Trabajo Prctico N 4 Estructuras Algebraicas 1 Determinar

Trabajo Práctico Nº 4 Estructuras Algebraicas 1. Determinar en cada caso si el par ( G, * ) es grupo a) G 1 = { x / x = 2 k, k Z } ; * es el producto ordinario. b) G 2 = { x / x = 3 k , k N } ; * es la adición c) G 3 = { 1; -1 } ; * es el producto ordinario 2. Sea A = { x R / x = a + b ; a Z b Z }. Comprobar que A es un anillo conmutativo y con unidad con la suma y el producto ordinario de números reales. 3. Sea K = { 0, 1 } y la suma y el producto definidos en K, según las siguientes tablas : * 0 1 0 0 0 1 1 0 1 Probar que estas operaciones definen sobre K una estructura de cuerpo.

4) Completar los siguientes enunciados para que resulten proposiciones verdaderas : En R 2 = C se define la relación de equivalencia : (a, b) (c, d) En R 2 = C se define la adición y la multiplicación mediante (a, b) + (c, d) =. . . . (a, b) * (c, d) =. . . . ii) (C, +) tiene estructura de. . . . (C, *) tiene estructura de. . . . (C, +, *) tiene estructura de. . . iii) Un complejo es real . . . . un complejo es imaginario . . iv) En C es : i 0 = v) Si z = (a, b) i 1 = i 2 = =. . . ; - z =. . ; z -1 = i 3 =. . i 4 q+r= =. . .

5) Resolver las ecuaciones siguientes indicando a qué campo numérico pertenecen las soluciones : a) x 2 – 1 = 0 b) x 2 – 3 = 0 c) x 2 + 1 = 0 d) x 2 + 3 x + 3=0 6) Dados los números complejos : a) Representarlos gráficamente b) Expresar z 1 y z 4 en forma binómica e) Calcular y representar gráficamente f) Calcular : c) Expresar z 2 y z 3 en forma de pares ordenados d) Hallar y representar gráficamente z 4

9) Determinar z tal que : a) 3 z +z = 3 + 5 i c) z + i z = 3 + 5 i b) i z - 2 z = - 6 i 10) Resolver las siguientes ecuaciones en el campo complejo. En todos los casos z es un número complejo ; despejarlo y calcular su valor : 11) Determinar x para que el producto (3 - 6 i) (4 + x i) sea : a) un número real b) un número imaginario puro 12) Si B = { 1, 2, 3, 6 } con las operaciones * y donde * denota mínimo común múltiplo y denota máximo común divisor ; Analizar si (B, *, ) resulta un modelo de Algebra de Boole, donde los neutros son respectivamente 1 y 6.

13) Probar que en un Algebra de Boole las siguientes condiciones son equivalentes : i) a b´ = 0 ii) a * b = b iii) a´ * b = 1 iv) a b = a 14) Aplicar la propiedad anterior al Algebra de Proposiciones 15) Probar que a, b B : a) (a * b) (a * b´) = a a b) (a b) * (a b´) = 16) Aplicar la propiedad anterior al Algebra de Conjuntos

Estructuras Algebraicas Frecuentemente la primera dificultad que encuentra el alumno en el estudio de las Estructuras Algebraicas es asimilar la existencia de operadores como * que expresan operaciones que no tienen porqué ser las clásicas conocidas de adición, diferencia, producto, cociente, etc. Sino que pueden expresar otras formas de composición (operaciones definidas por una ley de variación que puede o no expresarse en fórmulas) Según la tabla 2, el operador * genera los siguientes resultados: 0*0=0 0*1=1 1*0=1 1*1=0 * a b * 0 1 a a b 0 0 1 b b a 1 1 0 Tabla 1 Si Tabla 2 G = { 0, 1 } Notemos que todos los resultados de operar algún elemento de G con otro elemento del mismo conjunto (incluso consigo mismo). . . Son elementos del mismo conjunto G ( 0 ó 1 ) entonces * Es una Ley de Composición interna en G * se lee “asterisco”

