Transformasi geometri Definisi q Pemindahan objek titik garis
Transformasi geometri
Definisi : q. Pemindahan objek (titik, garis, bidang datar) pada bidang. q. Perubahan yang (mungkin) terjadi: • Kedudukan / letak • Arah • Ukuran
Jenis-jenis Transformasi Geometri • • • Proyeksi Pergeseran tanpa merubah bentuk(Translasi) Pencerminan (Refleksi) Pemutaran (Rotasi) Perkalian bangun/penskalaan (Dilatasi) Pergeseran merubah bentuk(shear)
ØProyeksi • Suatu titik atau sistem diproyeksikan terhadap suatu garis acuan sehingga setiap titik atau sistem tersebut sejajar dengan garis acuan. • Proyeksi merupakan jarak terpendek. Jika titik A diproyeksikan terhadap sumbu x, maka hasil tersebut adalah titik B dengan AB merupakan jarak terpendek titik A terhadap sumbu x. Jika diproyeksikan terhadap sumbu y, maka hasilnya adalah titik C dengan AC merupakan jarak terpendek titik A terhadap y sumbu y A C O B x
Proyeksi titik terhadap garis x= y Titik A(a, b) diproyeksikan pada garis y = x menghasilkan titik A’(a’, b’) Cara mencari matrik transformasinya adalah sebagai berikut : Perhatikan bahwa : a= r cos θ dan b = r sin θ a’=OA’ cos 45 dan b’ = OA’ sin 45 OA’=r cos (45 – θ) Maka : a’= r cos (45 – θ) cos 45 = r cos 45 cos θ + r cos 45 sin θ = Karena a’ = b’, maka b’ =
Sehingga diperoleh : Matrik transformasi untuk titik yang diproyeksikan pada garis y = x
Ø Translasi • Suatu titik atau sistem mengalami pergeseran namun tidak merubah bentuk, karena setiap titik penyusun sistem mengalami pergeseran yang sama. • Contoh : Sebuah titik P(x, y) ditranslasikan sejauh a satuan sepanjang sumbu x dan y satuan sepanjang sumbu y, diperoleh peta titik P’(x’, y’). y’ Y P’(x’, y’) = P’(x+a, y+b) a T= b y P(x, y) b a X O x x’
Translasi dari titik P ke titik P’ secara linier. P’(x’, y’) dy P(x, y) dx x’ = x + dx y’ = y + dy Model Matrik:
• Sebuah buku yang terletak di atas meja digeser sejauh h, maka setiap titik yang menyusun buku tersebut harus bergeser sejauh h juga. Buku bergeser dalam satu arah yaitu arah x positif
• Bagaimana jika buku digeser ke arah x dan y sekaligus ?
• Penulisan proses translasi titik A menjadi titik M, dan titik B menjadi titik N dengan adalah :
Contoh soal : Tentukan bayangan dari lingkaran (x – 2)2 + (y – 1)2 = 9 jika ditranslasikan oleh : Jawab : Misalkan titik P(a, b) adalah titik pada lingkaran, sehingga persamaan dapat ditulis : (a – 2)2 + (b – 1)2 = 9. Titik P ditranslasi dengan diperoleh titik T’ sbb :
a = a’ – 3 dan b = b’ – 3 Maka : a’ = a + 3 dan b’ = b + 3 Substitusi ke persamaan : (a’ – 3– 2)2 + (b’ – 4– 1)2 = 9 (a’ – 5)2 + (b’ – 5)2 = 9 Jadi bayangan lingkaran : (x – 5)2 + (y – 5)2 = 9 Cara lain : Persamaan lingkaran mempunyai pusat (2, 1). Dengan dilakukan translasi pusat lingkaran diperoleh : Jadi bayangan lingkaran : (x – 5)2 + (y – 5)2 = 9
ØPencerminan (refleksi) • Transformasi pencerminan /refleksi menghasilkan bayangan yang tergantung pada acuannya.
