Titulacin Ingeniero Gelogo Ultima actualizacin 26102020 Asignatura Anlisis

Titulación: Ingeniero Geólogo Ultima actualización: 26/10/2020 Asignatura: Análisis Numérico Autor: César Menéndez Integración Numérica Planificación: Materiales: Conocimientos previos: 4 Teoría+1 Prácticas+2 Laboratorio MATLAB Tmas. básicos de Cálculo – Desarrollos de Taylor – Sistemas lineales – 1

Análisis Numérico Integración Numérica por César Menéndez Fernández Descripción del problema Descripción l Objetivos Evaluación de la integral de una función en un intervalo a partir de los valores de la función – Temario Bibliografía – – l Fórmulas de integración numérica – – 2 Función muy compleja (difícil de calcular su integral) No se conoce la función sino sólo sus valores en algunos puntos No existe la primitiva de la función Obtención de los valores de los coeficientes Determinación del error cometido

Análisis Numérico Integración Numérica por César Menéndez Fernández Objetivos Descripción l Objetivos Temario l Bibliografía l l l 3 Comprender la generación las fórmulas de integración numérica de Newton-Cotes. Calcular las formulas exactas de Newton. Cotes para polinomios de primer, segundo y tercer grado. Entender cómo se aplica el algoritmo de integración de Romberg. Entender la diferencia fundamental entre las fórmulas de Newton-Cotes y la cuadratura gausiana. Comprender el funcionamiento de la integración adaptativa

Integración Numérica Análisis Numérico por César Menéndez Fernández Introducción Descripción Objetivos Temario Introducción NC Reglas simples NC Compuestas Cuadratura Gausiana Int. Romberg Int. Adaptativa Bibliografía l. Teorema del valor medio para integrales Sean f(x), g(x) C[a, b] donde g(x) es integrable y no cambia de signo en [a, b], entonces existe un punto c en (a, b) tal que l. Definición Una fórmula (de integración numérica) es de orden n cuando se anula el error con polinomios de grado menor o igual a n 4

Análisis Numérico Integración Numérica por César Menéndez Fernández Obtención de las fórmulas Descripción l Integrando los polinomios de interpolación (Habitualmente con puntos equiespaciados) Objetivos Temario Introducción NC Reglas simples NC Compuestas Cuadratura Gausiana Int. Romberg Int. Adaptativa Bibliografía Fórmulas de Newton-Cotes l Fórmulas de cuadratura (gausiana) Utilizando las raíces de polinomios ortogonales como puntos de interpolación (Dependen del intervalo y de la función) l Método de coeficientes indeterminados Plantean un sistema de ecuaciones, dependiendo del orden de la fórmula, cuya resolución obtiene los coeficientes 5

Análisis Numérico Integración Numérica por César Menéndez Fernández Ejemplo: Mét. coeficientes indeterminados (I) Descripción Objetivos Obtener los coeficientes de la siguiente fórmula para que tenga el mayor orden posible Temario Introducción NC Reglas simples NC Compuestas Cuadratura Gausiana Int. Romberg Int. Adaptativa Bibliografía 6 Planteamiento: debe ser exacta para polinomios del mayor orden, luego comenzamos en orden creciente

Análisis Numérico Integración Numérica por César Menéndez Fernández Ejemplo: Mét. coeficientes indeterminados (II) Descripción Resolución del sistema Objetivos Temario Introducción NC Reglas simples NC Compuestas Cuadratura Gausiana Int. Romberg Int. Adaptativa Bibliografía 7 Orden de la fórmula Fórmula de orden 3

Análisis Numérico Integración Numérica por César Menéndez Fernández Reglas de Newton Cotes Simples Descripción l Objetivos Temario Introducción NC Reglas simples NC Compuestas Cuadratura Gausiana Int. Romberg Int. Adaptativa Bibliografía 8 l l Son formulas de tipo interpolatorio que se definen por el número de puntos del polinomio interpolante Las fórmulas genéricas se toman para puntos equiespaciados, aunque su método de obtención es válido para cualesquiera puntos Motivación

Análisis Numérico Integración Numérica por César Menéndez Fernández Ejemplos de reglas simples Descripción l Interpolante de grado 0 – Valor en el extremo del intervalo – Valor en el punto medio Objetivos Temario Introducción NC Reglas simples - Cerradas - Abiertas - Ejemplos NC Reglas Compuestas Cuadratura Gausiana Int. Romberg Int. Adaptativa Bibliografía 9 l Interpolante de grado 1