Si una operación * respecto de los elementos de un conjunto G que se escribe: (G, *), verifica que: 1) G 2 G * es una Ley de composición interna en G Definida una operación * si el resultado de operar dos elementos cualesquiera de G con * es otro elemento de G, hay L. C. I. 1 a 1 b 2) a, b, c : a, b, c G (a * b) * c = a * (b * c) Asociativa Definida una operación * si con tres elementos cualesquiera de G la operación * responde a la propiedad asociativa (G, *) tiene estructura de semi-grupo 3) e G / a : a G a * e = e * a = a 1 c si además Existe Elemento Neutro Definida una operación * si en el conjunto G existe al menos un elemento “e”, que al operarlo con cualquier otro elemento “a” de G, resulta el mismo elemento “a” 4) a : a G, a´ G / a * a´ = a´ * a = e Existe Elemento Inverso Definida una operación * si para cada elemento de G existe al menos un elemento a´ que al operar con a dá como resultado el neutro e (G, *) tiene estructura de grupo

Si además de cumplirse las cuatro condiciones anteriores - lo que hace a (G, *) Grupo 5) a, b : a, b G a * b = b * a Conmutativa (G, *) tiene estructura de grupo abeliano ó grupo conmutativo Sea una estructura algebraica definida en un conjunto G con dos leyes de composición * y (G, * ) es Anillo 1) (G, *) es Grupo abeliano 2) (G, ) es semi Grupo 3) es distributivo a izquierda y derecha respecto de * a, b, c G : a (b * c) = (a b) * (a c) (b * c) a = (b a) * (c a) Si la segunda ley de composición es conmutativa, (G, * ) es Anillo Conmutativo si. . .

Si (G * ) es Anillo Y además posee elemento neutro respecto de (G * ) es Anillo con Unidad Un Anillo con unidad cuyos elementos no nulos son inversibles se llama Anillo con división Si un Anillo con división es conmutativo, se llama Cuerpo 1) (G, *) es Grupo abeliano 2) (G , ) es Grupo abeliano, salvo que el 0 no es inversible 3) es distributivo respecto de * Ejemplo: (Z, * ) donde * es la adición (suma) y es el producto ordinario No es cuerpo, cuerpo pues los únicos elementos no nulos que admiten inverso multiplicativo son 1 y - 1 (R, * ) donde * es la adición (suma) y es el producto ordinario Es Cuerpo

1) a) Si G 1 = { x / x = 2 k, k Z } ; * es el producto ordinario 2 k · 2 t = 2(k + t) Sean k, t Z Si k, t Z (k + t) Z Luego 2(k + t) G 1 Entonces * es L. C. I. En G 1 Asociatividad 2 k · (2 t · 2 s) = 2 k · 2(t + s) = 2 k + ( t + s) = 2( k + t ) + s = 2( k + t ) · 2 s = (2 k · 2 t ) · 2 s Existencia de Elemento Neutro 2 k · e = 2 k · 2 t = 2(k+t) = 2 Para cada 2 k debe existir 2 t = e con t Z k Conmutativa 2 k 2 t = 2 2 k · x = 2 0 = 1 Entonces (k + t) entonces Entonces 2 t = 2 Existencia de Elemento Inverso Si e = 20 (ya demostrado) k+t=k 0 t=0 0 Z es un elemento del conjunto G 1 2 k 2 t = 2 0 k + t = 0 t = -k lo que es claro que t Z y 2 t G 1 = 2 ( t + k) = 2 t 2 k valiéndonos de la conmutatividad de la suma en Z (G, * ) es Grupo Abeliano 1 b 1 c

1) b) Si G 2 = { x / x = 3 k , k N } ; * es la adición (+) G 2 es un conjunto conformado por todos los naturales múltiplos de 3 ; . . . entre otros : Para k, t N si k = 1 , x = 3 ; si k = 2 , x = 6 ; k = 3 , x = 9. . 3 k + 3 t = 3 (k + t) Asociatividad Pero (k + t) N Debe verificarse que 3 k + ( 3 t + 3 s ) = ( 3 k + 3 t) + 3 s 3 k + ( 3 t + 3 s ) = 3 k + 3 (t + s) = 3 [k + (t + s)] = 3 [(k + t) + s)] = 3 (k + t) + 3 s = (3 k + 3 t) + 3 s Existencia de Elemento Neutro en G para * 3 k+3 t=3 k Entonces LCI ok si 3 t=e 3 k + 3 t = 3 (k + t) = 3 k Pero 0 N Se acepta la asociatividad de la adición para los números naturales Si existe e (neutro) en G, tendrá la forma e = 2 t donde t N Luego ( k+ t ) = k entonces. . . NO Existe Elemento Neutro en G para * ( G 2, * ) No es Grupo 1 c t=0