• Refleksi terhadap sumbu x Refleksi titik A (a, c) terhadap sumbu x menghasilkan bayangan yaitu A’(a’, c’), demikian juga untuk titik B dan titik C. Diperoleh persamaan bahwa : a’ = a, b’ = b, c’= -c dan seterusnya sehingga persamaan matrik transformasinya adalah : Refleksi ditulis dengan notas. I : A(a, c) Dengan notasi matrik : sumbu x A’(a, -c)
• Refleksi terhadap sumbu y Sama seperti refleksi terhadap sumbu x menghasilkan persamaan a’= - a, b’ = - b dan c’ = c dan seterusnya. sehingga persamaan matrik transformasinya adalah : Refleksi ditulis dengan notas. I : A(a, c) Dengan notasi matrik : sumbu y A’(-a, c)
• Refleksi terhadap titik asal (0, 0) Menghasilkan persamaan : a’= - a, dan c’ = -c, b’= - b, dan c’ = -c, d’= - d, dan c’ = -c, sehingga persamaan matrik transformasinya adalah : Refleksi ditulis dengan notas. I : A(a, c) titik(0, 0) A’(-a, -c) Dengan notasi matrik :
• Refleksi terhadap garis y = x Menghasilkan persamaan : a’= c, dan c’ = a, b’= c, dan c’’ = b, d’= e, dan e’ = d dan seterusnya sehingga persamaan matrik transformasinya adalah : Refleksi ditulis dengan notas. I : A(a, c) y=x A’(c, a) Dengan notasi matrik :
• Refleksi terhadap garis y = - x Menghasilkan persamaan : a’= -c, dan c’ = -a, b’= -c, dan c’’ = -b, d’= -e, dan e’ = -d dan seterusnya, sehingga persamaan matrik transformasinya adalah : Refleksi ditulis dengan notas. I : A(a, c) y =- x A’(-c, -a) Dengan notasi matrik :
• Refleksi terhadap garis y = h Sumbu x digeser sejauh h, menghasilkan persamaan : a’= a, dan c’ = 2 h-c, b’= b, dan c’ = 2 h-c, d’= d, dan e’ = 2 h-e, sehingga notasi persamaan matrik transformasinya adalah :
Bukti : Sumbu-x dipindahkan sejauh h sehingga sumbu-x yang baru adalah y = h. Maka koefisien setiap titik berubah menjadi (x’, y’) dengan : Kemudian titik tersebut direfleksikan pada sumbu-x yang baru menjadi : Tahap terakhir, menggeser sumbu-x yang baru ke sumbu-x semula dengan memakai translasi diperoleh:
• Refleksi terhadap garis x = k Sekarang yang digeser adalah sumbu y sejauh k, menghasilkan persamaan : a’= 2 k-a, dan c’ = c, b’= 2 k-b, dan c’ = c, d’= 2 k-d, dan e’ = e, sehingga notasinya adalah : A(a, c) Dengan notasi matrik : x=k A’(2 k-a, c)
Contoh Soal : Tentukan bayangan jajaran-genjang ABCD dengan titik sudut A(-2, 4), B(0, -5) C(3, 2) dan D(1, 11) jika direfleksikan terhadap sumbu-x, kemudian dilanjutkan dengan refleksi terhadap sumbu-y. Jawab : Penyelesaian soal tersebut dilakukan dengan dua tahap yaitu mencari bayangan jajaran-genjang ABCD dari refleksi terhadap sumbu-x, kemudian bayangan yang terjadi direfleksikan terhadap sumbu-y.
Refleksi terhadap sumbu-x adalah sebagai berikut :
Selanjutnya titik A’, B’, C’ dan D’ direfleksikan pada sb-y
Hasil akhir diperoleh jajaran-genjang A’’B’’C’’D’’ dengan titik sudut A’’(2, -4), B’’(0, 5), C’’(-3, -2) dan D’’(-1, -11). Coba pikirkan : Bagaimana cara mendapatkan matrik transformasi pada suatu sistem yang mengalami refleksi lebih dari satu kali tetapi penyelesaiannya hanya dengan mengunakan satu tahap saja ?
