Titulacin Ingeniero Gelogo Ultima actualizacin 26102020 Asignatura Anlisis

Titulación: Ingeniero Geólogo Ultima actualización: 26/10/2020 Asignatura: Análisis Numérico Autor: César Menéndez Sistemas no lineales Planificación: Materiales: Conocimientos previos: 2 Teoría+1 Prácticas+1 Laboratorio MATLAB Tmas. de Cálculo de Varias variables 1

Análisis Numérico Sistemas No Lineales por César Menéndez Fernández Descripción del problema Descripción l Objetivos Temario Resolución de sistema no lineal de ecuaciones – Bibliografía – l Métodos iterativos – Criterios de Convergencia – Velocidad Estabilidad (propagación de errores) – 2 Problema bien planteado: existencia y unicidad de solución (condiciones de F) Solución analítica o calculable

Análisis Numérico Sistemas No Lineales por César Menéndez Fernández Ejemplo l Descripción Ejemplo Objetivos Temario La presión necesaria para hundir una carga de masa M con una base de radio R en un terreno blando a una profundidad d se puede aproximar por la ecuación Bibliografía l l l 3 Las constantes dependen de d y del suelo, pero no de R. Ensayo con tres placas pequeñas ¿Tamaño mínimo de la placa para sostener una carga determinada?

Análisis Numérico Sistemas No Lineales por César Menéndez Fernández Objetivos Descripción l Objetivos Temario Bibliografía l l 4 Entender los métodos para sistemas como una generalización de los vistos para ecuaciones no lineales, con sus ventajas e inconvenientes Comprender la relación entre el problema de la resolución de un sistema no lineal y un problema de búsqueda de extremos. Diferenciar los métodos de iteración funcional de los métodos basados en la optimización

Sistemas No Lineales Análisis Numérico por César Menéndez Fernández Definiciones (I) Descripción l Sistema de ecuaciones no lineales Objetivos Temario Introducción Pto. Fijo Newton Cuasi- Newton Max. Descenso Bibliografía 5 – fk: funciones coordenadas de F l La función tiene límite L en X 0 si l La función es continua en X 0 si l La función en todos los puntos de D. es continua en D si lo es

Análisis Numérico Sistemas No Lineales por César Menéndez Fernández Definiciones (II) Descripción Objetivos l Temario Introducción Pto. Fijo Newton Cuasi- Newton Max. Descenso Bibliografía con donde Li son los límites de sus respectivas funciones coordenadas l 6 La función tiene límite L en X 0 si La función , si existen contantes es continua en tales que

Análisis Numérico Sistemas No Lineales por César Menéndez Fernández Definiciones y Teoremas Descripción l La función tiene un punto fijo en si l Sea y continua en D, si entonces G tiene un punto fijo en D. Si además G tiene derivadas parciales continuas y existe un valor K<1 que cumple l Entonces el punto fijo P es único y para cualquier valor sucesión converge al punto fijo y verifica Objetivos Temario Introducción Pto. Fijo Newton Cuasi- Newton Max. Descenso Bibliografía 7 la

Análisis Numérico Sistemas No Lineales por César Menéndez Fernández Condiciones de Punto Fijo: Ejemplo (I) Descripción l Sistema no lineal l Planteamiento de punto fijo Objetivos Temario Introducción Pto. Fijo Newton Cuasi- Newton Max. Descenso Bibliografía 8

Análisis Numérico Sistemas No Lineales por César Menéndez Fernández Condiciones de Punto Fijo: Ejemplo (II) l Continuidad l Contractividad Descripción Objetivos Temario Introducción Pto. Fijo Newton Cuasi- Newton Max. Descenso Bibliografía 9 Y puesto que las derivadas son continuas, existe un único punto fijo

Sistemas No Lineales Análisis Numérico por César Menéndez Fernández Comentarios l Descripción Objetivos Temario Comparando con sistemas lineales, se pueden considerar los siguientes esquemas, aunque no hay teoremas sobre su convergencia – Jacobi – Gauss Seidel – Relajación Introducción Pto. Fijo Newton Cuasi- Newton Max. Descenso Bibliografía 10

Análisis Numérico Sistemas No Lineales Ejemplo: Iteraciones (I) Descripción l Jacobi l Gauss Seidel l Relajación (w=0. 5) Objetivos Temario Introducción Pto. Fijo Newton Cuasi- Newton Max. Descenso Bibliografía 11 por César Menéndez Fernández