1) c) Si G 3 = { 1; -1 } ; * es el producto ordinario Por tratarse de un conjunto finito y con pocos elementos, algunas condiciones pueden ser analizadas para cada situación. . . 1 · 1 = 1 G 3 -1 · 1 = -1 G 3 -1 · -1 = 1 G 3 1 · -1 = -1 G 3 Se verifica que * es L. C. I. en G 3 Podemos admitir que la Asociatividad “se hereda” de la asociatividad del producto entre elementos del conjunto de los números enteros Sabemos que para el producto existe neutro en Z, pero debemos verificar que ese neutro G 3 Analizamos si cada elemento de G 3 admite inverso en G 3 -1 · e = -1 e=1 1·e= 1 e=1 1·x=e=1 x=1 -1 · x = e = 1 x = -1 1 G 3 Existe neutro Los elementos de G 3 admiten inverso Podemos admitir que la Conmutatividad “se hereda” de la conmutatividad del producto entre elementos del conjunto de los números enteros ( G 3, * ) es Grupo Abeliano

2) Sea A = { x R / ; a Z b Z }. Comprobar que A es un anillo conmutativo y con unidad con la suma y el producto ordinario de números reales. Supongamos dos elementos cualquiera que pertenecen al conjunto A; ellos son : Analizamos (A, *); en este caso * es la suma, analizamos entonces (A, +) * es L. C. I. en A con La Asociatividad se “hereda” de la asociatividad de la suma para los números reales, porque es evidente que si a, b, c y d son números enteros; R R Supongamos que existe nulo y es entonces + = es nulo esto es posible para c = 0 c Z d Z A y d=0 Lo que prueba la existencia de neutro en A para la suma

Si existe elemento inverso para cada elemento de A + =0 es inverso de Debe ser a+c=0 c=-a Z b+d=0 d=-b Z Prueba la existencia de inverso La Conmutatividad se “hereda” de la conmutatividad de la suma para los números reales, porque es evidente que si a, b, c y d son números enteros; R R Analizamos ahora ( A, ) donde es el producto ordinario (A, *) es Grupo Abeliano aplicando distributiva porque. . . ac + 2 bd Z es LCI en A ad + bc Z

La Asociatividad se “hereda” de la asociatividad del producto para los números reales, porque es evidente que si a, b, c y d son números enteros; R R (de la misma manera se verifica también la conmutativa (A, ) es Semi Grupo es doblemente distributivo respecto de , , A : * ( * ) = ( ) * ( ) , , son números reales y sabemos que en el conjunto de los números reales el producto es distributivo respecto de la suma ( A, *, ) Es Anillo Conmutativo

3) Sea K = { 0, 1 } y la suma y el producto definidos en K, según las siguientes tablas : Probar que estas operaciones definen sobre K una estructura de cuerpo. * 0 1 sabiendo que * y son asociativas 0 0 1 0 0 0 y es doblemente distributiva respecto de * 1 1 0 1 Analizamos ( K, * ) De observar la tabla del operador * resulta que todos los resultados posibles son elementos del conjunto K * Es L. C. I. en K 0*0=0 0*1=1 1*0=1 1*1=0 Asociativa ; verificamos. . . por ejemplo El 0 es neutro; 0*0=0 (0*1)*0=1 0*0=0 y El inverso para 0 es 0 0*(1*0)=0*1=1 1*1=0 El inverso para 1 es 1 De analizar la tabla, comprobará también que * es conmutativo ( K, * ) Es Grupo Abeliano

Analizamos ( K – {0}, ) De observar la tabla del operador resulta que todos los resultados posibles son elementos del conjunto K 0 0=0 0 1=0 Asociativa ; verificamos. . . por ejemplo 0 1 0 0 0 1 1 0=0 1 1=1 (0 1) 0=0 Existe neutro en K para pues El inverso para 1 es 1 1 0=0 y L. C. I. de en K 0 (1 0)=0 0=0 1 1=1 el neutro es el 1 1 1=1 De analizar la tabla, comprobará también que es conmutativo ( K, ) Es Grupo Abeliano, salvo que el 0 no es inversible y sabemos que es doblemente distributivo respecto de * por ejemplo. . . (0*1) 0=1 0=0 (0 0)*(1 0)=0*0=0 0 (0*1)=0 0=0 (0 0)*(0 1)=0*0=0 ( K, *, ) Es Cuerpo

