TRANSFORMASI GEOMETRI Kelas XII IPA Oleh Dra Heni

TRANSFORMASI GEOMETRI Kelas : XII IPA Oleh Dra Heni Rochaeni SMA Negeri I Cileunyi

“Merancang dan menggunakan sifat-sifat dan aturan yang berkaitan dengan matriks, vektor, dan transformasi, dalam pemecahan masalah “

1. Menggunakan translasi dan transformasi geometri yang mempunyai matriks dalam pemecahan masalah

1. Menjelaskan arti geometri dari suatu transformasi di bidang 2. Menjelaskan operasi translasi pada bidang beserta aturanya 3. Menentukan persamaan transformasi rotasi pada bidang beserta aturan dan matriks rotasinya 4. Menjelaskan operasi refleksi pada bidang beserta aturanya 5. Menentukan persamaan transformasi refleksi pada bidang beserta aturan dan matriks 6. Menjelaskan operasi dilatasi pada bidang beserta aturanya 7. Menentukan persamaan transformasi dilatasi pada bidang beserta aturan dan matriks 8. Menentukan luas daerah dari suatu bidang hasil dilatasi

2. Menentukan komposisi dari beberapa transformasi geometri beserta matriks transformasinya.

1. Menjelaskan arti geometri dari komposisi transformasi di bidang 2. Menentukan aturan transformasi dari komposisi beberapa transformasi 3. Menentukan matriks transformasi dari komposisi beberapa transformasi

1. Translasi 2. Refleksi 3. Rotasi 4. Dilatasi

Translasi adalah perpindahan setiap titik pada bidang dengan jarak dan arah tertentu dan dinotasikan oleh A(x, y) A 1(x+a, y+b)

A 1(x+a, y+b) b a A(x, y) Persamaan Tranformasi : x 1 y 1 = x+a y+b

1. Tentukan bayangan titik A(2, 3) jika ditranslasi dengan faktor T Penyelesaian : x 1 y 1 = 2+1 3+5 = 0 x y = = x+1 y+5 2 -1 0 -5 5 3 8 2. Tentukan Titik P (x, y) jika ditranslasikan dengan faktor T P adalah P 1 (2, 0) Penyelesaian : 2 1 1 5 bayangan

Refleksi adalah transformasi yang memindahkan titik pada bidang dengan menggunakan sifat bayangan cermin (Pencerminan)

1. Refleksi terhadap sumbu x 2. Refleksi terhadap sumbu y 3. Refleksi terhadap garis y = x 4. Refleksi terhadap garis y = - x 5. Refleksi terhadap garis x = a 6. Refleksi terhadap garis y = b

Matriks Transformasi A(x, y) Mx = 1 0 0 -1 Persamaan Transformasi x 1 A 1(x, - y) y 1 = 1 0 x 0 -1 y

A 1(-x, y) Matriks Transformasi My = -1 0 A(x, y) Persamaan Transformasi : 0 1 x 1 -1 0 x y 1 = 0 1 y

A 1( y, x) y=x Matriks Transformasi 0 1 My=x = 1 0 A(x, y) Persamaan Transformasi : x 1 y 1 = 0 1 x 1 0 y

A(x, y) Matriks Transformasi My=-x = A 1( -y, -x) y=-x 0 -1 -1 0 Persamaan Transformasi x x 1 0 -1 = y y 1 -1 0

Persamaan Transformasi A 1( A(x, y) x=a 2 a-x, y) x 1 y 1 = -1 0 x 0 y 1 + 2 a 0

A 1(x, 2 b-y) y=b A(x, y) Persamaan Transformasi : x 1 y 1 = 1 0 x 0 -1 y + 0 2 b

Rotasi adalah transformasi yang memindahkan titik pada bidang dengan perputaran yang ditentukan oleh pusat rotasi, besar sudut rotasi dan arah sudut rotasi

Rotasi dengan pusat P(0, 0) Matriks Transformasi A 1(x cos –y sin , x sin + y cos ) M = cos -sin cos A(x, y) Persamaan Transformasi : x 1 y 1 = cos sin -sin cos x y

