Traitement du Signal Hugues BENOITCATTIN Dpt Tlcommunications Services

Traitement du Signal Hugues BENOIT-CATTIN Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 1

Plan • 1. Les transformées du Traitement du Signal : Fourier, Laplace, Z (1 h), TD • 2. La chaîne de traitement numérique : échantillonnage, quantification, restitution (2 h), TP • 3. Introduction aux signaux aléatoires (4 h), TD • 4. Filtrage numérique (5 h), TD, TP • 5. Filtrage adaptatif (2 h), TP • 6. Architecture des DSP (2 h), TP • 7. Traitement de la parole et du son (8 h), TD TP Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 2

1. Les transformées du TS • Transformée de Fourier – Définition – Échantillonnage et périodisation – Signaux de durée limitée et signaux périodiques – Signaux échantillonnés de durée limitée – Signaux discrets • Transformée de Laplace – Définition – Relation avec la transformée de Fourier • Transformée en Z – Définition – Relation avec la transformée de Fourier – Relation avec la transformée de Laplace Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 3

1. 1 Transformée de Fourier (1811) • Définition • Quelques propriétés – Linéarité – X(f) module |X(f)|, phase Arg[X(f)] – x(t) réel Re[X(f)] paire, Im[X(f)] impaire, module pair, phase impaire – x(t) réel pair X(f) réel pair – x(t) réel impair X(f) imaginaire impair – x(t)*y(t) X(f). Y(f) et x(t). y(t) X(f)*Y(f) Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 4

• Quelques relations – x(t)*d(t-t 0)= x(t-t 0) X(f) exp(-2 jp f t 0) – x(t) exp(2 j p t f 0) X(f-f 0) – x*(t) X*(-f) – x(at) |a|-1 X(f/a) – dnx(t)/dtn (2 j p f )n X(f) • Signaux importants – d(t) 1 – 1(t) ½ d(f) + 1/(2 j p f ) – cos(2 pf 0 t) [d(f-f 0) +d(f+f 0)]/2 et sin(2 pf 0 t) [d(f-f 0) -d(f+f 0)]/2 j – Sd(t+n. T) Fe Sd(f+k. Fe) avec Fe=1/T – Rect(t) 2 a. Sinc(pfa) Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 5

3Échantillonnage et périodisation • Échantillonnage idéal. . . • . . . Transformée de Fourier. . . . périodisation en fréquence. Échantillonnage temporel <=> périodisation en fréquence Échantillonnage en fréquence <=> périodisation temporelle Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 6

3 Signaux de durée finie et signaux périodiques Transformée de x(t) 0 X(f) Fourier T t f Transformée X e (f) inverse de x T (t) 0 Echantillonnage en fréquence Fourier T 2 T 0 1 2 f T T Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 7

3 Signaux échantillonnés de durée finie Transformée de x e (t) 0 X(f) Fourier NT t 0 1 T Périodisation Transformée Echantillonnage X e (f) de Fourier x Te (t) 0 f NT Dpt. Télécommunications, Services & Usages 2 NT Traitement du Signal 0 en fréquence 1 1 NT T f H. Benoit-Cattin 8

3 Transformée de Fourier des signaux discrets • Signal discret x[k] • Transformée de Fourier discrète, périodique Fréquence définie sur la période principale de 0 à 1 ou de -½ à ½ • Fréquence d’échantillonnage réelle Fe=1/Te Fréquence définie de 0 à Fe ou de -Fe/2 à Fe/2 • Mêmes propriétés que la transformée de Fourier des signaux continus Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 9

1. 2 Transformée de Laplace (1820) Introduite pour palier aux limitations de la transformée de Fourier • Définition en posant : Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 10

3 Systèmes différentiels et Laplace Pour les systèmes continus linéaires invariant de réponse impulsionnelle h(t) Causal : N M zéros • Fonction de transfert pôles Système stable ||h(t)||1< Re(pi) < 0 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 11

3 Relations entre Laplace et Fourier • Pour s imaginaire pur, et on retombe sur Fourier H(s)=H(f) • H(f) = H(s) évaluée sur l'axe imaginaire du plan de Laplace • Exemple : h(t)=exp(-at) 1(t) s=j w r j un pôle en s=-a -a v le vecteur du plan complexe reliant les point s et -a Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 12

1. 3 Transformée en Z • Définition Somme de série. . . donc problèmes de convergence ! • Quelques propriétés – Linéarité – Décalage temporel : – Convolution : – Multiplication par série exponentielle : Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 13

3 Systèmes différentiels et TZ Causal : N M • Fonction de transfert H(z)=TZ(h(t)) Système stable |pi|< 1 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 14