5 Números Complejos 7 a-d 7 b-c-e i/ii Sabemos que la solución de la raíz cuadrada de un número real negativo no tiene solución en reales donde i es un número que llamamos imaginario Recuerde siempre que si Con un binomio formado por una parte real y una parte imaginaria, formamos un número complejo Lo representamos gráficamente en un par de ejes cartesianos Llevando en el eje de las abscisas la parte real Y en el eje de las ordenadas la parte imaginaria El punto de intersección de la parte real con la imaginaria es un punto en el “plano de los complejos” Por otro lado, a cada complejo le está asociado un vector con inicio en el origen de coordenadas y extremo en el punto determinado por el par ordenado (a, b) 7 e iii 7 f i/ii 9 a 9 c 9 b 10 i 7 f iii 10 i / ii y no tiene ubicación en la recta de los números reales z = a + bi Parte imaginaria Parte real

5 Podemos pasarlo a la forma de par ordenado, donde la primera componente es la parte real del complejo Y la segunda componente es la parte imaginaria (se coloca solo el valor de b –sin i-) z = a + bi = ( a, b ) Si z = a + bi 7 a-d Expresado en forma de binomio Definido el complejo z = a + bi 7 b-c-e i/ii 7 e iii 9 a 7 f i/ii 9 b 10 i cuya representación gráfica es definimos el conjugado de z como un número complejo con la misma parte real que z y su componente imaginaria es la opuesta de la componente imaginaria de z también podemos definir el opuesto de z como un número complejo cuya componente real es el número opuesto de la componente real de z y su componente imaginaria es el número opuesto de la componente imaginaria de z z = a + bi 5 9 z = a - bi -z = -a - bi 7 f iii 9 c 10 i / ii

Operaciones con números complejos Si dos números complejos se presentan en forma de binomio, se los puede sumar como cualquier binomio 5 7 a-d 7 b-c-e i/ii 7 e iii 9 a 10 i las partes reales entre sí y las partes imaginarias entre sí Si los complejos se presentan en forma de par ordenado Se opera de la misma manera, las partes reales entre sí y las partes imaginarias entre sí Si se trata de una diferencia 5 7 9 -10 7 f i/ii 9 b 7 f iii 9 c 10 i / ii sacamos el imaginario i como un factor común

5 Gráficamente 7 a-d 7 b-c-e i/ii Sean Para sumar gráficamente los complejos 1) Una vez representados gráficamente los complejos z 1 y z 2 como ya hemos visto 2) Por el extremo de z 2 trazo una recta paralela a z 1 7 e iii 9 a 10 i 7 f i/ii 7 f iii 9 c 9 b 10 i / ii A los efectos de limpiar el gráfico borramos las líneas auxiliares 3) Y por el extremo de z 1 trazo una recta paralela a z 2 4) Donde se intersectan ambas paralelas se encuentra el extremo de un nuevo vector que tiene inicio en el origen de coordenadas y representa z 1 + z 2 5) El valor de abscisa que le corresponde al vector resultante es la parte real del resultado de la suma de números complejos 6) El valor de la ordenada que le corresponde al vector resultante es la parte imaginaria del resultado de la suma de números complejos Obviamente, los resultados por métodos analíticos y gráficos deben coincidir siempre 5 7 9 -10

5 Producto Sean 7 a-d 7 b-c-e i/ii 7 e iii 9 a Se aplica propiedad distributiva como si se tratara de dos binomios cualquiera El producto (bi di) se resuelve multiplicando bdi i Sacamos como factor común el imaginario i En forma de par ordenado. . . 5 7 9 -10 10 i que resulta bdi 2 Recuerde que i 2 = - 1 7 f i/ii 9 b 7 f iii 9 c 10 i / ii

Cociente 5 7 a-d Sean 7 b-c-e i/ii Para resolver el cociente Siempre se multiplica y se divide la expresión por el conjugado del denominador 7 e iii 9 a 10 i 7 f i/ii 9 b 7 f iii 9 c 10 i / ii Luego se procede como en cualquier Observe que tenemos ahora una diferencia de producto entre números complejos, cuadrados en el denominador multiplicando los numeradores entre A esta situación siempre llegamos porque, sí y los denominadores entre sí precisamente para eso es que hemos multiplicado y dividido la expresión por el conjugado del denominador De esa manera, en el denominador Obteniendo así como resultado del cociente entre siempre habrá un complejos, otro número complejo número real 5 7 9 -10

