Trabajemos juntos para ser mejores PRUEBA DE TRANSICIN

“Trabajemos juntos, para ser mejores” PRUEBA DE TRANSICIÓN II EJERCICIOS EJE DE ÁLGEBRA Departamento de Matemática

El objetivo de esta retro es justamente refrescar contenidos que hace mucho tiempo ustedes de una u otra forma vieron o estudiaron (creo) , la intención es que aprovechen esta instancia ya que la idea es saber de que manera se abordan estos ejercicios así como también, este material como dice el DEMRE es fidedigno e idóneo con respecto a la prueba llamada de transición Como ustedes sabrán la matemática se estratifica en 4 ejes que son Números Álgebra Geometría Datos y Azar HOY VAMOS A REPASAR ÁLGEBRA

1) ¿cuáles son los valores de p y q respectivamente, para los cuales se cumple que: -4 p + 5 q = 9 -p – q = 9 A) y B) C) D) -6 y -3 - 6 y -15 y E) - 11 y 2

Para resolver este sistema aplicaremos uno de los métodos de resolución, en este caso el método de reducción, que consiste en amplificar las ecuaciones de maneras que una de las incógnitas se elimine -4 p + 5 q = 9 -p – q = 9 / • 5 -4 p + 5 q = 9 -5 p – 5 q = 45 -9 p = 54 / - 1 p = -54 / 9 p=-6 reemplazando p en la segunda ecuación, calculamos q –( – 6) – q = 9 6– 9=q – 3=q Alternativa B

2) La edad actual de un padre (p años) menos la edad de su hijo(h años) es igual a 30 años y en 2 años más la edad del padre será el triple de la edad del hijo. ¿Cuál de los siguientes sistemas de ecuaciones representa dicha situación? A) p – h = 30 p + 2 = 3(h + 2) B) p = h – 30 p+2= +2 C) p – h = 30 +2=h+2 D) p = h – 30 p + 2 = 3 h + 2 E) p – h = 30 3(p + 2) = h + 2

Haremos una tabla con los dos momentos que nos plantea el problema Hoy padre p hijo h 2 años después p+2 h+2 Según la primera afirmación la edad del padre menos la edad del hijo nos quedará p – h = 30 La segunda afirmación la plantearemos de la siguiente manera p + 2 = 3(h + 2) luego el sistema representativo será p – h = 30 p + 2 = 3(h + 2) alternativa A

3) ¿Con cuál de las siguientes ecuaciones junto a la ecuación 3 x – y = p se forma un sistema que podría NO tener solución, dependiendo del valor de p? A) B) C) D) E) x=0 x–y=p 6 x – 2 y = p 2 y – 6 x = – 2 p 3 x + y = p

Para resolver este problema debemos saber cuál es la condición para que un sistema no tenga solución, esa condición sería la siguiente: Sea el sistema ax + by = c dx + ey = f Analizando las alternativas nos queda: A) x = 0 el sistema sería 3 x – y = p x + 0 y = 0 B) x – y = p 3 x – y = p x–y =p C) 6 x – 2 y = p 3 x – y = p 6 x – 2 y = p , , no puede ser ¿ ? Acá evidentemente se cumple la condición para que el sistema no tenga solución Alternativa C

D) 2 y – 6 x = -2 p el sistema sería 3 x – y = p -6 x + 2 y = -2 p , , obviamente no es solución ya que todas las fracciones son iguales E) 3 x + y = p sistema 3 x – y = p 3 x + y = p , , Bueno en ambos casos no se cumple la condición para que el sistema no tenga solución

4) Dos empresas de electricidad, A y B, tienen una tarifa asociada (y) de acuerdo a cada kwh consumido (x) más un cargo fijo, tal como se muestra en el siguiente sistema empresa A : y = ax + 750 empresa B : y = bx + 500 Si a y b corresponden al precio de cada kwh consumido, con 0 < a < b ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) si hay consumo de kwh en ambas empresas, entonces las dos empresas cobran lo mismo II) si b = a + 250 entonces la tarifa en ambas empresas es la misma III) si se elimina el cargo fijo de la tarifa de la empresa B, entonces siempre convendría a los consumidores la tarifa de la empresa B, en comparación a la tarifa de la empresa A A) solo I B) solo II C) solo III D) solo I y III E) solo II y III

Analizaremos cada una de las opciones I) consumo empresa A: y = ax + 750 empresa B: y = bx + 500 Reemplazando en cada empresa A: y = a • + 750 = = 0<a<b = luego en A y = B: y = b • + 500 = = luego en B y = Por lo tanto la afirmación I es correcta =