3 Relations entre TZ et Fourier z = exp(j 2 pf) on restreint z au cercle unité f=1/4 Im(z) f croissante On retrouve la transformée de Fourier discrète du signal x[k], et sa périodicité f=0 f=1/2 -1 1 Re(z) f=1 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 15

3 Relations entre Laplace et TZ Transformée de Laplace de x[k. T], signal échantillonné : = X(z) avec z=exp(s. T) En posant s = r + jw= r +j 2 pf on obtient z =exp(r. T)exp(j 2 pf. T) c. à. d une périodicite de 1/T dans le plan des Z Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 16

Im(z) Im(s)= w 2 p. Fe=2 p/T f=0 f=1 0 Re(s)=r Plan de Laplace Dpt. Télécommunications, Services & Usages 0 1 Re(z) Plan des Z Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 17

3 Interprétation géométrique de la TZ |a|<1 f=0 f=1 r j -a 0 1 Re(z) Périodicité de X(f) Plan des Z Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 18

2. Chaîne de traitement numérique du signal • Chaîne de traitement numérique • Échantillonnage – Échantillonnage idéal : Th. de Shannon – Filtre anti-repliement – Échantillonnage réel • Quantification – Pas, niveaux, erreur et bruit – Quantification scalaire uniforme linéaire – Quantification scalaire non uniforme, loi de compression • Restitution – Restitution idéale – Restitution réelle Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 19

2. 1 Chaîne de traitement numérique du signal • Avantages des systèmes numériques - Faibles tolérances des composants Sensibilité réduite, Précision contrôlée Reproductibilité, pas de réglage Souplesse, nombre d’opérations illimité Systèmes non réalisables en analogique • Inconvénients - Inconvénients des systèmes numériques Source d’énergie nécessaire Limitations en haute fréquence CAN/CNA Bande passante nécessaire importante Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 20

Filtre passe-bas anti-repliement g(t), G(f) Echantillonneurbloqueur et Convertisseur A/N Système de traitement numérique h[n], H(z) Convertisseur N/A Filtre de restitution r(t), R(f) . . . 5, 9, 11, 16, 18, 17, 14, 17, 20, . . . 6, 9, 12, 15, 18, 17, 13, 17, 19, . . . e( t) x( t) = e( t)* g (t) xe( t ) = å x[k. T ]d( t - k. T ) x[ k ] E( f ) X ( f ) = E( f )G( f ) X e( f ) = X( z ) Dpt. Télécommunications, Services & Usages 1 n X( f - ) å T T y[ k] = x[ k]* h[ k] ya ( t) = y( t)*rect ( t / T ) s ( t) = ya ( t) *r( t) y( t) = å y[k. T]d(t - k. T) Y ( z) = X ( z)H ( z) Ya ( f ) = Y( f ) TSinc (Tf ) S( f ) = Ya( f ) R(f ) Y ( f )périodique Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 21

• Filtre analogique anti-repliement – Eliminer les hautes fréquences • (Echantillonneur-bloqueur) – Maintien du signal à l’entrée du convertisseur • Convertisseur analogique numérique (CAN) – Convertir en binaire l’amplitude des échantillons • Système numérique de traitement – Calcul sur la suite de valeurs binaires • Convertisseur numérique analogique (CNA) – Transformer une suite de valeurs binaires en un signal analogique • (Filtre de restitution) – Eliminer les fréquences indésirables à la sortie du CNA Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 22

2. 2 Echantillonnage • Problème Température Orage Jour Nuit Temps • Mesurer la température mais. . . pour quelle application ? • Bande passante limitée de la chaîne de mesure analogique. • Combien de mesures par jour ? 1 ou. . . 10100 (ou plus !) • Comment ne pas perdre ou déformer l’information «utile» Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 23

3 Echantillonnage idéal Périodisation en fréquence Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 24

3 Echantillonnage idéal : Théorème de Shannon • Si Fe > 2 Fmax alors les spectres périodisés ne se recouvrent pas Reconstitution du signal analogique de départ théoriquement possible • Si Fe < 2 Fmax il y a recouvrement de spectre On ne peut pas reconstituer le signal analogique de départ et l’information est déformée Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 25

3 Filtre anti-repliement • Pour éviter le repliement de spectre on élimine les fréquences contenues dans le signal analogique supérieures à Fe /2 • On utilise un filtre passe-bas analogique dit filtre anti -repliement • Le filtre anti-repliement définit Fmax ! Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 26

3 Illustration : stromboscope Fréquence d’échantillonnage Fe = f 0+e Xe(f) Fréquence apparente e -f 0 -Fe Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal - f 0 F e H. Benoit-Cattin 27