Análisis Numérico Integración Numérica por César Menéndez Fernández Ejemplos de reglas simples Descripción l Interpolante de grado 2 Objetivos Temario Introducción NC Reglas simples - Cerradas - Abiertas NC Reglas Compuestas Cuadratura Gausiana Int. Romberg Int. Adaptativa Bibliografía 10 – Combinamos trapecio y punto medio

Análisis Numérico Integración Numérica por César Menéndez Fernández Reglas cerradas Descripción l El pol. de interpolación SI incluye los extremos del intervalo l Tma: Dada una fórmula cerrada de n+1 puntos el error es l Fórmulas cerradas usuales Objetivos Temario Introducción NC Reglas simples - Cerradas - Abiertas NC Reglas Compuestas Cuadratura Gausiana Int. Romberg Int. Adaptativa Bibliografía n=1 Regla del trapecio n=2 Regla de Simpson n=3 n=4 11

Análisis Numérico Integración Numérica Ejemplo (I) Descripción Objetivos Temario l 2 puntos (Trapecio) l 3 puntos (Simpson) Introducción NC Reglas simples - Cerradas - Abiertas NC Reglas Compuestas Cuadratura Gausiana Int. Romberg Int. Adaptativa Bibliografía 12 por César Menéndez Fernández

Análisis Numérico Integración Numérica Ejemplo (II) Descripción l 4 puntos (Simpson 3/8) l 5 puntos Objetivos Temario Introducción NC Reglas simples - Cerradas - Abiertas NC Reglas Compuestas Cuadratura Gausiana Int. Romberg Int. Adaptativa Bibliografía 13 por César Menéndez Fernández

Análisis Numérico Integración Numérica por César Menéndez Fernández Reglas abiertas Descripción l El pol. de interpolación NO incluye los extremos del intervalo l Tma: Dada una fórmula abierta de n+1 puntos el error es l Fórmulas abiertas usuales Objetivos Temario Introducción NC Reglas simples - Cerradas - Abiertas NC Reglas Compuestas Cuadratura Gausiana Int. Romberg Int. Adaptativa Bibliografía n=0 n=1 n=2 n=3 14 Regla del punto medio

Análisis Numérico Integración Numérica Ejemplo (I) Descripción Objetivos Temario Introducción NC Reglas simples - Cerradas - Abiertas NC Reglas Compuestas Cuadratura Gausiana Int. Romberg Int. Adaptativa Bibliografía 15 l 1 punto l 2 puntos por César Menéndez Fernández

Análisis Numérico Integración Numérica Ejemplo (II) Descripción l 3 puntos l 4 puntos Objetivos Temario Introducción NC Reglas simples - Cerradas - Abiertas NC Reglas Compuestas Cuadratura Gausiana Int. Romberg Int. Adaptativa Bibliografía 16 por César Menéndez Fernández

Análisis Numérico Integración Numérica por César Menéndez Fernández Reglas Compuestas Descripción l Subdivisión en subintervalos y aplicación de la regla simple a cada subintervalo l Reglas más habituales Objetivos Temario Introducción NC Reglas simples NC Reglas Compuestas - Trapecio y Simpson - Control del error - Estabilidad Cuadratura Gausiana Int. Romberg Int. Adaptativa Bibliografía 17 – Regla del trapecio compuesta – Regla de Simpson compuesta

Integración Numérica Análisis Numérico por César Menéndez Fernández Ejemplo: trapecio compuesta Descripción l Objetivos Temario Introducción NC Reglas simples NC Reglas Compuestas - Trapecio y Simpson - Control del error - Estabilidad Cuadratura Gausiana Int. Romberg Int. Adaptativa l Regla – 2 intervalos (3 puntos) – 3 intervalos (4 puntos) – 4 intervalos (5 puntos) Cota y error real Bibliografía 18 – 2 intervalos – 3 intervalos – 4 intervalos

Integración Numérica Análisis Numérico por César Menéndez Fernández Ejemplo: simpson compuesta Descripción l Objetivos Temario Introducción NC Reglas simples NC Reglas Compuestas - Trapecio y Simpson - Control del error - Estabilidad Cuadratura Gausiana Int. Romberg Int. Adaptativa Bibliografía 19 l Regla – 2 intervalos (5 puntos) – 3 intervalos (7 puntos) – 4 intervalos (9 puntos) Cota y error real – 2 int. – 3 int. – 4 int.

