Torniamo al secondo problema 2 centrali elettriche Aurisina

Torniamo al secondo problema: 2 centrali elettriche: • Aurisina (produce P 1 kilowatt) • Monfalcone (produce P 2 kilowatt) 2 città: • Trieste (ha bisogno di B 1 kilowatt) • Gorizia (ha bisogno di B 2 kilowatt) Ogni centrale rifornisce entrambe le città. Come fare in modo che l’energia erogata sia sufficiente?

Proviamo a schematizzare: Trieste ha bisogno di B 1 kw; per quanto detto ora, la parte x 11 proviene da Aurisina e la parte x 21 da Monfalcone, cioè B 1 = x 11 + x 21 Trieste Aurisina produce P 1 kw, dei quali una parte, x 11, va a Trieste e una parte, x 12, va a Gorizia, cioè P 1 = x 11 + x 12 x 11 x 21 Aurisina Monfalcone x 12 x 22 Gorizia ha bisogno di B 2 kw; per quanto detto ora, la parte x 12 proviene da Aurisina e la parte x 22 da Monfalcone, cioè B 2 = x 12 + x 22 Monfalcone produce P 2 kw, dei quali una parte, x 21, va a Trieste e una parte, x 22, va a Gorizia, cioè P 2 = x 21 + x 22

Le relazioni sono quindi: • P 1 = x 11 + x 12 • B 1 = x 11 + x 21 • P 2 = x 21 + x 22 • B 2 = x 12 + x 22 Osserviamo che ogni “blocco” xij di energia elettrica ha gli indici di due colori: il colore della i è quello della centrale di provenienza (rosso o arancio); il colore della j è quello della città a cui è destinato (blu o azzurro).

Ma, a parte i colori, le relazioni sono: Queste equazioni vanno raggruppate nel sistema: Le xij sono le 4 incognite, mentre a destra degli uguali ci sono i termini noti. Cerchiamo soluzioni (x 11, x 12, x 21, x 22). . . positive!

I sistemi lineari possono essere risolti “rigorosamente”. . . Noi vediamo solo una procedura empirica. Consideriamo i coefficienti del sistema, cioè i numeri che moltiplicano le incognite. La tabella costituita da essi si dice matrice dei coefficienti del sistema: sistema lineare matrice dei coefficienti

Osserviamo che si può ragionare con le righe della matrice anziché con le equazioni! III + III = che relazione c’è tra le righe? IV Questo significa che le espressioni a sinistra dell’ = di ogni equazione sono legate dalla stessa relazione. . . (vedi diapositiva precedente)

E’ evidente che, se c’è almeno una soluzione, anche i “termini noti”, cioè quelli a destra dell’=, dovranno rispettare la stessa relazione. P 1 I- B 1 II + P 2 III = B 2 IV cioè deve essere: P 1 - B 1 + P 2 = B 2 Se questa relazione è vera, la IV equazione è conseguenza delle prime tre: quindi si può “buttare via” senza perdere informazioni.

Basterà che i termini noti soddisfino la relazione precedente? Il sistema ora è diventato (usando sempre le matrici: dei coefficienti e dei termini noti): E’ facile vedere che le 3 righe della matrice dei coefficienti sono indipendenti: nessuna è superflua.

Allora proviamo a risolvere il sistema: partiamo dall’ultima equazione e risaliamo. . . e infine si ottiene. . .

. . . il sistema risolto: Visto che volevamo soluzioni positive, basta quindi richiedere che: è una delle incognite! Ma è libera di variare. . . x 22 < P 2 - B 1 + P 1 = B 2 x 22 > P 2 - B 1 x 22 < P 2

Riassumendo: deve essere: P 2 - B 1 < x 22 < min(P 2, B 2) e anche la condizione trovata prima per la risolubilità: P 1 - B 1 + P 2 = B 2 Facciamo un esempio numerico. . .

Supponiamo che le quantità Prodotte e i Bisogni siano: P 1 = 100 P 2 = 200 B 1 = 150 B 2 = 150 scegliamo infine x 22 in modo che P 2 - B 1 < x 22 < min(P 2, B 2) 50 150 la relazione P 1 - B 1 + P 2 = B 2 è soddisfatta: 100 -150+200=150. Ad esempio, sia x 22 = 80.

Sostituendo i nostri dati nella soluzione trovata prima, abbiamo: e quindi: x 12 = -80+200 -150+100 = 70 x 11 = 80 -200+150 = 30 x 21 = -80+200 = 120 dove: P 1 = 100 P 2 = 200 B 1 = 150 B 2 = 150 x 22 = 80

Conclusione: una buona conoscenza dei sistemi lineari mette al riparo dai blackout!