Titulacin Ingeniero Gelogo Ultima actualizacin 28102020 Asignatura Anlisis

Titulación: Ingeniero Geólogo Ultima actualización: 28/10/2020 Asignatura: Análisis Numérico Autor: César Menéndez Derivación Numérica Planificación: Materiales: Conocimientos previos: 2 Teoría+1 Prácticas+0. 5 Laboratorio MATLAB Tmas. básicos de Cálculo – Desarrollos de Taylor – Sistemas lineales – 1

Análisis Numérico Derivación Numérica por César Menéndez Fernández Descripción del problema Descripción Objetivos Temario Bibliografía l Evaluación de la derivada de una función en un punto a partir de los valores de la función – – – 2 Función muy compleja (difícil de calcular su derivada) No se conoce la función sino sólo sus valores en algunos puntos …

Derivación Numérica Análisis Numérico por César Menéndez Fernández Objetivos Descripción l Objetivos Conocer las diferentes formas de obtener fórmulas de derivación numérica Temario – Bibliografía – – l l l 3 Interpolación Desarrollo de Taylor Coeficientes indeterminados Aprender a obtener el error de la fórmula Reconocer las ventajas de las fórmulas centradas. Comprender que el error depende no solo de la fórmula numérica y de la función a derivar sino del punto en que se calcula y del valor de espaciado h.

Derivación Numérica Análisis Numérico por César Menéndez Fernández Planteamiento y definiciones Descripción l Fórmulas de derivación numérica Objetivos – Temario Introducción Obtención Extrap. Richardson Inestabilidad – l Obtención de los valores de los coeficientes Determinación o acotación del error cometido Error – Una fórmula es de orden n cuando es exacta para polinomios de grado menor o igual que n – El error de truncamiento de la fórmula es – Se denomina parte principal del error de truncamiento al infinitésimo de menor orden Bibliografía 4

Análisis Numérico Derivación Numérica por César Menéndez Fernández Ejemplo Descripción Objetivos Temario Introducción Obtención Extrap. Richardson Inestabilidad Bibliografía 5 l La siguiente fórmula de derivación es de orden 1 y con error de truncamiento O(h)

Derivación Numérica Análisis Numérico por César Menéndez Fernández Derivación Numérica Descripción Objetivos Temario Introducción Obtención - Interpolación. - Taylor - Coef. Indetermin. Extrap. Richardson Inestabilidad Bibliografía l Métodos para obtener reglas de derivación numéricas – Interpolación – Desarrollo de Taylor – Coeficientes indeterminados l 6 Obtener tales que sea exacta para el mayor orden posible

Análisis Numérico Derivación Numérica por César Menéndez Fernández Formulas de tipo interpolatorio Descripción l Objetivos Temario Introducción Obtención - Interpolación. - Taylor - Coef. Indetermin. Extrap. Richardson Inestabilidad Bibliografía 7 l l Se definen por el número de puntos del polinomio interpolante Las fórmulas genéricas se toman para puntos equiespaciados, aunque su método de obtención es válido para cualesquiera puntos Motivación

Análisis Numérico Derivación Numérica por César Menéndez Fernández Derivadas primeras (Acotación del error) Descripción l Acotación del error Objetivos Temario Introducción Obtención - Interpolación. - Taylor - Coef. Indetermin. Extrap. Richardson Inestabilidad Bibliografía – – 8 No es posible la acotación para cualquier valor de x Se acota en uno de los puntos de interpolación

Derivación Numérica Análisis Numérico Derivadas primeras (2 y 3) l 2 puntos Descripción Objetivos Temario Introducción Obtención - Interpolación. - Taylor - Coef. Indetermin. Extrap. Richardson Inestabilidad – l Equiespaciados 3 puntos Bibliografía – 9 Equiespaciados por César Menéndez Fernández

Análisis Numérico Derivación Numérica Derivadas primeras: (4 y 5) Descripción l 4 puntos l 5 puntos Objetivos Temario Introducción Obtención - Interpolación. - Taylor - Coef. Indetermin. Extrap. Richardson Inestabilidad Bibliografía 10 por César Menéndez Fernández