Integración Numérica Análisis Numérico por César Menéndez Fernández Control de error y ejemplo Descripción l Objetivos l Temario Introducción NC Reglas simples NC Reglas Compuestas - Trapecio y Simpson - Control del error - Estabilidad Cuadratura Gausiana Int. Romberg Int. Adaptativa Bibliografía 20 l Las reglas compuestas permiten controlar el error variando el número de subintervalos (modifican el valor de h). Cotas de error – Trapecio – Simpson Ejemplo – Obtener el numero de subintervalos para poder asegurar que el cálculo de la integral indicada mediante las reglas compuestas tenga un error no superior a una millonésima – Trapecio – Simpson

Integración Numérica Análisis Numérico por César Menéndez Fernández Ejemplo: simpson compuesta Descripción l Objetivos Temario Introducción NC Reglas simples NC Reglas Compuestas - Trapecio y Simpson - Control del error - Estabilidad Cuadratura Gausiana Int. Romberg Int. Adaptativa Bibliografía 21 l Regla – 2 intervalos (5 puntos) – 3 intervalos (7 puntos) – 4 intervalos (9 puntos) Cota y error real – 2 int. – 3 int. – 4 int.

Integración Numérica Análisis Numérico por César Menéndez Fernández Introducción y definición Descripción l No fija los puntos. Valores óptimos para obtener mayor grado – Objetivos Ejemplo Temario Introducción NC Reglas simples NC Reglas Compuestas Cuadratura Gausiana - Introducción - Polin. Ortogonales - Ejemplos Int. Romberg Int. Adaptativa Bibliografía l Polinomios ortogonales – Base de polinomios – Definidos en un intervalo [a, b] Ortogonales para una determinada función w(x), denominada peso – 22

Análisis Numérico Integración Numérica Propiedades l Relación de recurrencia l Orden de las fórmulas y error Descripción Objetivos Temario Introducción NC Reglas simples NC Reglas Compuestas Cuadratura Gausiana - Introducción - Polin. Ortogonales - Ejemplos Int. Romberg Int. Adaptativa Bibliografía 23 por César Menéndez Fernández

Análisis Numérico Integración Numérica por César Menéndez Fernández Familias de polinomios ortogonales Descripción Objetivos Nombre [a, b] w(x) Notas Legendre [-1, 1] 1 Se impone que su valor en x=1 sea 1 Asociados a la ecuación diferencial Tchebishev [-1, 1] Hermite (- , ) Laguerre [0, ) Temario Introducción NC Reglas simples NC Reglas Compuestas Cuadratura Gausiana - Introducción - Polin. Ortogonales - Ejemplos Int. Romberg Int. Adaptativa Bibliografía Laguerre 24 Uso en interpolación (aproximación minimax) Asociados a la ecuación diferencial

Análisis Numérico Integración Numérica por César Menéndez Fernández Polinomios de Legendre Descripción l Polinomios l Objetivos N Temario 1 Introducción NC Reglas simples NC Reglas Compuestas Cuadratura Gausiana - Introducción - Polin. Ortogonales - Ejemplos Int. Romberg Int. Adaptativa Bibliografía 25 2 3 4 l Relación de recurrencia l Norma 5 Raíces y coeficientes Raíces Coeff.

Análisis Numérico Integración Numérica Polinomios de Tchebishev Descripción l Polinomios l Relación de recurrencia l Raíces Objetivos Temario Introducción NC Reglas simples NC Reglas Compuestas Cuadratura Gausiana - Introducción - Polin. Ortogonales - Ejemplos Int. Romberg Int. Adaptativa Bibliografía 26 por César Menéndez Fernández

Análisis Numérico Integración Numérica por César Menéndez Fernández Integración de Romberg: Proceso Descripción l Utiliza la regla del trapecio compuesta l Se combina con la extrap. de Richardson l Aprovecha las relaciones de la regla Objetivos Temario Introducción NC Reglas simples NC Reglas Compuestas - Trapecio - Simpson - Estabilidad Cuadratura Gausiana Int. Romberg Int. Adaptativa Bibliografía 27

