TRANSFORMAES DE LORENTZ Evento Algo que realmente acontece

TRANSFORMAÇÕES DE LORENTZ Evento: • Algo que realmente acontece num ponto do espaço e do tempo. • Dois observadores, em referenciais diferentes, nunca discordam quanto à ocorrência do evento. • Eles podem discordar quanto à descrição do evento.

• Maria, no referencial SM , vê um evento ocorrendo no ponto (x. M , y. M , z. M ; t. M ). • João vê o mesmo evento ocorrendo no mesmo ponto do espaço tempo, que no referencial SJ , é descrito pelas coordenadas (x. J , y. J , z. J ; t. J ). J M

x 2 M + y 2 M + z 2 M - c 2 t 2 M = 0 Fig. 1 -(a): evolução do pulso luminoso no referencial de Maria

x 2 J + y 2 J + z 2 J - c 2 t 2 J = 0 Fig. 2 -(a): evolução do pulso luminoso no referencial de João

x 2 M + y 2 M + z 2 M - c 2 t 2 M = 0 (1) x 2 J + y 2 J + z 2 J - c 2 t 2 J = 0 (2) Suposição: as transformações são lineares. Essa suposição visa preservar a HOMOGENEIDADE DO ESPAÇO e a UNIFORMIDADE DO TEMPO nos dois referenciais. Em outras palavras, a Física não pode depender da escolha das origens das coordenadas espaciais e temporais. Em uma transformação linear as novas coordenadas são combinações lineares das antigas. Um exemplo de transformação linear seria: x. M = a. x. J + b. t. J Na relatividade, uma mudança de referencial não pode alterar o paralelismo entre 2 planos. Por isso as coordenadas de um ponto não se alteram nas direções perpendiculares ao movimento relativo.

z z v J M x y y x x. J = x. M (3) z J = z. M (4) Como não sabemos nada sobre as demais coordenadas, vamos representá-las por transformações lineares genéricas: y. J = a 1. y. M + a 2. t. M (5) t. J = a 3. t. M + a 4. y. M (6) O problema é achar os coeficientes ai em função de v, já que é a velocidade relativa que diferencia os referencias SM e SJ.

Como temos 4 incógnitas a serem determinadas, temos a necessidade de igual nº de condições relacionando os pontos de SM e SJ. Condição 1: Decorre do fato de que João, na origem de SJ , move-se com velocidade “v” em relação a SM. Num instante t 0 M, qualquer o origem de SJ será dada, em SM , por y 0 M = v. t 0 M. Em SJ , por outro lado, essa posição é sempre 0, já que João está fixo na origem do seu sistema. A (5) pode ser escrita: 0 = a 1. v. t 0 M + a 2. t 0 M a 2 = - v. a 1 (7) (8) Condição 2: Maria está fixa no referencial SM enquanto que, no referencial SJ , sua posição é sempre y 0 J = -v. t 0 J. Assim as equações (5) e (6) nos fornecem: -v. t 0 J = a 2. t 0 M (9) t 0 J = a 3. t 0 M (10) Dividindo (9) por (10) e usando a (8): a 3 = a 1 (11)

Para determinar a condição 3, supomos que um grão de poeira seja iluminado pela passagem da frente de onda emitida por Maria. A descrição desse evento, que chamaremos de E, nos dois referenciais, permitirá que encontremos os coeficientes das transformações de Lorentz. Evento E: Maria: (x. EM , y. EM , z. EM ; t. EM ) João: (x. EJ , y. EJ , z. EJ ; t. EJ ) Estes pontos estão vinculados entre si pelo fato de pertencerem à frente de onda, portanto, obedecem às eq. (1) e (2): (x. EJ)2 + (y. EJ)2 + (z. EJ)2 – c 2(t. EJ)2 = (x. EM)2 + (y. EM)2 + (z. EM)2 – c 2(t. EM)2 (12) As equações (3) e (4) permitem escrever: (y. EJ)2 – c 2(t. EJ)2 = (y. EM)2 – c 2(t. EM)2 (13) Usando (5), (6), (8) e (11), obtemos: a 12(y. EM - v t. EM )2 - c 2(a 1 t. EM + a 4 y. EM )2 = (y. EM)2 – c 2(t. EM)2 (14)

Exemplos Exemplo 1: A dilatação do tempo • Eventos: Origem espaço temporal dos 2 referenciais: o acendimento dos pavios. Evento de referência Maria: (0, 0, 0; 0) João : (0, 0, 0; 0)

Fig. 3: Sucessão de eventos no referencial da Maria J J M

Sucessão de eventos no referencial de Maria Tempo no ref. da Maria J Instante t. M = 0 y M J y M J y M

Sucessão de eventos no referencial de João Instante t. J = 0 J y Tempo no ref. de João M J M y J y M

Exemplo 2: mais dilatação do tempo 0 1 0 M 1 1 5

J 0 0 0 M 1 0 M 2 0 0 0 M 3 0 0 0 M 4 câmaras J 0 0 0 M 1 Fig. -5: Foto dos relógios J e M, tirada por Maria; nesta foto não está representada a contração do relógio de João

Descrição dos eventos • Evento a, de referência – foto dos relógios J e M 1: Maria: (0, 0, 0; 0) João : (0, 0, 0; 0) • Evento b, foto dos relógios J e M 2: Maria: (0, L, 0; tb. M) João : (0, 0, 0; tb. J ) • Evento c, foto dos relógios J e M 3: Maria: (0, 2 L, 0; tc. M) João : (0, 0, 0; tc. J ) • Evento d, foto dos relógios J e M 4: Maria: (0, 3 L, 0; td. M) João : (0, 0, 0; td. J )

J 0 4 8 0 6 0 M 2 Fig. 6: foto dos relógios J e M 2 tirada por Maria

A uniformidade do tempo foto 1 2 3 4 t. J(s) 0 48 96 144 t. M(s) 0 60 120 180 A “velocidade” de passagem do tempo em cada um dos referenciais é sempre a mesma.