ØPerputaran (rotasi) • Rotasi adalah perpindahan obyek dari titik P ke titik P’, dengan cara diputar dengan sudut y P’(x’, y’) x’ = x cos( ) - y sin( ) y’ = x sin( ) + y cos( ) P(x, y) x
• Untuk memudahkan perhitungan, maka dibuat notasi dalam bentuk matrik : dengan : - sin θ dan cos θ adalah fungsi linier dari θ - x’ kombinasi linier dari x dan y - y’ kombinasi linier dari x dan y
Bukti : Titik A berpindah ke titik A’ sejauh α. Dalam koordinat kutub, titik A(a, b) ditulis : A(r cos θ, r sin θ). Sedangkan A’(a’, b’) ditulis : A’(r cos (θ + α), r sin (θ + α)). Maka, diperoleh : Matrik transformasi untuk titik yang dirotasi terhadap titik pusat O (0, 0)
Ø Penskalaan (dilatasi) • Merupakan transformasi suatu titik atau sistem terhadap suatu acuan yang menyebabkan jarak titik atau sistem berubah dengan perbandingan tertentu. (Perpindahan titik P ke titik P’ dengan jarak titik P’ sebesar m kali titik P) y P’(x’, y’) my. y P(x, y) mx. x x x’ = mx x y’ = my y
• Dalam bentuk matrik dituliskan : • Transformasi ini tidak mengalami perubahan bentuk, hanya mengalami perubahan ukuran karena jarak titik-titik penyusun berubah dengan perbandingan tertentu terhadap acuan.
• Dikenal suatu istilah faktor dilatasi k yang menyebabkan perbesaran atau perkecilan suatu sistem. • Jika nilai k (bilangan nyata): Ø k> 1 : hasil dilatasi diperbesar Ø -1<k<1 : hasil dilatasi diperkecil Ø k = 1 : hasil dilatasi sama dengan aslinya. • Contoh : Gambar disamping dilakukan dilatasi dengan faktor k = 2. Carilah titik-titik A’, B’ C’ dan D’ !
• Jawab : Transformasi dapat dilakukan dengan : Jadi hasil dilatasi terhadap titik O(0, 0): A’(4, 6), B’(10, 6) C’(12, 10), D’ (6, 10) Notasi : (0, k) A(a, b) A’(ka, kb)
ØShear • Pergeseran pada suatu sistem dengan terjadinya perubahan bentuk disebut transformasi shear. • Biasanya digunakan dalam memanipulasi grafik pada komputer. Untuk memberi kesan lain pada obyek jika dilihat dari sudut pandang berbeda. • Ada dua macam transformasi shear yaitu shear terhadap sumbu-x dan shear terhadap sumbu-y
• Shear terhadap sumbu-x Perubahan terjadi pada absis titik-titik pada ujung sistem yang tidak terletak pada sumbu-x dengan faktor shear k (k : bilangan nyata)
• Shear terhadap sumbu-y Perubahan terjadi pada absis titik-titik pada ujung sistem yang tidak terletak pada sumbu-y dengan faktor shear k (k : bilangan nyata)
Contoh soal : Tentukan titik koordinat bayangan dari sebuah bangun segitiga ABC dengan A(2, 0), B(6, 0), C(0, 4) jika segitiga tersebut di shear terhadap sumbu-x dengan faktor shear k=3 serta sketsakan bayangan yang terbentuk. Jawab : Sketsa bayangan :
Koordinat Homogen • Koordinat homogen adalah representasi koordinat 2 dimensi dengan 3 vektor Koordinat homogen v v
ØKomposisi Transformasi • Komposisi transformasi adalah menggabungkan beberapa tranformasi, sehingga dapat menghasilkan bentuk transformasi yang lebih kompleks • Dapat dilakukan 3 transformasi dalam sebuah matrik tunggal : - operasi yang dilakukan adalah perkalian matrik - ketika mentransformasikan suatu titik, tidak ada penangan khusus : matrik. Vektor - transformasi gabungan : matrik
• Macam komposisi transformasi : v Rotasi sebagai titik perubahan : Translasi – Rotasi – Translasi v Skala sebagai titik perubahan : Translasi – Skala – Translasi v Perubahan sistem koordinat : Translasi – Rotasi – Skala
Latihan : 1. Jika titik (a, b) direfleksikan terhadap sumbu-y, kemudian dilanjutkan dengantransformasi sesuai matrik menghasilkan titik (1, -8). Tentukan nilai a dan b. 2. Tentukan matrik yang bersesuaian dengan dilatasi pusat (0, 0) dan faktor skala 3 dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis y = x. 3. Buktikan bahwa : merupakan matrik transformasi untuk titik yang dirotasi terhadap titik P(m, n)
- Slides: 49