3Échantillonnage réel • Fréquences résiduelles au delà de Fe / 2 – Filtre anti-repliement non idéal – Filtre anti-repliement impossible (CCD) – Bruit de la partie analogique de la chaîne d’acquisition • Effet de l’échantillonneur-bloqueur • Échantillonnage des signaux de fréquence proche de Fe/2 Fe > (2+k) Fmax Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 28

2. 3 Quantification Réduction d ’un espace de valeurs Espace infini de valeurs Espace fini de valeurs niveaux de quantification Écart entre 2 niveaux consécutifs pas (plage) de quantification (D) Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 29

3 Erreur (ou bruit) de quantification xe(t) : signal échantillonné non quantifié xq(t) : signal échantillonné quantifié Le rapport signal sur bruit de quantification PS : puissance du signal m(t) PB : puissance du bruit de quantification Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 30

3 Types de quantification • Quantification scalaire = échantillon par échantillon • Quantification vectorielle = groupe d ’échantillons (vecteur) • Quantification uniforme = plage constante • Quantification non uniforme • Quantification optimale = Erreur minimale (plage+niveaux adaptés) Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 31

3 Quantification scalaire uniforme linéaire • Plage de quantification D = cte • Niveau de quantification = milieu des plages • Nombre de niveaux : Nnq = dyn/D • Erreur de quantification : - D /2 e(t) <+ D /2 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 32

La puissance moyenne du bruit de quantification peut s’écrire : où f( ) désigne la densité de probabilité de , supposée constante : La puissance moyenne du signal dépend de sa densité probabilité. Si elle est de type gaussienne avec mmax=3 Nnq=2 N Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 33

3 Bruit de quantification du CAN • Plage d’entrée du CAN P • Nombre de bits en sortie N • Pas de quantification D = P/2 N Pour P= 8 x (1 ech / 15000 > 4, x) on a : Pour un RSB d’environ 90 d. B (qualité audio) il faut au moins N=16 bits. Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 34

3 Quantification scalaire non uniforme Quantification uniforme (RS/N)q est non constant (peut devenir très faible!) dépend de l’amplitude du signal Erreur de quantification non constante Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 35

• Loi de compression Compression (loi) Quantification uniforme Pré-traitement des valeurs et conservation d ’un quantificateur simple Les faibles amplitudes sont « amplifiées » ou « favorisées » par rapport aux fortes valeurs Loi de compression logarithmique Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 36

• Loi de compression logarithmique A, m Soit m(t) le signal à compresser et mc(t) le signal compressé : Les valeurs de A = 87. 6 et = 255 sont normalisées. (RS/N)q est de l’ordre de 35 d. B pour un niveau d’entrée maximal de 40 d. B Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 37

• Compression logarithmique par segment L’obtention de caractéristiques analogiques de compression et d’expansion réciproques est impossible Approximation par segments 1 1 Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 38

3 Modulation d ’impulsions codées (MIC, PCM) CAN (q = 2 n) m(t) Echantillonnage Quantification Codage fréquence fe q niveaux n bits A chaque valeur échantillonnée et quantifiée MIC mot de n bits -code- Remarque : le codage toujours de longueur fixe à la numérisation Le codage de source est un traitement numérique, bien qu ’une loi de compression ait pour conséquence de réduire la redondance !! Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 39

Exemple : La téléphonie L’utilisation d’un MIC à à compression par segments non uniforme (loi A) permet de coder les 256 niveaux de quantification par : n = log 2 256 =8 bits Fe=8 k. Hz D = 8 *8=64 kbit/s Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 40

2. 4 Restitution 3 Restitution idéale, interpolateur idéal Filtre de X e (f) x (t) e T=1/F t -1/T -F MAX 0 F MAX restitution F =1/T e f 2/T e X(f) x(t) t Dpt. Télécommunications, Services & Usages -F MAX Traitement du Signal 0 F MAX f H. Benoit-Cattin 41

• Interprétation temporelle • Filtrage passe-bas t t x(t ) = xe (t ) * Sinc( ) = å xe [ k. T ]d (t - k. T ) * Sinc( ) T T Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 42

• Interpolateur idéal de Shannon L’interpolateur de Shannon est irréalisable car il correspond à un filtre non causal Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 43

3 Restitution réelle (CNA), interpolateur d ’ordre N x(t) • Cas N=0 T • Conséquences spectrale Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal t H. Benoit-Cattin 44

• Conséquences spectrale, interpolateur ordre 0 Filtre de restitution (analogique, passe-bas) Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 45