Tlumen kmity prun sla brzdn sla Tlumen kmity
Tlumené kmity pružná síla brzdná síla?
Tlumené kmity pohybová rovnice pružná síla brzdná síla
Tlumené kmity
Tlumené kmity smyčkové pravidlo („pohybová rovnice“)
Řešení pohybové rovnice tlumeného oscilátoru Jedná se o obyčejnou diferenciální rovnici druhého řádu, která je lineární homogenní a má konstantní koeficienty Z linearity vyplývá, že lineární kombinace řešení je také řešení. tedy také řešení Dokažte. řešení
Řešení pohybové rovnice tlumeného oscilátoru Jedná se o obyčejnou diferenciální rovnici druhého řádu, která je lineární homogenní a má konstantní koeficienty Obecné řešení takové rovnice je obecné řešení Zdůvodněte tvrzení. dvě lineárně nezávislá řešení
Řešení pohybové rovnice tlumeného oscilátoru předpokládáme řešení obecné řešení: 3 možnosti: 1. Aperiodický pohyb (silný útlum) 2. Mezní aperiodický pohyb (kritický útlum) 3. Tlumený harmonický kmit (slabý útlum)
1. Aperiodický pohyb záleží na p. p. , zde např. pro (tlumení) roste Platí: 1. Výchylka konverguje k rovnovážné poloze, 2. Pro konečné časy projde částice rovnovážnou polohou nejvýše jednou
2. Mezní aperiodický pohyb záleží na p. p. , zde např. pro Platí: 1. Výchylka konverguje k rovnovážné poloze, 2. Pro konečné časy projde částice rovnovážnou polohou nejvýše jednou 3. Návrat do rovnováhy je nejrychlejší (ve srovnání s ostatními pohyby)
3. Tlumený harmonický kmit reálné, tj. (viz OF 3_I_1. ppt, str. 10) nebo Výchylka konverguje k rovnovážné poloze:
3. Tlumený harmonický kmity s frekvencí amplituda exponenciálně klesá Pozn. : pro velmi slabý útlum
3. Tlumený harmonický kmit Pozn. : definují se útlum logaritmický dekrement útlumu = ln(útlum)
Energie slabě tlumeného oscilátoru netlumený oscilátor (viz OF 3_I_1. ppt, str. 12) tlumený oscilátor exponenciálně klesá ztrátový výkon relativní rychlost energetických ztrát činitel kvality Q = 2π energie systému ztráta energie během jedné periody např. pro RLC obvod
Nucené kmity a rezonance b volné a nucené kmity, tj. dvě frekvence: vlastní frekvence budící síly b
Nucené kmity a rezonance ? b pružná síla brzdná síla budící síla Po zapnutí budící síly: pohyb je superpozicí volných kmitů (jsou tlumené) a nucených kmitů. Po dostatečně dlouhé době: volné kmity vymizí a systém přejde do ustáleného stavu (nezávisí na p. p. ), tj. vykonává pouze nucené kmity. ? ?
Nucené kmity a rezonance b kmitající nosník pružná síla brzdná síla ? ?
Nucené kmity a rezonance b kmitající nosník pružná síla brzdná síla pohybová rovnice
Nucené kmity a rezonance b smyčkové pravidlo
Řešení pohybové rovnice nucených kmitů Jedná se o obyčejnou diferenciální rovnici druhého řádu, která je lineární nehomogenní a má konstantní koeficienty b Obecné řešení takové nehomogenní rovnice je součet partikulárního řešení této rovnice a obecného řešení odpovídající homogenní rovnice. Obecné řešení homogenní rovnice už známe (tlumené kmity). Pohyb je superpozicí volných kmitů (jsou tlumené) a nucených kmitů (partikulární řešení). Po dostatečně dlouhé době volné kmity vymizí a systém přejde do ustáleného stavu. K popisu ustáleného stavu tedy stačí nalézt partikulární řešení nehomogenní rovnice.
Řešení pohybové rovnice nucených kmitů (použijeme komplexní vyjádření) předpokládané partikulární řešení rovnice platí pro všechna t
Řešení pohybové rovnice nucených kmitů ? ? Amplituda i fáze jsou funkcemi budící frekvence. Fáze nezávisí na amplitudě budící síly.
amplituda výchylky, náboje, . . . amplituda rychlosti, proudu, . . . amplituda zrychlení budící frekvence
Rezonance Poloha maxima rezonanční frekvence budící frekvence
Q jako faktor zesílení Q souvisí s výškou maxima. Pro amplitudu výchylky: zesílení: budící frekvence
Rezonance: torzní kmity hřídele Bohumil Kučera, O zjevech resonance u parníků a železnic, Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 36 (1907), No. 1, 91– 100
Amplituda a fáze rychlosti, proudu, . . . x se opožďuje za F budící frekvence v se opožďuje za F fáze rychlosti fáze výchylky, náboje, . . . v předbíhá F budící frekvence
fáze proudu Amplituda a fáze i předbíhá e i se opožďuje za e budící frekvence
fáze proudu i předbíhá e i se opožďuje za e budící frekvence
induktivní charakter: i se opožďuje za e kapacitní charakter: i předbíhá e fáze proudu rezonance i předbíhá e i se opožďuje za e budící frekvence
Rezonance: krouživé kmity hřídele rychlost těžiště úhlová rychlost (pouze označení!) výchylka ve fázi kritické otáčky výchylka v protifázi
Nucené kmity: výkon Ztrátový (absorbovaný) výkon = − výkon brzdné síly Dodaný výkon = výkon budící síly V ustáleném stavu platí kmitající nosník
Časová střední hodnota Dvě harmonické funkce (o stejné frekvenci)
Nucené kmity: výkon Ztrátový (absorbovaný) výkon = − výkon brzdné síly Dodaný výkon = výkon budící síly V ustáleném stavu platí Důkaz:
Výkon Nucené kmity: výkon, šířka pásma a Q Frekvence šířka křivky v polovině výšky maxima Frekvence
Skládání stejnosměrných harmonických kmitů budící síla Působí 2 budící síly: vybudí kmit (princip superpozice) ? Dva důležité případy: (a) stejné frekvence, různé amplitudy (b) různé frekvence, stejné amplitudy
(a) stejné frekvence ? stav kdy ?
(a) stejné frekvence ? stav kdy
(b) stejné amplitudy
(b) stejné amplitudy harmonický kmit střední frekvence s amplitudou A A výchylka x časově proměnná „amplituda“ čas t Složením dvou harmonických kmitů stejné frekvence vznikne harmonický kmit střední frekvence, jehož amplituda se mění s rozdílovou frekvencí obou původních kmitů.
Skládání vzájemně kolmých kmitů (a) stejné frekvence
Odvození rovnice elipsy vyloučíme (rovnice elipsy)
Skládání vzájemně kolmých kmitů (b) různé frekvence kmity tyče s obdélníkovým průřezem osciloskop
Konstruktivní a destruktivní superpozice Vraťme se ke skládání stejnosměrných harmonických kmitů (a) stejné frekvence závisí na fázovém rozdílu Maximum: libovolné celé číslo kmity jsou ve fázi (plně) konstruktivní superpozice (interference)
Konstruktivní a destruktivní superpozice Vraťme se ke skládání stejnosměrných harmonických kmitů (a) stejné frekvence závisí na fázovém rozdílu Minimum: libovolné celé číslo kmity jsou v protifázi (plně) destruktivní superpozice (interference)
Konstruktivní a destruktivní superpozice Vraťme se ke skládání stejnosměrných harmonických kmitů (a) stejné frekvence Jev se nejvíce projeví pokud
- Slides: 46