Rotasi dengan pusat P(a, b) A 1 [a+(x-a) cos –(y-b) sin , b+(x-a) sin + (y-b) cos ] Persamaan Transformasi A(x, y) x 1 y 1 P(a, b) = cos -sin x-a sin y-b cos a + b

Dilatasi adalah suatu transformasi yang mengubah ukuran suatu bangun tanpa merubah bentuk bangun itu. Suatu dilatasi ditentukan oleh pusat dilatasi dan faktor skala dilatasi

D[0, k] C 1 A(x, y) A 1( kx, ky ) C A 1 A P(0, 0) B B 1 Persamaan Transformasi x 1 k 0 x = 1 y 0 k y

C 1 C P(a, b) A 1 A B Persamaan Transformasi x 1 k 0 x-a = + 1 y 0 k y-b B 1 a b

L 1 L P(a, b) Dengan dilatasi D[O, k] L 1= L. k 0 0 k

Dilatasi D[0, 2] R 1(0, 4) L 1 = 8 satuan luas L = 2 satuan luas R(0, 2) LL 1 1 L P 1 = P(0, 0) L Q(2, 0) Q 1(4, 0)

No 1. Transformasi Pencerminan terhadap Sumbu x 2. Sumbu y 3. Titik asal 4. Garis y = x 5. Garis y = - x Pemetaan (x, y) (x, -y) Matriks x 1 1 0 x [y ] = [0 -1] [ y ] 1 x 1 -1 0 x 0 -1 y (x, y) (-x, y) [y ] = [ (x, y) (-x, -y) [x ] = [0 -1] [ x ] (x, y) (y, x) (-y, -x) 1 1 ][ ] -1 0 y 1 y x 1 0 1 y 1 1 0 x 1 0 -1 [ ]=[ x ][ ] y [ ] = [-1 0] [ x ] y 1 y

No Transformasi 1. Rotasi P(0, 0) dengan sudut 2. P(a, b) dengan sudut Pemetaan Matriks x 1 cos -sin x 1 cos y (x, y) (x 1, y 1) [y ] = [sin (x, y) (x 1, y 1) [ ] = sin [ cos ][ ]+ y-b y a [ ] x 1 ][ ] cos -sin x-a 1 b Dilatasi 1. P(0, 0) dengan skala k (x, y) (x 1, y 1) 2. P(a, b) dengan skala k (x, y) (x 1, y 1) x 1 k 0 x [y ] = [0 k][y ] [ ]=[ 1 x 1 k 0 x-a a y 1 0 k y-b b ][ ]+[ ]

Suatu transformasi dilanjutkan dengan transformasi lainnya. Misalkan T 1 = a b c dilanjutkan dengan T 2 = d , maka T 2 OT 1 adalah c 2 T 1 1 a b : d T 2 3 a+c b+d

Contoh lain : Transformasi titik A dengan R 90 dilanjutkan dengan. R 45 Maka A 11 adalah …. A 11 A 45 90 P(0, 0)

Kurva y = f(x) di transformasikan dengan matriks A , maka: x 1 y 1 =A x x y y = A-1 x 1 y 1

Soal : Persamaan garis y = 2 x+4 dicerminkan terhadap garis y = x dilanjutkan rotasi R 270 dengan P(0, 0) maka bayangan dari garis tersebut adalah …. Lihat pembahasan di halaman berikut!!

y=x y = 2 x + 4 R 270 y 11 Matriks y = x adalah untuk R 270 adalah 0 1 1 0 0 1 -1 0 dan matriks sehingga persamaan garis bayangannya adalah…

y = 2 x + 4 x y = x 1 y 1 = 0 1 x 1 1 0 y 1 0 -1 x 11 1 0 y 11 = y 1 x 1 = 2 y 1 + 4 -y 11 = x 11 -y 11 = 2 x 11 + 4 Sehingga bentuk akhir dari transformasi berikut adalah…. y = 2 x + 4 x = - 2 y + 4 - y = 2 x + 4