Análisis Numérico Sistemas No Lineales por César Menéndez Fernández Ejemplo: Iteraciones (II) Descripción Objetivos Método X 1 X 2 X 3 Jacobi 0. 5000 0. 0144 -0. 5236 0. 5000 0 -0. 5232 0. 5000 0. 0000 -0. 5236 G-Seidel 0. 5000 0. 0272 -0. 5229 0. 5000 0. 0000 -0. 5236 SOR (w=0. 5) 0. 2500 0. 0089 -0. 2617 0. 3750 0. 0083 -0. 3926 0. 4375 0. 0060 -0. 4580 Temario Introducción Pto. Fijo Newton Cuasi- Newton Max. Descenso Bibliografía 12 0. 4995 0. 0001 -0. 5231 (11 iter)

Sistemas No Lineales Análisis Numérico por César Menéndez Fernández Método de Newton Descripción l Esquema l Inconvenientes Objetivos Temario Introducción Pto. Fijo Newton Cuasi- Newton Max. Descenso Bibliografía – – 13 Condiciones de convergencia l Jacobiano no nulo l Buena aproximación inicial Cálculo e Inversión del Jacobiano en cada paso

Análisis Numérico Sistemas No Lineales por César Menéndez Fernández Ejemplo: Iteraciones Descripción Objetivos Temario Introducción Pto. Fijo Newton Cuasi- Newton Max. Descenso Bibliografía 14 0. 5000 0. 0017 -0. 5236 0. 5000 0. 0000 -0. 5236

Análisis Numérico Sistemas No Lineales por César Menéndez Fernández Métodos Cuasi-Newton: Broyden Descripción l Pretenden evitar el calculo del Jacobiano Objetivos l No corrigen los errores de redondeo Temario l Generalización de la “secante” l Esquema Introducción Pto. Fijo Newton Cuasi- Newton Max. Descenso Bibliografía Realmente se calcula directamente la inversa 15

Análisis Numérico Sistemas No Lineales Ejemplo: Iteraciones Descripción Objetivos Temario Introducción Pto. Fijo Newton Cuasi- Newton Max. Descenso Bibliografía 16 por César Menéndez Fernández

Sistemas No Lineales Análisis Numérico por César Menéndez Fernández Ejemplo: Iteraciones Descripción Objetivos Temario Introducción Pto. Fijo Newton Cuasi- Newton Max. Descenso Bibliografía X 1 17 0. 5000 -0. 0169 -0. 5236 X 2 0. 5000 -0. 0015 -0. 5240 X 3 0. 5000 0. 0001 -0. 5236 X 4 0. 5000 -0. 0000 -0. 5236

Sistemas No Lineales Análisis Numérico por César Menéndez Fernández Métodos de máximo descenso Descripción l Relaciona la resolución de un sistema con la minoración de una función l Algoritmo Objetivos Temario Introducción Pto. Fijo Newton Cuasi- Newton Max. Descenso Bibliografía 18 – Evaluar H(X) en un valor inicial X(0) – Determinar una dirección desde X(0) que disminuya el valor de H(X) – Desplazarse adecuadamente en esa dirección obteniendo X(1) l Se define el gradiente de H(X) mediante l Esquema

Análisis Numérico Sistemas No Lineales Ejemplo: Iteraciones (I) Descripción Objetivos Temario Introducción Pto. Fijo Newton Cuasi- Newton Max. Descenso Bibliografía 19 por César Menéndez Fernández

Análisis Numérico Ejemplo Descripción Objetivos Temario Introducción Pto. Fijo Newton Cuasi- Newton Max. Descenso Bibliografía 20 Sistemas No Lineales por César Menéndez Fernández

Sistemas No Lineales por César Menéndez Fernández X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 0. 0112 0. 0101 -0. 5227 0. 1379 -0. 2055 -0. 5221 0. 2670 0. 0055 -0. 5585 0. 2727 -0. 0081 -0. 5220 0. 3087 -0. 0204 -0. 5331 0. 3143 -0. 0147 -0. 5209 0. 4666 -0. 0020 -0. 5245 1. 2741 1. 0681 0. 4683 0. 3811 0. 0104 Análisis Numérico Ejemplo Descripción Objetivos Temario Introducción Pto. Fijo Newton Cuasi- Newton Max. Descenso Bibliografía 21 111. 974 2. 3276 X 44