Nº complejo z ; - z; 1/z 5) Completar los siguientes enunciados para que suma-resta resulten proposiciones verdaderas : i) En R 2 = C se define la relación de equivalencia : (a, b) = (c, d) a = c b = d producto En R 2 = C se define la adición y la multiplicación mediante (a, b) + (c, d) = (a + c; b + d) (a, b) * (c, d) = (a c - b d; a d + b c) cociente operac. gráf. ii) (C, +) tiene estructura de Grupo Abeliano (C, *) tiene estructura de “cuasi” Grupo Abeliano; puesto que (0, 0) no es inversible (&) (C, +, *) tiene estructura de Cuerpo iii) Un complejo es real su parte imaginaria es 0 un complejo es imaginario su parte real es 0 iv) En C es : i 0 = 1 i 2 = - 1 v) Si z = (a, b) i 3 = - i en forma de binomio z = a + b i (&) “cuasi” Grupo Abeliano es Semi-grupo conmuitativo con elemento neutro i 4 q+r = i r

Nº complejo resolvemos primero la suma z ; - z; 1/z suma-resta producto cociente Y luego hallamos el conjugado de la suma En forma de binomio el conjugado de la suma resolvemos primero el producto Y luego hallamos el conjugado del producto En forma de binomio el conjugado del producto operac. gráf.

6 a) Para resolver x 2 – 1 = 0 despejamos x Pasamos – 1 al 2º miembro entonces Y la potencia como raíz x 1 = 1 x 2 = - 1 b) Para resolver x 2 – 3 = 0 con x 1, , x 2 Z despejamos x Pasamos – 3 al 2º miembro entonces Y la potencia como raíz x 1 = x 2 = c) Para resolver x 2 + 1 = 0 Pasamos 1 al 2º miembro entonces x 1 = i con x 1, , x 2 I (irracionales) despejamos x la raíz cuadrada de un número negativo resulta siempre un imaginario Y la potencia como raíz x 2 = - i con x 1, , x 2 C 6 d

d) Para resolver x 2 + 3 x + 3= 0 Una ecuación completa de 2º grado tiene la forma En la ecuación a=1 aplicamos la fórmula que resuelve la ecuación de segundo grado y la solución x 2 + 3 x + 3= 0 b=3 con x 1, , x 2 C

Nº complejo 7 a) Dados los números complejos : z ; - z; 1/z suma-resta producto Por el valor real de z 1 trazamos una paralela al eje de los imaginarios Por el valor imaginario de z 1 trazamos una paralela al eje de los reales Donde se intersectan ambas paralelas, tenemos el extremo del vector que representa z 1 y tiene inicio en el origen de coordenadas z 2 y z 3 se representan con idéntico procedimiento Para representar gráficamente z 4 tomamos los valores aproximados de tanto en la parte real como imaginaria 7 d) Para representar usamos el mismo valor real que para z 4 pero a la parte imaginaria le cambiamos el signo 7 b-c-e i/ii 7 e iii 7 f i/ii 7 f iii cociente operac. gráf.

Nº complejo 7 b) c) z ; - z; 1/z en forma de binomio es suma-resta en forma de par ordenado es producto en forma de binomio es 7 e) Para calcular cociente operac. gráf. pasamos z 1 a la forma de binomio y hallamos agrupando reales por un lado e imaginarios por otro resuelvo primero la diferencia de números complejos para multiplicar un entero por un complejo, aplicamos distributiva del entero en el complejo 7 e iii 7 f i/ii 7 f iii

Nº complejo z ; - z; 1/z suma-resta procedemos de igual manera que si hubiera sido la suma de dos complejos, eliminamos los paréntesis aplicando la regla de los signos producto cociente operac. gráf. con z 1 y z 2 representados para sumar gráficamente buscamos luego por el extremo de z 1 trazo una paralela a por el extremo de trazo una paralela a z 1 las paralelas se intersectan en el extremo del vector suma y su inicio está en el origen de coordenadas buscamos conocer la componente real del vector resultante, y la componente imaginaria 7 f i/ii 7 f iii

