh : 23

Jadi, besarnya arus yang mengalir adalah sebesar : 24

Soal 2 : Tentukan besar arus yang mengalir jika saklar ditutup pada saat t =0 dalam rangkaian berikut ini. Penyelesaian : dengan menggunakan hukum Kirchoff-II diperoleh : 25

26