II) si b = a + 250 Reemplazando nuevamente en cada empresa nos queda: En A: y = ax + 750 En B: y = (a + 250)x + 500 desarrollando esta expresión, resulta y = ax + 250 x + 500 lo que evidentemente ambas expresiones no son iguales III) si se elimina el cargo de la tarifa B , esta expresión quedaría como y = bx para este caso hay que considerar la condición 0<a<b Si consideramos esta condición reemplazamos algunos valores por ejemplo si a = 1 y b = 10 con un consumo de 100 kwh cada empresa queda de la siguiente forma en A: y = 1 • 100 + 750 = 850 en B: y = 10 • 100 = 1000 luego la opción III es incorrecta La alternativa es A

5) Se tiene una piscina con forma rectangular de 4 m de ancho y 10 m de largo. Se desea colocar un borde de pasto de ancho x m como se presenta en la figura adjunta Xm Xm piscina Si el área de la superficie total que ocupa la piscina y el borde de pasto es de 112 ¿cuál de las siguientes ecuaciones permite determinar el valor de x? A) B) C) D) E)

Recordar que el área de un rectángulo es largo por ancho Xm Xm piscina 10 Ahora calculamos el área largo por ancho largo: 10 + 2 x ancho: 4 + 2 x Alternativa D 10 + 2 x 4 4 + 2 x

6) ¿Cuál es el conjunto de todos los números reales c para los cuales la ecuación NO tiene solución en el conjunto de los números reales? A) B) C) D) E)

Dada la ecuación la expresión que nos permite determinar si la solución es real o no (solución compleja) es el discriminante Recordemos la expresión que corresponde al discriminante Para que la ecuación no tenga solución en los números reales, el discriminante debe ser menor que cero, es decir En la ecuación a = 1, b= 5 c= – c Reemplazando: Como intervalo alternativa D

7) Considere la ecuación cuadrática con a, b y c números reales ¿Cuál de las siguientes condiciones es suficiente para concluir que las soluciones de dicha ecuación tienen parte real igual a cero y parte imaginaria distinta de cero? A) B) c < 0 C) b = 0 y c > 0 D) b = 0 y ac < 0 E) b = 0 y ac > 0

Recordemos la formula que nos permite determinar las soluciones de una ecuación de segundo grado podemos ver que el enunciado nos habla de soluciones reales e imaginarias por ejemplo puede ser 3 + 5 i pero en este caso me piden que la parte real sea cero entonces posibles soluciones serían 0± 5 i para resolver podemos separar esta fracción como luego sería la solución real y para que esto sea cero b debe ser cero ahora para que la solución sea imaginaria se debe cumplir que: pero ya sabemos que b = 0 -4 ac < 0 / • -1 4 ac > 0 / : 4 luego ac > 0 alternativa E

8) La tarifa de cierta compañía de telefonía consta de un cargo fijo mensual de $9. 000 más un cargo de $50 por minuto que se habla. Si durante los primeros 240 minutos esta tarifa se modela mediante una función de la forma f(x) = mx+n ¿cuál de las siguientes gráficas representa mejor a la gráfica de f? A) f(x) B) 9. 000 f(x) 240 C) x f(x) 9. 000 D) x f(x) 50 240 x 240 E) x f(x) 9. 000 240 x

Según el enunciado la tarifa tiene un cargo fijo de $9. 000, es decir aún sin hablar ningún minuto ya debemos pagar ese valor cargo fijo $ 9. 000 además $ 50 p/m ahora que la tarifa se modela mediante una función f(x) = mx + n si analizamos las alternativas vemos lo siguiente f(x) 9. 000 0 240 x en este caso nos damos cuenta que para x = 0 la función tiene un valor de 9. 000 que corresponde al cargo fijo y como la función que modela la tarifa es una función que representa una recta es una función afín corresponde a la alternativa correcta A

9) Una empresa de arriendo de autos cobra $ 70. 000 cuando su vehículo A recorre 50 km y $ 120. 000 cuando su vehículo A recorre 100 km. El cobro que realiza la empresa para el vehículo A, en términos de los kilómetros recorridos, se modela a través de una función de la forma f(x) = mx + n ¿cuál será el cobro del vehículo A cuando recorra 200 km? A) $ 200. 000 B) $ 220. 000 C) $ 240. 000 D) $ 280. 000

Sabemos según el enunciado que: primer caso (50, 70. 000) segundo caso (100, 120. 000) Además la tarifa esta regulada por la función f(x) mx + n Luego nos quedaría de acuerdo a los datos 70. 000 = 50 m + n para el primer caso 120. 000 = 100 m + n para el segundo caso la pregunta esta dada para cuando recorre 200 km En ese caso la expresión sería f(200) = 200 m + n Por lo tanto debemos calcular los valores de m y n m esta definida como = = = Ahora reemplazando en cualquiera de las expresiones encontradas para el primer o segundo caso calculamos n 70. 000 = 50 • 1. 000 + n nos queda que n = 20. 000, ahora calculamos la función para 200 km f(200) = 200 • 1000 + 20. 000 = 200. 000 + 20. 000 = 220. 000 alternativa B