Para resolver gráficamente con z 1 y z 2 representados Nº complejo z ; - z; 1/z suma-resta buscamos –z 1 prolongando z 1 en sentido opuesto y trasladando con el compás el extremo de z 1 sobre la línea prolongada, con centro en el origen de coordenadas encontramos –z 1 sumamos z 2 + (-z 1) como hemos visto prolongamos la recta de acción de z 2 -z 1 y borramos la semicircunferencia auxiliar y trasladamos con el compás el extremo de z 2 - z 1 sobre la línea prolongada, con centro en el origen de coordenadas (por cambio de signo) con el compás trasladamos una vez más sobre la recta la distancia z 2 - z 1 ; obteniendo – 2(z 2 - z 1 ) buscamos la componente real del vector resultante, y la componente imaginaria producto cociente operac. gráf.

con z 1 ; z 2 y z 3 representados Para resolver gráficamente comenzamos buscando el opuesto de z 2 , es decir - z 2 luego buscamos y con este resultado buscamos ahora tenemos los complejos –z 2 ; z 3 y representados por sus respectivos vectores solo nos queda efectuar la suma de todos ellos lo que hacemos trasladando z 3 a continuación de –z 2 a continuación del z 3 que sigue a - z 2 uniendo el extremo de la acumulación de segmentos con el origen de coordenadas tenemos el resultado que buscamos Nº complejo z ; - z; 1/z suma-resta producto cociente operac. gráf.

Para calcular z 1 z 2 lo realizamos como si se tratara del producto de dos binomios; con la única salvedad que debemos considerar el producto de números imaginarios Nº complejo z ; - z; 1/z suma-resta producto podemos pensar como cociente operac. gráf. que resolvemos como cociente de fracciones, efectuando el producto de los extremos sobre el producto de los medios (- 1) 7 f iii

Nº complejo z ; - z; 1/z suma-resta operamos en el numerador efectuamos el cociente, multiplicando y dividiendo por el conjugado del denominador producto cociente operac. gráf. operamos en el numerador y en el denominador recuerde que i 2 = - 1 2 2 fracción de fracción: es igual al producto de los extremos sobre el producto de los medios

8) Si para calcular (2+i) toma el lugar de x en f(x) = (2+i)2 - 2 (2 + i) + 1 (1+i) toma el lugar de x en g(x) = (1+i)2 + (1 + i) entonces operando resulta. . . recuerde ( a + b )2 = a 2 + 2 ab + b 2 recuerde i 2 = - 1

9) a) Nº complejo Para hallar z tal que : entonces. . . Si z ; - z; 1/z suma-resta producto puede escribirse cociente resolvemos Agrupamos reales e imaginarios en el 1º miembro operac. gráf. que resulta ser. . . Para que se verifique la igualdad, deben ser idénticas las partes reales e imaginarias del primero y segundo miembro entonces. . . tengamos presente que no podremos resolver esta ecuación despejando z 9 b 9 c

Nº complejo z ; - z; 1/z 9 b) Para hallar z tal que : Si entonces. . . suma-resta puede escribirse Agrupamos reales e imaginarios en el 1º miembro resolvemos producto cociente operac. gráf. teniendo presente que Para que se verifique la igualdad, deben ser idénticas las partes reales e imaginarias del primero y segundo miembro (1) que resolvemos por sustitución de (1) (2) Podemos componer un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas reemplazando (1) en (2) reemplazando a = 2 en (1) entonces 9 c

Nº complejo z ; - z; 1/z 9 c) Para hallar z tal que : Si suma-resta entonces. . . puede escribirse producto resolvemos agrupamos reales e imaginarios en el 1º miembro tenga presente que cociente operac. gráf. Para que se verifique la igualdad, deben ser idénticas las partes reales e imaginarias del primero y segundo miembro Podemos componer un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas intuimos que este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas no tiene solución, porque la suma de dos números cualesquiera, no pueden tener resultados diferentes

puede resolverse despejando z 10 i) la ecuación así : resolvemos como cociente de números complejos Nº complejo multiplicamos y dividimos la expresión por el conjugado del denominador z ; - z; 1/z suma-resta aplicando propiedad distributiva en el numerador y diferencia de cuadrados en el denominador producto cociente también podría haberse aplicado distributiva en el denominador y hubiéramos tenido el mismo resultado operac. gráf. operamos sabiendo que i 2 = -1 verificamos. . . 3 7 10 ii/iii

puede resolverse despejando z, porque en ella no aparece Nº complejo z ; - z; 1/z suma-resta así : producto no debe ser muy diferente de lo realizado hasta ahora iii) resolver Pasamos – 1 al 2º miembro cociente operac. gráf. y resolvemos el segundo miembro antes de pasar multiplicando el denominador del primer término resolvemos nuevamente el 2º miembro y ahora despejamos z