Análisis Numérico Derivación Numérica por César Menéndez Fernández Aplicación: f(x)=cos(x), calcular f’( /4) tomando h=0. 5 y h=0. 1 Descripción Pts Objetivos 2 -0. 7413 Temario 3 -0. 7096 Introducción Obtención - Interpolación. - Taylor - Coef. Indetermin. Extrap. Richardson Inestabilidad h=0. 5 h=0. 1 -0. 7059 4 -0. 7070 -0. 7072 Bibliografía 5 -0. 7071 11

Análisis Numérico Derivación Numérica por César Menéndez Fernández Derivadas orden superior Descripción l Acotación del error Objetivos Temario Introducción Obtención - Interpolación. - Taylor - Coef. Indetermin. Extrap. Richardson Inestabilidad Bibliografía – – 12 ¡ No se anula en los puntos de interpolación ! No es posible la acotación usando este método

Análisis Numérico Derivación Numérica por César Menéndez Fernández Obtención por desarrollo de Taylor Descripción l Objetivos Temario Introducción Obtención - Interpolación. - Taylor - Coef. Indetermin. Extrap. Richardson Inestabilidad Bibliografía 13 l Plantea la obtención de las derivadas de cualquier orden en un punto a partir del desarrollo de Taylor de la función en otros puntos Proceso: – – – Desarrollar en serie en los puntos conocidos en torno al valor deseado Combinar las expresiones anteriores, anulando todos los términos posibles Obtener la expresión final de la formula y el error (cuando sea posible)

Derivación Numérica Análisis Numérico por César Menéndez Fernández Ejemplo 1 (a) Descripción Objetivos l Obtener f’(a) y f”(a) a partir de los valores de f(x) en {ah, a, a+h} – Desarrollamos por Taylor – Combinamos los desarrollos – Anulamos los términos no deseados Temario Introducción Obtención - Interpolación. - Taylor - Coef. Indetermin. Extrap. Richardson Inestabilidad Bibliografía l 14 l Derivada 1ª: anula términos en h 2 Derivada 2ª: anula términos en h

Análisis Numérico Derivación Numérica por César Menéndez Fernández Ejemplo 1 (b) Descripción l Derivada 1ª l Derivada 2ª l Derivada 3ª Objetivos Temario Introducción Obtención - Interpolación. - Taylor - Coef. Indetermin. Extrap. Richardson Inestabilidad Bibliografía le b lica p a o N 15

Derivación Numérica Análisis Numérico por César Menéndez Fernández Derivadas de orden superior (2) l Descripción Derivada segunda – Laterales – Centradas Objetivos Temario Introducción Obtención - Interpolación. - Taylor - Coef. Indetermin. Extrap. Richardson Inestabilidad Bibliografía 16 l Ejemplo – f(x)=cos(x), calcular la derivada segunda en /4 tomando h=0. 5 y h=0. 1 Pts Cent. h=0. 5 h=0. 1 3 No -0. 6325 3 Si -0. 7065 4 No -0. 7128 5 Si -0. 7071

Derivación Numérica Análisis Numérico por César Menéndez Fernández Derivadas de orden superior (3) l Descripción Derivada tercera – Laterales – Centradas Objetivos Temario Introducción Obtención - Interpolación. - Taylor - Coef. Indetermin. Extrap. Richardson Inestabilidad Bibliografía 17 l Ejemplo – f(x)=cos(x), calcular la derivada tercera en /4 tomando h=0. 5 y h=0. 1 Pts Cent. h=0. 5 h=0. 1 4 No 0. 8038 5 No 0. 7211 5 Si 0. 7053 7 Si 0. 7071

Derivación Numérica Análisis Numérico por César Menéndez Fernández Derivadas de orden superior (4) l Descripción Derivada cuarta – Laterales – Centradas Objetivos Temario Introducción Obtención - Interpolación. - Taylor - Coef. Indetermin. Extrap. Richardson Inestabilidad Bibliografía 18 l Ejemplo – f(x)=cos(x), calcular la derivada cuarta en /4 tomando h=0. 5 y h=0. 1 Pts Cent. h=0. 5 h=0. 1 5 No 0. 5516 5 Si 0. 7059 6 No 0. 7223 7 Si 0. 7071