10) Sea f una función afín tal que f: R R y es una función inversa. Si f(2) = 4 y (3) = 5 , ¿cuál es el valor de: (4) + f(5) + (f(4)) ? A) B) C) D) E) 6 7 9 10 13

Según los datos que nos dan tenemos que la imagen de 2 es 4 estos datos los representaremos en un grafico para visualizar mejor la solución y y 4 3 2 4 5 x Como nos piden calcular Observamos el grafico y reemplazamos los valores de cada expresión Finalmente nos queda Alternativa C 2+3+4 =9

11) La figura adjunta representa la parábola asociada a la función cuadrática f cuyo dominio es el conjunto de los números reales y ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El eje de simetría de la parábola es la recta de ecuación x = 2 II) Si -2 < x < 6 entonces f(x) < 0 III) f(7) = f(-3) A) B) C) D) E) solo III solo I y III 12 -2 6 x

Para resolver este ejercicio debemos analizar cada una de las afirmaciones y La parábola nos entrega 3 puntos (-2, 0) , (6, 0) y (0, 12) 12 I) determinar el eje de simetría Punto medio = = = (2, 0) -2 6 x Luego el eje de simetría es la recta que pasa por x , es decir Ecuación del eje de simetría x = 2 II) nos dice que la función es negativa para el intervalo -2 < x < 6 recuerden que los f(x) son los valores de y por lo tanto todos los valores en ese intervalo son positivos III) para esta caso debemos encontrar la función cuadrática f(x) = ax + bx + c y para eso utilizaremos los puntos dados, reemplazándolos en la función

III) para esta caso debemos encontrar la función cuadrática y para eso utilizaremos los puntos dados, reemplazándolos en la función dado (-2, 0) 4 a -2 b + c = 0 (6, 0) 36 a + 6 b + c = 0 (0, 12) 0 a + 0 b + c = 12 luego c = 12 ahora resolvemos el sistema 4 a – 2 b = -12 / • 3 36 a + 6 b = -12 12 a – 6 b =– 36 36 a + 6 b = -12 48 a = – 48 36 • (-1) + 6 b = -12 6 b = 36 – 12 6 b = 24 b=4 a = -1 La función nos queda por lo tanto son correctas I y III alternativa E

12)En el paralelepípedo de la figura adjunta, el largo de la base es 10 cm mayor que el ancho de la misma y su altura es de 60 cm Si x representa el largo de la base, en cm ¿cuál de las siguientes funciones, con dominio el conjunto de los números reales mayores que 10, modela el volumen del paralelepípedo en término de su largo, en A) B) C) D) E)

Como ya sabemos que el volumen de un paralelepípedo es: Volumen = largo • ancho • alto reemplazamos los datos en la figura 60 cm x x-10 volumen = = = luego la función que modela el volumen del paralelepípedo en términos de su largo será alternativa C

13) Considere la función f con dominio el conjunto de los números reales definida por ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s), con respecto a f? I) Su gráfico intersecta al eje x en los puntos (-4, 0) y (1, 0) II) Su gráfico tiene como eje de simetría a la recta III) Su valor máximo es A) B) C) D) E) Solo II Solo I y III I, II y III

En primer lugar ordenaremos la función pero como vemos a, b y c son múltiplos de 5 por lo tanto podemos simplificar para trabajar con números más pequeños I) los puntos de intersección de la parábola con el eje x corresponde a las soluciones de la ecuación asociada a la función resolveremos por factorización -4 1 (x + 4)(x – 1) = 0 x+4=0 x– 1=0 x = -4 x=1 luego el gráfico intersecta al eje x en los pontos (-4, 0) y (1, 0) II) recordemos que el eje de simetría pasa por el vértice y corresponde también al punto medio entre los dos puntos encontrados anteriormente Punto medio(x, y) = reemplazamos = donde la coordenada x nos permite encontrar la ecuación del eje de simetría, es decir

III) su valor máximo es Los valores máximos o mínimos los encontramos en el vértice (x, y) corresponde a la coordenada y A priori esta afirmación es falsa ¿por qué será?

El vértice tiene como formula dos expresiones ó Como sabemos que el máximo ó mínimo se encuentra en la coordenada y aplicaremos la expresión pero en la expresión original de la función donde a = 5, b = 15 y c = -20 = = = luego ese valor tampoco corresponde al valor dado son correctas solo I y II alternativa C