11) a) Si el producto (3 - 6 i) (4 + x i) debe ser un número real La parte imaginaria del resultado del producto (3 - 6 i) (4 + x i) debe ser igual a 0 así, agrupando reales por un lado e imaginarios por otro, tendremos. . . Si la parte imaginaria debe ser 0, tendremos. . . entonces. . . 8 Si el resultado del producto (3 - 6 i) (4 + x i) y una parte imaginaria debe ser un imaginario puro la parte real debe ser 0, tendremos. . . 2 entonces. . . se distingue en la expresión claramente una parte real

Algebra de Boole Decimos ( B, * ) es Algebra de Boole para un conjunto B y si dos operaciones * y 1) * y son dos leyes de composición interna en B 2) * y son operaciones conmutativas 3) * y son operaciones asociativas en B 4) * y son operaciones distributivas cada una respecto de la otra 12 13 5) Existen elementos neutros en B respecto de * y que se denotan como 0 y 1 6) Todo elemento a B admite un complementario a´, tal que : a * a´ = 1 y a a´ = 0 Tenga “muy presente” que 0 y 1 en Algebra de Boole son simples denominaciones del neutro respecto de * (0) y respecto de (1) ( no guardan ninguna relación con los valores que representan normalmente) 12 13

12) Si B = { 1, 2, 3, 6 } con las operaciones * y donde * denota mínimo común múltiplo y denota máximo común divisor confeccionamos las tablas respectivas para cada una de las operaciones m. c. d. * 1 2 3 6 1 1 2 2 2 3 6 6 6 1 1 1 2 1 2 3 6 6 6 3 1 1 1 2 3 3 3 6 2 3 6 6 Todos los resultados de cualquiera de las dos tabla son elementos del conjunto B Entonces * y son leyes de composición interna en B * y son conmutativas porque definen relaciones conmutativas m. c. m. de a y b = m. c. m. de b y a m. c. d. de a y b = m. c. d. de b y a

m. c. d. * 1 2 3 6 1 1 1 2 2 2 6 6 2 1 2 3 3 6 3 1 1 3 3 6 6 6 1 2 3 6 Ejemplos donde se verifica la asociatividad de * y de (2*3)*6=6 2*(3*6)=2*6=6 (6 2) 1=2 1=1 6 (2 1)=6 1=1 Ejemplos donde se verifica la distributividad de respecto de * y viceversa (2*3) 1=6 1=1 se verifica con (2 1)*(3 1)=1*1=1 (2 3)*1=1 se verifica con (2*1) (3*1)=2*3=1

m. c. d. * 1 2 3 6 1 1 1 2 2 2 6 6 2 1 2 3 3 6 3 1 1 3 3 6 6 6 1 2 3 6 Analizamos la existencia de neutro en B para los operadores * y Si existe neutro en B para el operador * será un elemento e tal que x * e = x para cualquier x B esto se verifica para e = 1 Decimos entonces que el “cero” para la operación * es el elemento 1 del conjunto B Si existe neutro en B para el operador será un elemento e tal que x e = x para cualquier x B esto se verifica para e = 6 Decimos entonces que el “uno” para la operación es el elemento 6

m. c. d. * 1 2 3 6 1 1 1 2 2 2 6 6 2 1 2 3 3 6 3 1 1 3 3 6 6 6 1 2 3 6 Nos queda analizar la existencia de complementario para Si existe complementario para * debe verificarse que Para todo elemento a * y a B, a´ B : a * a´= 1 que pertenece al conjunto B existe un elemento a´ que también pertenece al conjunto B que verifica la condición a * a´= 1 donde 1 es el neutro de el 1 de es el elemento 6 del conjunto B, verificamos 1*6=6 6 B ok 2*3=6 6 B ok 3*2=6 6*1=6 6 B ok respecto de * el complemento de a=1 a=2 a=3 es es es a´ = 6 a´ = 3 a´ = 2 a=6 es a´ = 1