Análisis Numérico Integración Numérica por César Menéndez Fernández Integración de Romberg: Relaciones Descripción Objetivos Temario Introducción NC Reglas simples NC Reglas Compuestas - Trapecio - Simpson - Estabilidad Cuadratura Gausiana Int. Romberg Int. Adaptativa Bibliografía 28

Integración Numérica Análisis Numérico por César Menéndez Fernández Ejemplo Descripción Objetivos Temario Introducción NC Reglas simples NC Reglas Compuestas - Trapecio - Simpson - Estabilidad Cuadratura Gausiana Int. Romberg Int. Adaptativa Bibliografía 29 Calcular, con un error inferior a 10 -6, aplicando el método de integración de Romberg Aplicamos la fórmula de Romberg, donde h=(b-a)/n, para utilizar a continuación la extrapolación de Richardson n h N 0(h) N 1(h) N 2(h) N 3(h) 1 /2 0. 7853982 2 /4 0. 9480594 1. 0022799 4 /8 0. 9871158 1. 0001346 0. 9999916 8 /16 0. 9967852 1. 0000083 0. 9999999 1. 0000000 16 /32 0. 9991967 1. 0000005 1. 0000000 N 4(h) 1. 0000000

Análisis Numérico Integración Numérica por César Menéndez Fernández Motivación Descripción Objetivos Temario Introducción Reglas simples Reglas Compuestas - Trapecio - Simpson - Estabilidad Cuadratura Gausiana Int. Romberg Int. Adaptativa Bibliografía 30 l l Basada en la fórmula de Simpson compuesta Supone comportamiento “suave” de f(4)(x)

Análisis Numérico Integración Numérica por César Menéndez Fernández Proceso Descripción Objetivos Temario Introducción Reglas simples Reglas Compuestas - Trapecio - Simpson - Estabilidad Cuadratura Gausiana Int. Romberg Int. Adaptativa Bibliografía 31 1. 2. 3. Calcular Estimar el error como e=|I-Is| Si e<15ε tomar Is como valor de la integral sino repetir el proceso con cada semi-intervalo, dividiendo también por dos el error admisible l Ejemplo: Calcular, con un error inferior a 1 centésima l Representación de la función

Análisis Numérico Integración Numérica por César Menéndez Fernández Ejemplo: resultados Descripción Objetivos Temario Introducción Reglas simples Reglas Compuestas - Trapecio - Simpson - Estabilidad Cuadratura Gausiana Int. Romberg Int. Adaptativa Bibliografía 32 [a, b] I Ii Id Is |I-Is| tol (4, 20) /32 -0. 2766 0. 5715 0. 3812 0. 9526 1. 2292 0. 0100 (4, 12) /32 0. 5715 0. 3861 0. 1947 0. 5808 0. 0094 0. 0050 (12, 20) /32 0. 3812 -0. 1969 -0. 2272 -0. 4240 0. 8052 0. 0050 (12, 16) /32 -0. 1969 -0. 1568 0. 0011 -0. 1557 0. 0412 0. 0025 (12, 14) /32 -0. 1568 -0. 0622 -0. 0947 -0. 1569 0. 0001 0. 0013 (14, 16) /32 0. 0011 -0. 0523 0. 0555 0. 0032 0. 0021 0. 0013 (16, 20) /32 -0. 2272 0. 0136 0. 0646 0. 0781 0. 3053 0. 0025 (16, 18) /32 0. 0136 0. 0715 -0. 0635 0. 0081 0. 0055 0. 0013 (18, 20) /32 0. 0646 -0. 0083 0. 0462 0. 0379 0. 0266 0. 0013 (18, 19) /32 -0. 0083 -0. 0295 0. 0217 -0. 0078 0. 0005 0. 0006 (19, 20) /32 0. 0462 0. 0448 -0. 0000 0. 0447 0. 0015 0. 0006 0. 4721

Análisis Numérico Integración Numérica por César Menéndez Fernández Ejemplo: representación gráfica Descripción Objetivos Temario Introducción Reglas simples Reglas Compuestas - Trapecio - Simpson - Estabilidad Cuadratura Gausiana Int. Romberg Int. Adaptativa Bibliografía 33 Integral: 0. 5808+ (-0. 1569)+ 0. 0032+ 0. 0081+ (-0. 0078)+ 0. 0447 = 0. 4721