Análisis Numérico Derivación Numérica por César Menéndez Fernández Obtención por el método de Coeficientes Indeterminados Descripción l Objetivos l Temario l Introducción Obtención - Interpolación. - Taylor - Coef. Indetermin. Extrap. Richardson Inestabilidad Bibliografía 19 l Fija los puntos de la fórmula Parte de una relación de coeficientes Plantea un sistema para que la fórmula sea exacta para el mayor orden posible (grado del polinomio) Obtiene el orden del error

Derivación Numérica Análisis Numérico por César Menéndez Fernández Ejemplo de obtención por coef. Indet. Descripción l Calcular f”(a) a partir del valor de f(x) en {a-h, a, a+h} – Sistema – Solución – ¿Orden? Objetivos Temario Introducción Obtención - Interpolación. - Taylor - Coef. Indetermin. Extrap. Richardson Inestabilidad Bibliografía 20

Análisis Numérico Derivación Numérica por César Menéndez Fernández Obtención de fórmulas de mayor orden Descripción Objetivos Sea M un valor exacto y N 0(h) la fórmula numérica que lo aproxima dependiendo del parámetro h, pudiéndose expresar como Donde los coeficientes son constantes. Aplicándola para h/2, se tiene Temario Introducción Obtención - Interpolación. - Taylor - Coef. Indetermin. Extrap. Richardson Inestabilidad y anulando entre ambas expresiones los términos en h 1: 2(II)-(I), se consigue aumentar la precisión de la fórmula. Repitiendo el proceso para anular h 2: Bibliografía Y por inducción se llega a 21

Análisis Numérico Derivación Numérica por César Menéndez Fernández Ejemplo Dada la fórmula de derivación numérica Descripción Objetivos Temario Introducción Obtención - Interpolación. - Taylor - Coef. Indetermin. Extrap. Richardson Inestabilidad Bibliografía 22 Aplicar la extrapolación de Richardson, tomado f(x)=cos(x) para calcular f’( /4) tomando h=0. 5. Compararla con la solución exacta: -0. 7071 En este caso h N 0(h) N 1(h) N 2(h) N 3(h) 0. 5 -0. 8511 0. 25 -0. 7877 -0. 7243 0. 125 -0. 7494 -0. 7111 -0. 7067 0. 0625 -0. 7287 -0. 7081 -0. 7071 0. 03125 -0. 7180 -0. 7073 -0. 7071 N 4(h) -0. 7071

Derivación Numérica Análisis Numérico por César Menéndez Fernández Obtención de fórmulas de mayor orden l. NOTA: Si la formula fuera Descripción Objetivos l. Este proceso generaría la relación Temario Introducción Obtención - Interpolación. - Taylor - Coef. Indetermin. Extrap. Richardson Inestabilidad – Aplicar al ejemplo anterior tomando Bibliografía 23 h N 0(h) N 1(h) N 2(h) N 3(h) 0. 5 -0. 6780 0. 25 -0. 6998 -0. 7070 0. 125 -0. 7053 -0. 7071 -0. 7072 0. 0625 -0. 7066 -0. 7071 0. 03125 -0. 7070 -0. 7071 N 4(h) -0. 7071

Análisis Numérico Derivación Numérica por César Menéndez Fernández Inestabilidad numérica de la derivación Partiendo de la fórmula de derivación numérica Descripción con Objetivos pero al operar con aritmética finita, se evalúa Temario Introducción Obtención Extrap. Richardson Inestabilidad Bibliografía siendo el error de representación del ordenador. El error total es por tanto que tiene un mínimo para Por tanto le precisión no mejora indefinidamente con la disminución del valor de h. En la práctica no podemos calcular el valor de h óptimo, ya que la cota del error de representación depende de la máquina y M depende de la función y del intervalo en estudio. 24