m. c. d. * 1 2 3 6 1 1 1 2 2 2 6 6 2 1 2 3 3 6 3 1 1 3 3 6 6 6 1 2 3 6 Finalmente analizamos la existencia de complementario para Si existe complementario para debe verificarse que si el 0 de * es el elemento 1 del conjunto B, verificamos 1 6=1 6 B ok 2 3=1 3 B ok 3 2=1 2 B ok 6 1=1 1 B ok a B, a´ B : a a´= 0 respecto de el complemento de a=1 a=2 a=3 es es es a´ = 6 a´ = 3 a´ = 2 a=6 es a´ = 1 (B, *, ) Es Algebra de Boole

13) Probar que en un Algebra de Boole las siguientes condiciones son equivalentes : 1) a b´ = 0 2) a * b = b 3) a´ * b = 1 4) a b=a probamos (2) a partir de (1) entonces: a * b = (a * b) 1 porque 1 es neutro para (a * b) 1 = (a * b) (b * b´) b * b´= 1 por propiedad distributiva extraemos b (a * b) (b * b´) = b * (a b´) suponiendo válida la primera condición a b´ = 0 b * (a b´) = b * 0 = b por ser 0 el neutro de * queda probado que a * b = b Probamos ahora (3) a partir de (2) entonces: Si a´ * b = a´ * ( a * b) = ( a´ * a ) * b dando por válido lo que acabamos de probar por asociatividad, que debe cumplir un Algebra de Boole ( a´ * a ) * b = 1 * b por complementario a * a´= 1 1*b=(1*b) 1 por ser 1 neutro para ( 1 * b ) ( b * b´ ) = ( 1 b´ ) * b = b * b´ = 1 luego a´* b = 1

Probamos ahora (4) a b = a a b = (a b) * 0 (a b) * (a a´) = a (b*a´) a 1=a entonces: porque a a´ = 0 por ser distrubutivo en * porque quedó probado (3) a´*b = 1 porque 1 es neutro para Probamos ahora (1) a´*b = 1 porque 0 es neutro para * (a b) * 0 = (a b) * (a a´) a (b * a´) = a 1 a partir de (3) a b´ a partir de (4) con * conmutativo queda probado que a b = a a b=a cerrando la cadena, entonces: a b´ = (a b) suponiendo válido lo que acabamos de probar a b = a b´ (a b) b´ = a ( b b´ ) por asociatividad a ( b b´ ) = a 0 a 0=(a 0)*0 por complementario b b´= 0 por ser 0 el neutro de * ( a 0 ) * 0 = ( a 0 ) * (a a´) = a (0 * a´) = a a´ = 0 luego a b´ = 0 0 * a´ = a´ por ser 0 neutro para *

14) Aplicar la propiedad anterior al Algebra de Proposiciones establecemos las siguientes equivalencias: * equivale a 1) a b´ = 0 será 0 1 equivale a F equivale a V p q F 3) a´ * b = 1 será p q V a´ equivale a p 2) a * b = b será p q q 4) a b = a será p q p Le queda a Ud comprobar que cualquiera de ellas se cumple suponiendo verdadera alguna otra, aplicando los contenidos del tema 1 (lógica de proposiciones) 15) a) Probamos que (a * b) (a * b´) = a a * (b b´) = a * 0 = a Aplicando distributiva y sabiendo que 0 es neutro de *; por tanto b b´ = 0 b) Probamos que (a b) * (a b´) = a a (b * b´) a 1=a = Aplicando distributiva y sabiendo que 1 es neutro de *; por tanto b * b´ = 1 Observamos además que esto es válido por el principio de dualidad, dado que éste caso es el dual del punto a)

16) Aplicar la propiedad anterior al Algebra de Conjuntos establecemos las siguientes equivalencias: * equivale a 0 equivale a 1 equivale a U a´ equivale a A´= (a * b) (a * b´) = a equivale a (A B) (A B´) = A ( B B´ ) = A (a b) * (a b´) = a equivale a (A B) (A B´) = A ( B B´ ) = A U = A Es posible que algo haya quedado sin entenderse, te sugiero que vuelvas a repasar, que resuelvas los ejercicios complementarios y otros de los que dispongas pero JAMAS TE DESANIMES, no dejes que los fantasmas te persigan. . .